Выведите уравнение пуассона формула 1

Выведите уравнение пуассона формула 1

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (δQ=0) между системой и окружающей средой. Адиабатическим процессами можно считать все быстропротекающие процессы. Таковым, например, можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуковой волны настолько большая по значению, что обмен энергией между средой и волной произойти не успевает. Адиабатические процессы происходят в двигателях внутреннего сгорания (сжатие и расширение горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.

Из первого начала термодинамики (δQ=dU+δA) для адиабатического процесса следует, что

(1)

т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.

Используя формулы δA=pdV и C_V=dU_m/dT, для произвольной массы газа перепишем уравнение (1) в виде

(2)

применив дифференцирование уравнение состояния для идеального газа pV=(m/M)RT получим

(3)

Исключим из (2) и (3) температуру Т.

Разделив переменные и учитывая, что С_p/С_V=γ , найдем

Проинтегрируя это уравнение в пределах от p₁ до p₂ и соответственно от V₁ до V₂, и потенцируя, придем к выражению

или

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать

(4)

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Для перехода к переменным Т, V или p, Т исключим из (55.4) с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона

соответственно давление или объем:

(5)

(6)

Выражения (4) — (6) представляют собой уравнения адиабатического процесса. В них безразмерная величина

(7)

называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Для одноатомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, i=3, γ=1,67. Для двухатомных газов (Н₂, N₂, О₂ и др.) i=5, γ=1,4. Значения γ, вычисленные по формуле (55.7), хорошо подтверждаются экспериментом.

Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах р, V есть гипербола (рис. 1). На рисунке видно, что адиабата (pV_γ = const) более крута, чем изотерма (pV = const) по причине, что при адиабатическом сжатии 1—3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.

Вычислим работу, которую совершает газ в адиабатическом процессе. Запишем уравнение (1) в виде

Если газ адиабатически расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура уменьшается от T₁ до T₂ и работа расширения идеального газа

(8)

Используя те же приемы, что и при выводе формулы (5), выражение (8) для работы при адиабатическом расширении можно привести к виду

Работа, которую совершает газом при адиабатическом расширении 1—2 (определяется площадью, заштрихованной на рис. 2), меньше, чем при изотермическом, по причине, что при адиабатическом расширении осуществляется охлаждение газа, тогда как при изотермическом — температура поддерживается постоянной за счет притока извне такого же количества теплоты.

Рассмотренные изобарный, изохорный, изотермический и адиабатический процессы имеют общую особенность — они происходят при постоянной теплоемкости. В первых двух процессах теплоемкости соответственно равны С_V и С_p, в изотермическом процессе (dT=0) теплоемкость равна ±∞, в адиабатическом (δQ=0) теплоемкость равна нулю. Процесс, в котором теплоемкость остается неизменной, называется политропным.

Исходя из первого начала термодинамики при условии постоянства теплоемкости (C=const) можно вывести уравнение политропы:

(9)

где n=(С—С_p)/(С—С_V)—показатель политропы. Очевидно, что при С=0, n=γ, из (55.9) получается уравнение адиабаты; при С = 0, n = 1 — уравнение изотермы; при С=С_p, n=0 —уравнение изобары, при С=С_V, n=±∞ — уравнение изохоры. Таким образом, все рассмотренные процессы являются частными случаями политропного процесса.

Формула Пуассона

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -λ	λe -λ		…		…

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения Пуассоновского распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Числовые характеристики случайной величины Х

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание: M[X] = λ = 2
Дисперсия: D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P₂₀₀(1).
Получаем: . Тогда P₂₀₀(1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k 2. Найдем P₂₀₀(k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем
P₂₀₀(k>2) = 1-P₂₀₀(k≤2) = 1-P₂₀₀(k n является достаточно большим, а p — достаточно малым; положим np = a , где a — некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5 — λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x Пример №6 . Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e — λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P₁(0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P₂(0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P₁(0)*P₂(0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P₁(0)*(1-P₂(0)) + (1-P₁(0))*P₂(0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание: поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать теорему Лапласа.

Уравнение Пуассона и распределение Больцмана (часть 1)

В продолжение предыдущей статьи «Есть ли плазма в космосе?» я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля. Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:

Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:

Величину называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

где – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок читается «набла» и является дифференциальным оператором

Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

С другой стороны, согласно формуле (*)

Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:

Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно

, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём и найдём предел при стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

где S площадь нашей сферы равная . Следовательно

Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, охватываемый поверхностью:

где – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

В пределе, когда N → ∞, →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:

Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса

А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):

Комбинируя два последних уравнения, получим:

Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля

Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом и равен

Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:

Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа . Соответственно в законе Гаусса будет не , а коэффициент . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье

Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В следующей статье мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.