Вывод дифференциального уравнения теплопроводности турбулентного потока

Дифференциальное уравнение теплопроводности

При решении задач, связанных с нахождением температурного по­ля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло­проводности.

Температурное поле – совокупность значений температур во всех точках рассматриваемого пространства для каждого момента времени .

Для упрощения вывода этого дифференциального уравнения сде­ланы следующие допущения:

– физические параметры постоянны;

– деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом;

– внутренние источники теплоты в теле распределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии в формулировке:

количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ теп­лопроводностью, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмо­трения изохорного или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме.

(*)

где dQ₁ – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем теплопроводностью за время dτ;

dQ₂ – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объем за счет внутренних источников;

dQ – изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме , за время dτ.

Для нахождения составляющих выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей Оx, Оy, Оz обозначим соответственно dQ_x, dQ_y, dQ_z.

Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz.

Количество теплоты, подведенное к грани dydz=dF в направлении оси Ох за время dτ, составляет ,

где q_x – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани.

Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох

.

Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время dτ в направлении оси Ох

Функция является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора

Если ограничиться двумя первыми членами ряда:

Аналогично можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях двух других координатных осей Oy и Oz.

Количество теплоты dQ, подводимое теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно

Обозначим через , Вт/м 3 , ко­личество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема в единицу времени.

Тогда

Третья составляющая уравнения (*) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

В случае рассмотрения изохорного процесса вся теплота, под­веденная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энер­гии вещества, заключенного в этом объеме, т.е.

где – изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К);

ρ – плотность вещества, кг/м 3 .

Подставляя полученные выражения в уравнение (*), получим

,

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются законом Фурье:

; ; .

где λ – коэффициент теплопроводности (физический параметр вещества, характеризующий способность проводить теплоту), Вт/(м∙°С).

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (*), опуская индекс при с, ипринимая теплофизические характеристики постоянными, получим

(***)

Выражение (***) называется дифферен­циальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь меж­ду временнЫм и пространственным изменением температуры в любой точке тела.

и

Тогда выражение (***) имеет вид:

Выражение (***) в цилиндрической системе координат:

где r – радиус-вектор;

φ – полярный угол;

Коэффициент пропорциональности а, м 2 /с, назы­вается коэффициентом температуропроводности и явля­ется физическим параметром вещества.

Он характеризует скорость изменения темпера­туры, т.е. являет­ся мерой теплоинерционных свойств тела. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает бόльшим коэффи­циентом температуропроводности.

Коэффициент температуропроводно­сти зависит от природы вещества.

Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффи­циентом температуропроводности.

Металлы обладают малой тепловой инерционностью, т.к. они имеют большой коэффициент температу­ропроводности.

Если система тел не содержит внутренних источ­ников теплоты (q_υ=0), то

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. , то

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведен­ная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме:

(**)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как , то

где с_p – изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг·К).

В итоге (**) имеет вид:

Дата добавления: 2016-02-09 ; просмотров: 4570 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Дифференциальное уравнение температурного поля турбулентного потока

ГИДРОТЕРМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВОДОЕМОВ И ВОДОТОКОВ

Целый ряд практических задач, выдвигаемых в настоящее время гидрологией и гидротехникой, требуют изучения распространения теплоты в водных ламинарных или турбулентных потоках.

Дифференциальное уравнение температурного поля турбулентного потока

В пределах потока выделим в системе декартовых координат x, у, z элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 5.1). Рассмотрим его тепловой баланс. Через грани параллелепипеда теплота будет распространяться двумя путями:

1) вместе с водными массами, пронизывающими грани параллелепипеда со скоростями υ_x, υ_y, υ_z — молярный перенос;

2) молекулярной теплопроводностью в ламинарных потоках (с коэффициентом теплопроводности λ) и турбулентной теплопроводностью в турбулентных потоках (с коэффициентом теплопроводности λ_т, во много раз превышающим λ).

Рис. 5.1. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности потока жидкости [8]

Уравнение теплового баланса для выделенного элементарного объема жидкости в этом случае будет иметь следующий вид:

где и т. д. — количество теплоты, обусловленное скоростью потока жидкости через соответствующие грани в направлении осей x, у, z завремя dτ, a и т. д. — количество теплоты, обусловленное теплопроводностью потока через эти же грани и за то же время dτ.

В том случае, когда потоки теплоты, проходящие через грани параллелепипеда, взаимно не компенсируются, т. е. в него входит теплоты больше, чем выходит, или наоборот, будет наблюдаться изменение энтальпии рассматриваемого объема dx dy dz, которое в уравнении (5.1) обозначено через Q₇.

Определим составляющие уравнения (5.1).

Количество теплоты, поступившее в параллелепипед через грань dy dz молярным путем за время dτ,оценим по формуле

где c и ρ — удельная теплоемкость и плотность жидкости; υ_x — проекция скорости на ось x; ρV_x dy dz — расход жидкости через грань параллелепипеда dy dz; t — температура жидкости, проходящей через грань dy dz.

Количество же теплоты, выходящее из элементарного параллелепипеда через противоположную грань, отстоящую от первой на расстоянии dx,

(5.3)

где ∂υ_x/∂x и ∂t/∂x — изменение скорости и температуры жидкости внутри выделенного объема по оси x.Знак минус в этом уравнении свидетельствует о том, что Q₂ — уходящее из элементарного параллелепипеда количество теплоты.

Для остальных граней параллелепипеда будем соответственно иметь:

Другие шесть слагаемых уравнения (5.1) обусловленные турбулентной теплопроводностью, определим по следующим формулам:

где λ_т = cА_т — коэффициент турбулентной теплопроводности, А_т — коэффициент турбулентного обмена жидкости.

Изменение энтальпии рассматриваемого объема Q₇ определим по формуле

(5.6)

Решая совместно уравнения (5.1) — (5.6), получаем

При совместном решении уравнений (5.1) — (5.6) учтено условие неразрывности несжимаемой жидкости

и отброшены слагаемые

а также

из-за их малости по сравнению с другими. Уравнение (5.7) носит название дифференциального уравнения температурного поля турбулентного потока жидкости. Его также называют уравнением энергии.

При постоянном значении коэффициента турбулентной теплопроводности λ_т для всего потока уравнение (5.7) примет вид

(5.9)

Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется в зависимости от координат x, у, z. Но, так как накопленные к настоящему времени знания об его изменений по координатам не позволяют определять характер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.

Учитывая, что левая часть уравнения (5.9) — полная производная от температуры по времени, его можно представить в виде

где а_т = λ_т/(cρ) —коэффициент турбулентной температуропроводности.

При наличии в потоке внутренних источников теплоты (например, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного состояния воды — при внутриводной кристаллизации, при переходе кинетической энергии движения потока в тепловую, при проникновении лучистой энергии в воду и т. д.) уравнение (5.10) должно быть дополнено еще одним слагаемым, связанным с источником

где W — интенсивность внутреннего источника (количество теплоты, которое выделяется или поглощается единицей объема жидкости).

Из сопоставления выражений (3.52) и (5.10) следует, что уравнение энергии отличается от дифференциального уравнения теплопроводности полной производной, учитывающей три дополнительных слагаемых, и коэффициентом турбулентной температуропроводности а_т.

Для ламинарного потока уравнение энергии аналогично уравнению (5.11):

где а = λ/(cρ) — коэффициент температуропроводности жидкости.

В случае установившегося температурного режима водного потока температура в каждой точке его остается неизменной во времени (∂t/∂τ = 0) и меняется лишь по направлениям x, у, z, а уравнение (5.9) принимает следующий вид:

(5.14)

Теплообмен при турбулентном движении. Входные эффекты

Теплообмен при турбулентном движении. Входные эффекты

• Рай находится в турбулентном состоянии внутри трубы. Это, пожалуй, самый распространенный случай теплопередачи в промышленности. Принудительная конвекция может сочетаться с ламинарными и турбулентными течениями со свободной конвекцией, но эти случаи имеют второстепенное значение. Коэффициент теплопередачи турбулентного движения выше, чем коэффициент теплопередачи ламинарного движения, и теплопередающее оборудование обычно рассчитывают, чтобы воспользоваться этой ситуацией.

• Решение задач по теплотехнике

Состояние знаний о теплопередаче в турбулентности неизбежно ограничено степенью знаний об изотермической турбулентной утечке. Ч.13 что использование уравнения Навье-Стокса при исследовании изотермической турбулентности затруднено пульсацией составляющих скорости. По этой же причине было установлено, что трудно использовать дифференциальное уравнение энергии при исследовании неизотермических turbulence. In большая часть турбулентности, тепло в основном передается за счет движения ряда макроскопических жидких элементов (вихрей) между различными температурными областями.

Величина коэффициентов теплопроводности газов на порядок меньше теплопроводности жидкостей. Людмила Фирмаль

Поведение этих вихрей невозможно предсказать, но, если это возможно, уравнения, описывающие это поведение, вероятно, будут очень сложными, поэтому одновременные решения уравнения движения и уравнения энергии будут невозможны. Тем не менее, вам нужно найти решение этих проблем problems. In в этой главе мы рассмотрим некоторые теоретические результаты, используемые в технологии, а в следующей главе рассмотрим расчетные соотношения. Пределы их значения и применимости помогают установить заявленную теорию.

В предыдущих главах мы рассматривали теплообмен в ламинарном потоке, а в первой части рассматривали теплообмен в развивающемся потоке, а затем в развитом потоке. Входной эффект, связанный с развитием потока, также присутствует в турбулентном потоке, что может значительно повлиять на общую эффективность теплообмена в потоке за короткое время. pipe. As как только он проходит через входной участок, коэффициент Коэффициент теплопередачи в развитом турбулентном потоке остается практически неизменным constant. It оказывается, это не относится к ламинарному течению. Входной эффект pipe. At на входе существует множество возможных сочетаний тепловых и гидродинамических условий.

В следующем примере предполагается, что жидкость поступает в трубу при равномерно распределенной температуре и что стенка трубы находится при постоянной температуре, превышающей температуру поступающей жидкости. Учитываются некоторые условия входного потока, и на основе полученных до настоящего времени данных гидродинамики и теплообмена качественно устанавливаются их влияние и локальный коэффициент теплопередачи. 1 жидкость поступает в трубу с равномерным распределением скорости*со скоростью, например, Be 2100.В этих условиях развивается ламинарный пограничный слой, начинающийся от передней кромки, пока он не встретится со всей трубой на определенном расстоянии от передней кромки. inlet.

Входной, коэффициент теплопередачи равен бесконечности. После достижения разработанного курса продолжится снижение. Этот случай рассматривался в предыдущей главе. 2. Жидкость поступает в трубу в ламинарном потоке с равномерным распределением скорости и расходом, таким как He> 2100.Это условие может быть выполнено с круглым входом. На границе образуется ламинарный пограничный слой. inlet. It становится турбулентным на критическом расстоянии, как описано ранее в разделе 2.12 для обтекания плоской пластины. Толщина турбулентного пограничного слоя увеличивается с увеличением расстояния от входа, пока он не заполнит всю трубу и не образует ламинарный подслой с турбулентным ядром на входе.

Кроме того, во всех отношениях поток идентичен потоку, развиваемому при турбулентном входном потоке. Характер этого течения отражается в значениях локальных коэффициентов теплопередачи. Локальный коэффициент теплопередачи уменьшается от бесконечности входного отверстия до некоторого минимума критической точки, в которой ламинарный пограничный слой заменяется турбулентным слоем. Вблизи этой точки коэффициент теплопередачи увеличивается на коротком участке, а затем продолжает уменьшаться до тех пор, пока турбулентный пограничный слой не закроется в центре трубы. Экспериментальные данные в случае движения воздуха в трубе с плавным входом показаны на рисунке. 25. 1.

При увеличении значения Be минимальная точка сдвига приближается к входу. 3. Турбулентность с неравномерным распределением скорости потока, например Be> 2100, профиль скорости на входе в трубу может быть обусловлен резким сужением или изгибом трубы непосредственно перед входом в трубу. inlet. It начинается с пэчворка и развивается пографический слой температуры Я К И затем — ■> ■■ * Не l 55570 около 50 600■41800 около 36500 * 26400 д’ 11°■ — м. 1 ″ б » — » е■ ■ ■ 1 * O 2 4 6 8 10 1%14 16 Рисунок 25. 1.Локальный коэффициент теплопередачи (10) вблизи входа в гладкую округлую трубу. Заполните трубу на некотором расстоянии от нагретой части и входа.

Однако этот входной участок неоднородной турбулентности обычно не оказывает существенного влияния на величину локального коэффициента теплопередачи на расстоянии более 10 диаметров трубы, тогда как входной эффект в ламинарном потоке обычно распространяется на более чем 50 труб diameters. As в ламинарном потоке коэффициент теплопередачи в начале нагреваемого участка становится бесконечным из-за повышения температуры. Однако, как упоминалось выше, он быстро падает до определенного постоянного значения.

Бултер, Янг и Иверсон [10]измерили коэффициент теплопередачи воздуха, движущегося по трубе (внутренний диаметр 4°, 3 ЛМС), и выразили средний коэффициент по значению коэффициента теплопередачи в месте, которое довольно далеко от входа из уравнения. «Т -» ОО (1) (25.1) значение k зависит от входных условий, как показано в таблице. 25.1.At на расстоянии менее 5 диаметров от входа формула имеет вид Это уместно. Таблица 25.1 Значение k в Формуле (25.1) Тип ввода………………….. Плавное скругление……………… 1.

• Гладкая закругленная одной решеткой короткая седативная секция на входе с острыми краями(G / R = 2,8). Длинный успокаивающий участок с острыми краями на входе(G / R = 11,2)……………………… Входите под углом 45°…………… Вход на 90°…………… Диафрагма с цилиндрическим отверстием диаметром 254«на расстоянии 5 мм от входного отверстия. 。 …. Диафрагма с цилиндрическим отверстием диаметром 254 мм на расстоянии 254 мм от входного отверстия Эксперимент на входе с диафрагмой (и для простого входа с острым краем) показал, что на графике зависимости а имеется максимальное значение между 1 и 3. Турбулентность вдоль плоскости plate.

В предыдущей главе мы рассмотрели коэффициент теплопередачи в области ламинарного пограничного слоя на плоской пластине, основываясь на основном дифференциальном уравнении. Эта задача также может быть решена полуэмпирическими методами с использованием так называемого метода интегральных соотношений кармана. Эта глава учитывает турбулентность и использует метод интегральных соотношений для получения приближенного решения задачи, поскольку уравнение Навье-Стокса не может быть использовано.

Как видно из таблиц, среди твердых тел металлы обладают наилучшей теплопроводностью. Людмила Фирмаль

Применение метода интегрирования к изотермическому потоку уже было показано в разделе 2. 13.Мы записали приближенную формулу для распределения скорости пограничного слоя и применили уравнение баланса импульса к элементам этого слоя. Таким образом, получена формула для коэффициента сопротивления поверхности пластины.

Форма уравнения распределения скоростей (13.95) имеет вид «Х-( ’на’ 1 ′ ^ 〜 \ б）• В этой задаче мы предполагаем, что распределение температуры описывается аналогичной формулой (25.2） Поскольку число Прандтля предполагается равным 1, то оно будет равно b = d/, что является границей контрольного объема на рис.3. 25. 2-граница гидродинамического пограничного слоя и температурного пограничного слоя одновременно. игнорируйте вязкую диссипацию и теплопроводность в направлениях x и r. Рисунок 25. 2.Контролируемый объем для исследования теплообмена в турбулентном пограничном слое.

Тепло поступает в систему с потоком жидкости через плоскости 4X и 43 и выходит из системы с потоком жидкости через плоскости A2.It также возникает в результате теплопроводности через часть пластины в области L4. Формула энергетического баланса управляющего объема приведена на рисунке (4. 6) пишите. 25. 2. игнорировать ЧР изменения»* Кинетическая энергия-y и потенциальная энергия#2. Энтальпия I выражается произведением CP1.Движение неподвижно, поэтому нет внешнего при= 0 Работает, IV,=0.Теплопроводность через участок L4 позволяет теплу поступать в контролируемый объем、 5 = Ф / топор (^- «0） Один * Уравнение энергетического баланса принимает вид / 1 csr *и cos + G T dSr! И cos д.

А + $ CP1 и потому, что с М = А » А » А » А » Один (25.3） Поверхность А! И, cos a = — ih, а поверхность A2 и cos a =к ним、 ΓСC ^ x ^ + / » » x + H & p1 и co3 и aA = А, Ля А、 =Λ » x (^- У^.(25.4） Один * Для дальнейшего упрощения мы связываем массовый поток через прокладки A»A2 и A3 со следующими соотношениями, полученными для несжимаемых жидкостей: 13 [опорное выражение.

Поскольку температура жидкости на верхней границе пограничного слоя (участок А3) постоянна и равна температуре свободного течения 20, (13.Если умножить 81) на 10 и подставить полученную формулу уравнения (25.4) вместо Интеграла А3、 И(A> (- Y » x (A (I-10)) их d, A = Да. = «„Х?“- Г ^ (255) Один Поскольку ширина всех колодок одинакова, а значения не изменяются в направлении оси z, двойной Интеграл уравнения (25.5) может быть заменен одним интегралом с соответствующим интегральным пределом. б, б, х、 / / ЗТП(1 ^ 1о) их^ г ^ / топор (б * 0м *.

Предполагая здесь, что длина x2-стремится к нулю, левая часть уравнения (25.6) становится производной, а правая-тепловым потоком от конечной ширины и бесконечно малой длины платформы. Поэтому мы имеем L / hCr(1 — <0) ihs1y = топор (Отсюда (25.8） Безразмерная температура под знаком интеграла、 *

* 0 -. Четыре ^ 8-1о Это еще не все. ^ 8 ^ 0 (25. Девять） ІА = ц0 (25.10） Ф(25. 8) Формула (25. 9) и (25. 10) замените интегральную переменную y, замените верхнюю границу интеграла. топор = eCri0 (25.111） Этот Интеграл может быть вычислен непосредственно. Его численные значения равны, поэтому локальный коэффициент теплопередачи равен Р 7 ад » х-е ^ ОТГ -^- Ch.

Найденная на рисунке 13 толщина границы представляет собой отношение(13. 102). 4 = 0,376 (веха) (25.12） Слой D Если продифференцировать это уравнение、 1/’.Ах ’ т = = о, zo1 все Ке ^. ^ = 0.376(-7 классы’ — ал \ УО / Если мы подставим эту формулу для дифференцирования(25.12)、 (25.13） В Формула ^ = 0 ′ 0292Kech -«. (25.14） Если вы умножите обе стороны этого уравнения на u, Далее, мы получаем выражение для локального числа нуссельта. Ми «= 0.0292 Быть * » РГ. Pr = 1, поэтому конечная форма этого выражения является Литий= 0.0292 Бэу’.

Если уравнение ah должно быть интегрировано от передней кромки пластины до расстояния x, как это было сделано в разделе 24, чтобы получить среднее число нуссельта ] Yait = 0,0365 Быть ’/ *. (25.16)） Этот вывод уравнения Миеса основан на предположении, что турбулентный пограничный слой начинается на передней кромке. Однако турбулентный пограничный слой начинается при критическом значении Кех>, которое приблизительно равно 500 000, и ему предшествует ламинарный пограничный слой.

Локальный коэффициент от передней кромки до критического расстояния определяется по формуле (24.8) и превышает критическую точку по формуле(25.15).С этой формулой, вы, ЭМ, всегда должны брать расстояние от передней кромки пластины, а не от места турбулентности. Если большая часть пластин покрыта ламинарным пограничным слоем, то прямое применение формулы (25.16) является ошибочным. Вместо этого формула от x = 0 до конца ламинарного сечения(24. 8) и формулу от этой точки до конца пластины 25.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института