Выведите уравнение сферы в заданной системе координат

Урок геометрии в 11-м классе по теме «Сфера и шар. Уравнение сферы»

Разделы: Математика

Цель: ввести понятие сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, научить решать задачи по данной теме.

1. Мотивация изучения темы

Учитель: Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу: начертить кратчайший путь между этими точками.

Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию.

— Вот так кратчайший путь! — удивляется учительница. — Кто тебя так научил?

— Мой папа. Он шофер такси.

Чертеж наивного ученика, конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии.

Сегодня мы затронем маленький кусочек этой геометрии и займемся изучением сферы и шара. (слайд № 1)

2. Объяснение новой темы

— Вспомните определение окружности (Окружность геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки). (слайд № 2)

— Дайте определение сферы (Сфера — поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки). (слайд № 3)

— А что же по этому поводу говорит словарь? (Сообщение ученика)

Сферой называют поверхность шара. У нее есть замечательное свойство: все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, находящейся внутри — центра сферы. Если разрезать сферу плоскостью, то получим окружность. Сфера единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой. Еще одно важное свойство: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность.

— По аналогии с окружностью, дайте определение радиуса сферы, центра и диаметра сферы. (Диаметр сферы — отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. (= 2R)) (слайд № 4)

— Вспомните определение круга (Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью).

— Дайте определение шара (Шар — тело, ограниченное сферой).

— Есть и другое определение шара (Шар радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек). (слайд № 5)

— Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

— Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Поэтому уравнение сферы радиуса R с центром О (Х_о, У_о, Z_o) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Х_о, У_о, Z_o) вычисляется по формуле

МО = ,т.к. MO=R

R = , т .к. М ­ — любая точка сферы, то уравнение сферы

Тогда уравнение шара (х — х_о) 2 + (у — у_о) 2 + (z — z_o) 2 R ­ (слайд № 6)

3. Формирование умений и навыков учащихся

№ 573 (проверка решения) (слайд № 7)

№ 576(а), № 578(а), № 577(а) самостоятельно, ответ проверяется (слайд № 8), № 579(а)

— Дайте определение сферы; чем шар отличается от круга?

5. Домашнее задание

П. 58,59, № 573(б), 576(в), 579(б) (слайд № 9).

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51655

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Сфера. Уравнение сферы — Сфера — ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

— ввести понятие сферы, шара и их элементов;

— вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат;

— формировать навык решения задач по данной теме.

I. Организационный момент

II. Самостоятельная работа (см. приложение).

Самостоятельная работа записывается в домашних тетрадях.

Дано: усеченный конус, O1С = 3 см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. 1).

Найти: Sсеч., Sбок.

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. ΔCKD — прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: Sсеч. = 36 cм2, Sбок. = 45π см2.)

Дано: усеченный конус, OD = 7 см, CD = 5 см, ОО1 = 4 см (рис. 2).

Найти: Sсеч., Sбок.

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. ΔCKD — прямоугольный, по теореме Пифагора (Ответ: Sсеч. = 44 cм2, Sбок. = 55π см2.)

Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC ⊥ CD, CD = 30 см (рис. 3).

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция ΔADC — прямоугольный, по теореме Пифагора Так как СН — высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD. ΔCHD — прямоугольный.

(Ответ: Sсеч. = 768 см2, Sr = 1634π см2.)

Дано: Усеченный конус, O1С = 1 дм, OD = 7 дм, BD ⊥ AС (рис. 4).

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. ΔВМС — прямоугольный и равнобедренный: ΔAMD — прямоугольный и равнобедренный: ΔMO1C- прямоугольный: ΔAОМ — прямоугольный: ΔСHD — прямоугольный:

(Ответ: Sсеч.= 64 дм2, Sr = 130π дм2.)

Дано: усеченный конус O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. 5).

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см) (как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки). ΔCHD — прямоугольный: (Ответ: Sr = 2562π см2.)

Дано: усеченный конус, AF= 35 см, FC = 10 см, CD = 39 см (рис. 6).

Решение: . ΔAOF ∞ ΔAHC (по двум углам): ΔАСН — прямоугольный: по теореме Пифагора ΔCHD — прямоугольный:

(Ответ: Sr = 1530π см2.)

III. Изучение нового материала

Вспомните определение окружности.

Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Дайте определение сферы.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка О называется центром сферы, а данное расстояние — радиусом сферы. Обозначается R. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Диаметр сферы равен 2R. Вспомните определение круга.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Дайте определение шара:

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Существует и другое определение шара:

Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.

Прежде чем вывести уравнение сферы познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F.

Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Выведите самостоятельно уравнение сферы радиуса R с центром С(х0, у0, z0), используя формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

Найдите расстояние от произвольной точки М(х, у, z) до С(х0, у0, z0) (рис. 9).

Если точка М лежит на сфере, то MC = R.

так, как любая точка сферы, то уравнение сферы

Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС ≠ R, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (х0, у0, z0) имеет вид

IV. Закрепление изученного материала

№ 573 а). Дано: А и В лежат на сфере, О ∉ АВ, АМ = МВ (рис. 10).

Доказать: ОМ ⊥ AB.

Доказательство: ΔAОВ — равнобедренный (АО = ОВ = R), АМ = MB (по условию), значит ОМ — медиана ΔАОВ. Так как медиана в равнобедренном треугольнике, опущенная к основанию, является высотой, то ОМ ⊥ AB.

№ 574 а) (используется тот же чертеж) решить самостоятельно.

Дано: А и В лежат на сфере, R = 50 см, АВ = 40 см. АМ = MB.

Так как ОМ ⊥ AB (смотрите предыдущую задачу), то ΔАМО — прямоугольный. По теореме Пифагора

№ 576 а). Дано: R = 3; A(2; -4; 7).

Найти: уравнение сферы.

Решение:

№ 578 решить устно а) О(0; 0; 0), R = 7; б) А(3; -2; 0), R = √2.

№ 577 а). Дано: А(-2; 2; 0); N(5; 0; -1).

Найти: уравнение сферы с центром в А.

Решение: Так как сфера проходит через точку N, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению сферы.

Дополнительная задача № 579 а) г)

(Ответ: О(2; 0; 0), R = 2.)

(Ответ: О(0,5; -1,5; 1), R = √6.)

V. Подведение итогов

Повторить определение сферы, шара.

— Как может быть получена сфера, шар?

— Какой вид имеет уравнение сферы?

П. 58, 59.1 уровень № 573 б), № 576 в); II уровень № 577 в)

Сфера задана уравнением x2 + у2 + z2 + 2у — 4z = 4.

а) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) н В (1; 1; m-2) принадлежат данной сфере.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

© 2014-2022 Все права на дизайн сайта принадлежат С.Є.А.