Вывести уравнение для адиабатного процесса

Адиабатический процесс и уравнения адиабаты для идеального газа. Пример задачи

Адиабатический переход между двумя состояниями в газах не относится к числу изопроцессов, тем не менее, он играет важную роль не только в различных технологических процессах, но и в природе. В данной статье рассмотрим, что представляет собой этот процесс, а также приведем уравнения адиабаты идеального газа.

Кратко об идеальном газе

Идеальным называется такой газ, в котором нет взаимодействий между его частицами, и их размеры равны нулю. В природе, конечно же, не существует идеальных на сто процентов газов, поскольку все они состоят из имеющих размеры молекул и атомов, которые взаимодействуют друг с другом всегда как минимум с помощью ван-дер-ваальсовых сил. Тем не менее, описанная модель часто выполняется с достаточной для решения практических задач точностью для многих реальных газов.

Вам будет интересно: Атеизм и антиклерикализм — это. В чем отличие понятий

Главным уравнением идеального газа является закон Клапейрона-Менделеева. Он записывается в следующей форме:

Это уравнение устанавливает прямую пропорциональность между произведением давления P на объем V и количества вещества n на абсолютную температуру T. Величина R — газовая константа, которая играет роль коэффициента пропорциональности.

Что это адиабатический процесс?

Адиабатический процесс — это такой переход между состояниями газовой системы, при котором обмена энергией с внешней средой не происходит. При этом изменяются все три термодинамических характеристики системы (P, V, T), а количество вещества n остается постоянным.

Различают адиабатическое расширение и сжатие. Оба процесса происходят только за счет внутренней энергии системы. Так, в результате расширения давление и особенно температура системы сильно падают. Наоборот, адиабатическое сжатие приводит к положительному скачку температуры и давления.

Чтобы не происходил обмен теплом между окружающей средой и системой, последняя должна обладать теплоизолированными стенками. Кроме того, сокращение длительности протекания процесса значительно уменьшает тепловой поток от и к системе.

Уравнения Пуассона для адиабатического процесса

Первый закон термодинамики записывается в таком виде:

Иными словами, сообщенная системе теплота Q идет на выполнение системой работы A и на повышение ее энергии внутренней ΔU. Чтобы написать уравнение адиабаты, следует положить Q=0, что соответствует определению изучаемого процесса. Получаем:

При изохорном процессе в идеальном газе все тепло идет на повышение внутренней энергии. Этот факт позволяет записать равенство:

Где CV — изохорная теплоемкость. Работа A, в свою очередь, вычисляется так:

Где dV — малое изменение объема.

Помимо уравнения Клапейрона-Менделеева, для идеального газа справедливо следующее равенство:

Где CP — изобарная теплоемкость, которая всегда больше изохорной, так как она учитывает потери газа на расширение.

Анализируя записанные выше равенства и проводя интегрирование по температуре и объему, приходим к следующему уравнению адиабаты:

Здесь γ — это показатель адиабаты. Он равен отношению изобарной теплоемкости к изохорной. Это равенство называется уравнением Пуассона для процесса адиабатического. Применяя закон Клапейрона-Менделеева, можно записать еще два аналогичных выражения, только уже через параметры P-T и P-V:

График адиабаты можно привести в различных осях. Ниже он показан в осях P-V.

Цветные линии на графике соответствуют изотермам, черная кривая — это адиабата. Как видно, адиабата ведет себя более резко, чем любая из изотерм. Этот факт просто объяснить: для изотермы давление меняется обратно пропорционально объему, для изобаты же давление изменяется быстрее, поскольку показатель γ>1 для любой газовой системы.

Пример задачи

В природе в горной местности, когда воздушная масса движется вверх по склону, то ее давление падает, она увеличивается в объеме и охлаждается. Этот адиабатический процесс приводит к снижению точки росы и к образованию жидких и твердых осадков.

Предлагается решить следующую задачу: в процессе подъема воздушной массы по склону горы давление упало на 30 % по сравнению с давлением у подножия. Чему стала равна ее температура, если у подножия она составляла 25 oC?

Для решения задачи следует использовать следующее уравнение адиабаты:

Его лучше записать в таком виде:

Если P1 принять за 1 атмосферу, то P2 будет равно 0,7 атмосферы. Для воздуха показатель адиабаты равен 1,4, поскольку его можно считать двухатомным идеальным газом. Значение температуры T1 равно 298,15 К. Подставляя все эти числа в выражение выше, получаем T2 = 269,26 К, что соответствует -3,9 oC.

Вывести уравнение для адиабатного процесса

называют процесс изменения термодинамического состояния, происходящий без теплообмена с окружающей средой.

Какой процесс можно было бы считать адиабатным? Вопрос не столь простой. Условием адиабатности можно считать следующее условие: с одной стороны — процесс должен быть очень быстрым, чтобы за время процесса не успел произойти теплообмен, а с другой стороны — он должен быть медленным, чтобы промежуточные состояния были обратимыми (квазистатичными).

Процесс без теплообмена не является адиабатным, если он протекает настолько быстро, что промежуточные состояния не являются квазистатическими (обратимыми).

Если в цилиндре поршень сжимает газ, то в каждый момент времени давление и температура газа должны быть одинаковыми по всему объёму. Для осуществления этого требования требуется некоторое время, называемое временем релаксации. Иначе поршень будет «сгребать» перед собой «сугроб» из молекул.

Первый закон термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:

Если работа, совершаемая над газом внешними телами, будет положительной (отрицательной), то изменение внутренней энергии тоже будет положительным (отрицательным), следовательно, газ нагревается (остывает).

Пусть из некоторого одинакового начального состояния начинают расширяться две одинаковые порции газа. Одна порция расширяется изотермически, другая адиабатно. При увеличении объёмов газов на некоторую величину изотермический процесс приведёт к снижению давления только потому, что уменьшится концентрация молекул.

В адиабатном же расширении газ уменьшает внутреннюю энергию и остывает. Давление при этом уменьшится за счёт уменьшения концентрации так же, как в и изотермическом процессе, но при этом давление ещё дополнительно уменьшится из-за уменьшения температуры. Поэтому давление в адиабатном процессе падает быстрее, чем в изотермическом процессе. Данный факт означает, что график адиабатного процесса в координатной плоскости `pV` будет пересекать график изотермического процесса. На качественном уровне мы уже приходим к выводу, что график адиабаты круче изотермы (рис. 13).

Уравнение, отображающее изменения термодинамических параметров при адиабатном квазистатическом процессе, называют уравнением Пуассона. Не задаваясь целью рассмотрения вывода уравнения, запишем его в готовом виде в различных формах.

Адиабатный процесс – формула, уравнение с примерами

Среди различных явлений, происходящих с газами, важную роль играет адиабатный процесс. Он широко используется в технике и часто встречается в Природе. Рассмотрим его суть более подробно.

Адиабатный процесс

При изучении законов газовых процессов (изопроцессов) для изменения внутренней энергии газа используется обмен теплом с внешними источниками. Например, в изохорическом процессе, когда объем газа не меняется, увеличение внутренней его энергии возможно за счет внешнего нагрева. Обмен теплом также происходит и в изобарическом и изотермическом процессах.

Рис. 1. Три изопроцесса в газах.

Однако, состояние газа и его внутренняя энергия могут меняться и без теплового обмена с внешними источниками. Такой процесс, для которого количество подведенного тепла равно нулю ($Q=0$), называется адиабатным.

Для того, чтобы газовый процесс был приближен к адиабатному в реальных условиях, существует два способа (и их комбинация). Во-первых, можно окружить систему толстой теплоизолирующей оболочкой, сильно замедляющей обмен теплом. Во-вторых, процесс можно проводить очень быстро, при этом теплообмен просто не успеет произойти.

На первый взгляд, может показаться, что если к системе не подводится тепло, то она не может совершать работу. Однако, это не так. Согласно Первому Закону термодинамики, изменение внутренней энергии системы равно сумме работы внешних сил и количества тепла переданного системе:

А это значит, что в адиабатном процессе совершение работы возможно. Но вся эта работа будет произведена за счет изменения внутренней энергии газа.

График адиабаты

Характеристикой внутренней энергии газа является его температура. То есть, если в адиабатном процессе производится работа, то это происходит с обязательным изменением температуры. Например, если работа положительна, и внешние силы сжимают газ, то его температура увеличится, газ нагреется.

Отсюда следует, что давление газа при сжатии в адиабатном процессе будет расти быстрее, чем в изотермическом. В адиабатном процессе давление будет повышаться не только за счет уменьшения объема, но и за счет увеличения температуры. То есть, график адиабаты в координатах $p-V$ внешне будет похож на график изотермы, но пройдет более круто.

Рис. 2. Aдиабата и изотерма в pV.

Можно вывести математические уравнения данных процессов:

• Изотерма: $pV=const$;
• Адиабата: $pV^gamma=const$.

Параметр $gamma$ в формуле адиабатного процесса называется показателем адиабаты. Для реальных газов в нормальных условиях показатели адиабаты несколько больше единицы, и равны:

Газ

Показатель

Фактически, изотерму можно представить адиабатой, с показателем адиабаты $gamma=1$.

Адиабатные процессы в Природе и технике

Поскольку при быстром сжатии и расширении газа теплообмен очень невелик, адиабатные процессы широко используются в технике, и играют большую роль в атмосферных явлениях в Природе.

Например, в двигателях внутреннего сгорания горючая смесь после впуска в цилиндр в течение короткого времени сжимается, а затем, после воспламенения смеси в течении короткого времени расширяется. Таким образом, такты сжатия и рабочего хода в двигателях являются хорошими примерами адиабатного процесса.

Значительный нагрев газа при адиабатном процессе используется в дизельных двигателях. В этих двигателях нет систем для поджигания сжатой топливовоздушной смеси. В дизеле происходит сжатие атмосферного воздуха, сильнее, чем в бензиновом карбюраторном двигателе. А в конце сжатия топливо впрыскивается в цилиндр с помощью специальной форсунки. В этот момент воздух имеет температуру, достаточную для самовоспламенения впрыснутой горючей смеси, температура сгоревшей топливовоздушной смеси резко возрастает, смесь расширяется, толкая поршень и совершая полезную работу.

Природные адиабатные процессы играют значительную роль в формировании погоды. Нагретые массы воздуха быстро поднимаются вверх и расширяются. В результате их температура падает ниже точки росы, и влага, содержащаяся в воздухе, конденсируется в облака. Однако, при снижении снова происходит адиабатное сжатие, температура повышается, и облачные капли у нижней границы облаков снова превращаются в пар.

Рис. 3. Образование облаков.

Что мы узнали?

Адиабатный процесс – это газовый процесс, при котором не происходит теплообмена с внешней средой. Работа при адиабатном процессе может быть совершена только за счет изменения внутренней энергии. На графике $p-V$ график адиабаты похож на график изотермы, но пройдет более круто.