Вывод формул для задания уравнения наклонной асимптоты

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

Вертикальная асимптота x=3	Горизонтальная асимптота y=1
Наклонная асимптота y=x

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
ОДЗ: \(x\ne \left\<-3;1\right\>\)
\(\left\\notin D\) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем \(x_0=-3\). Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-3-0-1)(-3-0+3)>=\frac<1><-4\cdot(-0)>=+\infty\\ \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-3+0-1)(-3+0+3)>=\frac<1><-4\cdot(+0)>=-\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_0=-3\) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=1\). Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(1-0-1)(1-0+3)>=\frac<1><-0\cdot 4>=-\infty\\ \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(1+0-1)(1+0+3)>=\frac<1><+0\cdot 4>=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_1=1\) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) две точки разрыва 2-го рода \(\left\\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями \(x=-3\) и \(x=1\).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
Ищем предел функции на минус бесконечности: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-\infty)(-\infty)>=+0 \end На минус бесконечности функция имеет конечный предел \(b=0\) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(+\infty)(+\infty)>=+0 \end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел \(b=0\) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) одна горизонтальная асимптота \(y=0\). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции \(y=\frac\), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: \begin \lim_\frac=-\infty,\ \ \lim_\frac=+\infty \end

График асимптотического поведения функции \(y=\frac\):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) \( y=\frac<4x> \)
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(-1-0)><(-1-0+1)(-1-0-1)>=\frac<-4><-0\cdot(-2)>=-\infty\\ \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(-1+0)><(-1+0+1)(-1+0-1)>=\frac<-4><+0\cdot(-2)>=+\infty \end Точка \(x=-1\) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(1-0)><(1-0+1)(1-0-1)>=\frac<4><2\cdot(-0)>=-\infty\\ \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(1+0)><(1+0+1)(1+0-1)>=\frac<4><2\cdot(+0)>=+\infty \end Точка \(x=1\) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты \(x=\pm 1\)

График асимптотического поведения функции \(y=\frac<4x>\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin b_1=\lim_e^<\frac<1>>=e^0=1\\ b_2=\lim_e^<\frac<1>>=e^0=1\\ b=b_1=b_2=1 \end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту \(y=1\). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции \(y=e^<\frac<1>>\)

в) \( y=\frac \)
Заметим, что \( \frac=\frac<(x+1)(x-1)>=\frac<(x^2)(x+1)><(x+1)(x-1)>=\frac \) $$ y=\frac\Leftrightarrow \begin y=\frac\\ x\ne -1 \end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции \(y=\frac\), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой \(x=-1\).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin k_1=\lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\lim_\frac\right)>=\frac<1+0><1-0>=1\\ k_2=\lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\lim_\frac\right)>=\frac<1+0><1-0>=1\\ k=k_1=k_2=1 \end У функции есть одна наклонная асимптота с \(k=1\).
Ищем свободный член: \begin b=\lim_(y-kx)= \lim_\left(\frac-2\right)= \lim_\frac= \lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\\ =\lim_\frac=\frac<1+0><1-0>=1 \end Функция имеет одну наклонную асимптоту \(y=x+1\).
График асимптотического поведения функции \(y=\frac\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin b_1=\lim_xe^<\frac<1><2-x>>=-\infty\cdot e^0=-\infty\\ b_2=\lim_xe^<\frac<1><2-x>>=+\infty\cdot e^0=+\infty \end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции \(y=xe^<\frac<1><2-x>>\)

Асимптоты графика функции

Виды асимптот

Прямая $x=x_<0>$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если хотя бы одно из предельных значений $\lim _-0> f(x)$ или $\lim _+0> f(x)$ равно $+\infty$ или $-\infty$ .

Замечание. Прямая $x=x_<0>$ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке $x=x_<0>$ . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая $y=y_<0>$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если хотя бы одно из предельных значений $\lim _ f(x)$ или $\lim _ f(x)$ равно $y_<0>$ .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая $y=k x+b$ называется наклонной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если $\lim _[f(x)-k x-b]=0$

Нахождение наклонной асимптоты

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции $y=f(x)$ существуют пределы $\lim _ \frac=k$ и $\lim _[f(x)-k x]=b$, то функция имеет наклонную асимптоту $y=k x+b$ при $x \rightarrow \infty$ .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при $k=0$ .

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что $\lim _ f(x)=\infty$, то функция может иметь наклонную асимптоту.

Кривая $y=f(x)$ может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Задание. Найти асимптоты графика функции $y(x)=\frac-3 x+2>$

Решение. Область определения функции:

$D[f] : x \in(-\infty ;-1) \cup(-1 ;+\infty)$

а) вертикальные асимптоты: прямая $x=-1$ — вертикальная асимптота, так как

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты $y=k x+b$:

Таким образом, наклонная асимптота: $y=x-4$ .

Ответ. Вертикальная асимптота — прямая $x=-1$ .

Асимптоты

Вертикальная асимптота.

Если выполнено хотя бы одно из условий
$$
\lim_-0>f(x)=\infty,\qquad\lim_+0>f(x)=\infty,\nonumber
$$
то прямую \(x=x_<0>\) называют вертикальной асимптотой графика функции \(y=f(x)\).

Например, прямая \(x=0\) — вертикальная асимптота графиков функций \(y=\displaystyle \frac<1>\), \(y=\operatornamex^2\), \(y=\displaystyle \frac<1>>\), \(y=\operatornamex\), прямая \(x=-1\) — вертикальная асимптота графика функции \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\), прямые \(x=\displaystyle \frac<\pi> <2>+\pi k\ (k\in \mathbb)\) — вертикальные асимптоты графика функции \(y=\operatornamex\).

Функции и их асимптоты

Асимптота	Функция	График функции
\(x=0\)	\(y=\displaystyle \frac<1>\)
	\(y=\operatornamex^2\)
	\(y=\displaystyle \frac<1>>\)
	\(y=\operatornamex\)
\(x=-1\)	\(y=\displaystyle \frac<3-2x>\)

Асимптота (невертикальная асимптота).

Прямую
$$
y=kx+b\nonumber
$$
называют асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функции \(y=f(x)\) при \( x\rightarrow+\infty\), если
$$
\lim_(f(x)-(kx+b))=0.\label
$$
Если \(k\neq 0\), то асимптоту называют наклонной, а если \(k=0\), то асимптоту \(y=b\) называют горизонтальной.

Аналогично вводится понятие асимптоты при \(x\rightarrow-\infty\).

Например, прямая \(y=0\) — горизонтальная асимптота графиков функции \(y=\displaystyle \frac<1>\), \(y=\displaystyle \frac<1>>\) при \(x\rightarrow +\infty\) и \(x\rightarrow -\infty\), графика функции \(y=a^x,\ a > 1)\), при \(x\rightarrow -\infty\). Прямая \(y=1\) — асимптота графиков функций \(y=e^<1/x>\), \(y=\operatorname

x\) и \(y=\operatornamex\) (см.график ниже) при \(x\rightarrow +\infty\); прямая \(y=\displaystyle \frac<\pi><2>\) — асимптота графика функции \(y=\operatornamex\) при \(x\rightarrow +\infty\) (см.график ниже), а прямая \(y=\pi\) — асимптота графика функции \(y=\operatornamex\) при \(x\rightarrow -\infty\).

Функции и их асимптоты

Асимптота	Функция	График функции
\(y=1\)	\(y=e^<1/x>\)
	\(y=\operatorname	x\)
	\(y=\operatornamex\)
\(y=\displaystyle \frac<\pi><2>\)	\(y=\operatornamex\)
\(y=\pi\)	\(y=\operatornamex\)

Найти асимптоту при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\) графика функции:

1. \(\triangle\) Так как \(y=-2+\displaystyle \frac<5>\), то прямая \(y=-2\) — асимптота графика \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\) (рис. 9.4) при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\).
   \(y=\displaystyle \frac<3-2x>\)
2. Разделив числитель \(x^<3>\) на знаменатель \((x+1)^2\) по правилу деления многочленов (можно воспользоваться равенством \(x^<3>=((x+1)-1)^<3>=(x+1)^<3>-3(x+1)^<2>+3(x+1)-1\)), получим
   $$
   \frac><(x+1)^<2>>=x-2+\frac<3x+2><(x+1)^<2>>.\label
   $$
   Отсюда следует, что асимптотой графика функции \(y=\displaystyle \frac><(x+1)^<2>>\) при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\) является прямая \(y=x-2\).
3. Используя равенство \(y=\displaystyle \sqrt[3]+x^<2>>=x\left(1+\frac<1>\right)^<1/3>\) и локальную формулу Тейлора, получаем \(y=x\left(1+\displaystyle \frac<1><3x>+o\left(\frac<1>\right)\right)=x+\frac<1><3>+o(1)\) при \(x\rightarrow 0\), откуда следует, что прямая \(y=x+\displaystyle \frac<1><3>\) — асимптота графика функции \(y=\sqrt[3]\) при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\).
4. Применяя формулу Тейлора для экспоненты, получаем \(y=\left(x-\displaystyle \frac<4>\right)\left(1-\frac<5><3x>+o\left(\frac<1>\right)\right)=x-\frac<5><3>+o(1)\) при \(x\rightarrow \infty\), откуда следует, что \(y=x-\displaystyle \frac<5><3>\) — асимптота графика данной функции при \(x\rightarrow+\infty\) и \(x\rightarrow-\infty\). \(\blacktriangle\)

Для того, чтобы прямая \(y=kx+b\) была асимптотой графика функции \(y=f(x)\) при \( x\rightarrow+\infty\), необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
$$
\lim_\frac=k,\label
$$
$$
\displaystyle \lim_(f(x)-kx)=b.\label
$$

\(\circ\) Необходимость. Если прямая \(y=kx+b\) — асимптота графика функции \(y=f(x)\) при \(x\rightarrow+\infty\), то выполняется условие \eqref или равносильное ему условие
$$
f(x)=kx+b+\alpha(x),\quad \alpha(x)\rightarrow 0 \quad при \quad x\rightarrow +\infty.\label
$$
Разделив обе части равенства \eqref на \(x\), получим
$$
\frac=k+\frac+\frac<\alpha(x)>,\nonumber
$$
откуда следует, что существует предел \eqref.

Из равенства \eqref получаем
$$
f(x)-kx=b++\alpha(x),\ где \ \alpha(x)\rightarrow 0 \ при \ x\rightarrow+\infty,\nonumber
$$
откуда следует, что существует предел \eqref.

Достаточность. Если существуют конечные пределы \eqref и \eqref, то \(f(x)-(kx+b)=\alpha(x)\), где \(\alpha(x)\rightarrow 0\) при \(x\rightarrow+\infty\), то есть выполняется условие \eqref. Это означает, что прямая \(y=kx+b\) — асимптота графика функции \(y=f(x)\) . \(\bullet\)

Для случая горизонтальной асимптоты данная теорема формулируется в следующем виде: для того, чтобы прямая \(y=b\) была асимптотой графика функции \(y=f(x)\) при \(x\rightarrow+\infty\), необходимо и достаточно, чтобы \(\displaystyle \lim_f(x)=b\).

источники:

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_25.php

http://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/function_asymptote/