Вывести уравнение колебаний физического маятника

1.1. Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник — это система, состоящая из шарика массой m, подвешенного на пружине длиной .

Рис. 1.2. К выводу уравнения движения для пружинного маятника

В положении равновесия (рис. 1.2) сила тяжести уравновешивается упругой силой :

где – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x = 0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия.

Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным . По закону Гука проекция результирующей силы на ось ОХ будет тогда равна

Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона:

Его можно также представить в виде:

Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом , который образует нить с вертикалью (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К выводу уравнения движения математического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Соответственно, уравнение движения этой материальной точки имеет вид

.

Проецируя его на направления нормали и касательной к траектории (окружности радиуса ), получаем

Модуль скорости равен , учитывая, что при движении точки к положению равновесия угол убывает, а скорость точки растет, напишем

.

Тогда второе из написанных выше уравнений движения приобретает вид

При малых отклонениях маятника от вертикали, когда ,

Физический маятник

Физический маятник — это протяженное колеблющееся тело, закрепленное на оси. Его размеры таковы, что его невозможно рассматривать как материальную точку.

Пример физического маятника приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. К выводу уравнения движения физического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m – масса маятника, а l – расстояние 0C между точкой подвеса 0 и центром масс C маятника.

Рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков и можно объяснить тем, что векторы и направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

Ограничимся рассмотрением малых отклонений от положения равновесия:

В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции равен

и мы приходим к уравнению (1.6) движения математического маятника.

Колебания поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим цилиндр с площадью поперечного сечения , в который вставлен поршень массы (рис. 1.5). Под поршнем в цилиндре идеальный газ с показателем адиабаты , над поршнем воздух с постоянным (атмосферным) давлением . Поршень может двигаться в цилиндре вверх и вниз без трения. Будем считать, что в равновесии объем идеального газа под поршнем равен и изменения объема газа, обусловленные движением поршня, происходят адиабатно, то есть без теплообмена со стенками цилиндра и поршнем.

Рис. 1.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

В состоянии равновесия давление в газе под поршнем складывается из атмосферного давления и давления , оказываемого поршнем. Обозначим это результирующее давление :

Переместим поршень на расстояние x вверх. Объем сосуда увеличится и станет равным

Соответственно уменьшится давление. В силу предположения об отсутствии теплообмена, новое давление в газе можно найти из уравнения адиабаты Пуассона

Здесь — показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул газа.

При малых колебаниях, когда изменение объема газа много меньше его «равновесной» величины , то есть когда

выражение (1.11) можно разложить в ряд Тейлора:

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления , сила давления газа под поршнем и сила тяжести . Знаки сил соответствуют выбору положительного направления оси x вверх. Используя (1.10) и (1.12), находим для равнодействующей этих сил:

Используя (1.13), уравнение движения поршня

Уравнение колебаний маятника

Рис.1

Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ₂ — φ₁):

1) φ₂ — φ₁ = ±2mπ (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ — φ₁ = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω

23 Колебания физического маятника.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения

• — угол отклонения маятника от равновесия;
• — начальный угол отклонения маятника;
• — масса маятника;
• — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
• — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
• — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

[править] Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Основная статья: Приведённая длина

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.

[править] Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен , а момент силы тяжести относительно той же оси . Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

[править] Теорема Гюйгенса

[править] Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

[править] Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

[править] Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на , а правую часть на . Тогда:

.

Интегрируя это уравнение, получаем.

,

где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

.

Удобно сделать замену переменной, полагая . Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

[править] Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

.

24 Колебания математического маятника

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит [1] от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.

[править] Решения уравнения движения

[править] Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где A — амплитуда колебаний маятника, θ₀ — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

[править] Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр определяется выражением

где — энергия маятника в единицах t −2 .

Период колебаний нелинейного маятника

где K — эллиптический интеграл первого рода.

[править] Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

25 Затухающие колебания. Зависимость амплитуды от времени.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где F_c — сила сопротивления, F_y — сила упругости

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = e λt , получают характеристическое уравнение

Корни которого вычисляются по следующей формуле

[править] Решения

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

• Граница апериодичности

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c₁ и c₂ в каждом из случаев определяются из начальных условий:

26 Вынужденные колебания. Понятие резонанса.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Физический маятник

Как выглядят колебания и период физического маятника. Узнайте про период колебаний, уравнение и формулу физического маятника, вращательный момент и инерцию.

Период у физического маятника находится в зависимости от момента инерции точки поворота и дистанции к центру масс.

Задача обучения

• Вычислить параметры, воздействующие на период физического маятника.

Основные пункты

• Физический маятник – обобщенный случай простого. Представлен любым твердым телом, осуществляющим колебания вокруг точки поворота.
• В случае небольших амплитуд период основывается исключительно на моменте инерции вокруг точки поворота и дистанции от оси вращения к центру масс:
• На период колебания маятника не влияет общая масса твердого объекта и массовое распределение. Изменение формы, размера и распределения массы повлияет на момент инерции и период.

Термины

• Физический маятник – стержень или нить не лишены массы и способны увеличивать свой размер.
• Массовое распределение – пространственное распределение и вычисление центра масс в объекте.

Физический маятник

Простой маятник представлен подвешенным грузом к безмассовой нити или стержню, лишенным трения. Здесь можно не учитывать эффекты от нити. А вот в физическом маятнике нить приобретает вес и способна растягиваться. Тогда период зависит от момента инерции вокруг точки поворота.

Мы видим, как силы влияют сквозь центр масс. Можно вычислить период маятника, выявив момент инерции вокруг точки поворота

Гравитация влияет сквозь центр масс твердого тела. Тогда длина маятника приравнивается к линейной дистанции между осью вращения и центром массы (h).

Уравнение вращательного момента:

τ = Iα (α – угловое ускорение, τ – вращательный момент, I – момент инерции).

Гравитация создает вращательный момент:

τ = mghsinθ (h – дистанция от центра масс к точке поворота, а θ – угол от вертикали).

То есть при небольшом угловом приближении:

Та же форма, что и у обычного простого маятника, где период:

И частота физического маятника:

Если мы располагаем моментом инерции, то можем вычислить период у физического маятника. Рассмотрим однородный стержень, повернутый из рамы. Центр масс расположен на дистанции L/2 от точки подвеса:

Жесткий стержень с равномерным распределением массы свисает с точки поворота. Это пример физического маятника

Момент инерции жесткого стержня вокруг его центра:

Также нужно выявить момент инерции относительно точки поворота, а не центра масс, поэтому применим теорему о параллельной оси:

Добавим результат к уравнению за период:

Только отметьте, что период физического маятника все еще зависит от массы. Зато лишен влияния массового распределения твердого тела. Перемены в форме, размере или распределении массы повлияют и на момент инерции, а это изменит период.