Вывод функции грина для одномерного уравнения теплопроводности

Лекция 4. Вывод уравнения теплопроводности

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий — это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С — удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S — площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q₁ = -kSU_x(x, t)∆t, где k — коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть U_x CpS∆x∆U = kSU_x(x + ∆х, t) ∆t — kSU_x(x, t)∆t.

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

U_t = a 2 U_xx,
где — коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности

Начальные условия и граничные условия.

Для уравнения теплопроводности задается только одно начальное условие U|_t=0 = φ(х) (или в другой записи U(x,0) = φ(х)) и физически оно означает, что начальное распределение температуры стержня имеет вид φ(х). Для уравнений теплопроводности на плоскости или в пространстве начальное условие имеет такой же вид, только функция φ будет зависеть, соответственно, от двух или трех переменных.

Граничные условия в случае уравнения теплопроводности имеют такой же вид, как и для волнового уравнения, но физический смысл их уже иной. Условия первого рода (5) означают, что на концах стержня задана температура. Если она не изменяется со временем, то g₁(t) ≡ Т₁ и g₂(t) ≡ Т₂, где Т₁ и Т₂ — постоянные. Если концы поддерживаются все время при нулевой температуре, то Т₁= Т₂ = 0 и условия будут однородными. Граничные условия второго рода (6) определяют тепловой поток на концах стержня. В частности, если g₁(t) = g₂(t) = 0, то условия становятся однородными. Физически они означают, что через концы не происходит теплообмен с внешней средой (эти условия еще называют условиями теплоизоляции концов). Наконец, граничные условия третьего рода (7) соответствуют случаю, когда через концы стержня происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (напомним, что при выводе уравнения теплопроводности мы считали боковую поверхность теплоизолированной). Правда, в случае уравнения теплопроводности условия (7) записываются немного по-другому:

Физический закон теплообмена со средой (закон Ньютона) состоит в том, что поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Таким образом, для левого конца стержня он равен Здесь h₁ > 0 — коэффициент теплообмена с окружающей средой, g₁(t) — температура окружающей среды на левом конце. Знак минус поставлен в формуле по той же причине, что и при выводе уравнения теплопроводности. С другой стороны, в силу теплопроводности материала поток тепла через этот же конец равен Применив закон сохранения количества тепла, получим:

Аналогично получается условие (14) на правом конце стержня, только постоянная λ₂ может быть другой, так как, вообще говоря, среды, окружающие левый и правый конец, бывают разные.

Граничные условия (14) являются более общими по сравнению с условиями первого и второго рода. Если предположить, что через какой-либо конец не происходит теплообмена со средой (то есть коэффициент теплообмена равен нулю), то получится условие второго рода. В другом случае предположим, что коэффициент теплообмена, например h₁, очень большой.

Перепишем условие (14) при х = 0 в виде и устремим . В результате будем иметь условие первого рода:

Аналогично формулируются граничные условия и для большего числа переменных. Для задачи о распространении тепла в плоской пластине условие означает, что температура на ее краях поддерживается нулевой. Точно так же, условия и внешне очень похожи, но в первом случае оно означает, что рассматривается плоская пластина и края ее теплоизолированы, а во втором случае оно означает, что рассматривается задача о распространении тепла в теле и поверхность его теплоизолирована.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности:

Найти решение уравнения

удолетворяющее граничным условиям

и начальному условию

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Будем искать решения уравнения (15) в виде U(x,t) = X(x)T(t).

Найдем частные производные:

Подставим эти производные в уравнение и разделим переменные:

По основной лемме получим

Теперь можно решить каждое из этих обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратим внимание на то, что используя граничные условия (16), можно искать не общее решение уравнения б), а частные решения, удолетворяющие соответствующим граничным условиям:

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Эта задача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля, рассмотренной в лекции 3. Напомним, что собственные значения и собственные функции этой задачи существуют только при λ>0.

Собственные значения равны

Собственные функции равны (См. решение задачи)

Шаг 3. Подставим собственные значения в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (15):

В силу линейности и однородности уравнения (15) их линейная комбинация

Шаг 5. Определим коэффициенты A_n в (19), используя начальное условие (17):

Приходим к тому, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Коэффициенты Фурье находятся по формулам

Вычислив эти коэффициенты для конкретной начальной функции φ(x) и подставив их значения в формулу (19), мы тем самым получим решение задачи (15), (16), (17).

Замечание. Используя формулу (19), можно также, как в лекции 3, получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения U_t = a 2 U_xx. Оно будет иметь вид

где

Вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность

скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

Уравнение параболического типа. Основные уравнения

Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.

Обсудим процесс распространения тепла в неравномерно нагретом твердом теле. Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Процесс может быть описан функцией u = u (x, y, z, t) дающей температуру u в каждой точке M (x, y, z) тела и в любой момент времени t .

Примем следующую модель процесса: происходит механический перенос тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым; все тепло идет на изменение температуры тела; свойства тела от температуры не зависят. Идеализация явления состоит в том, что мы будем изучать процесс, не касаясь его молекулярной природы, а также иных проявлений. Опишем процесс математически для одномерного тела.

Вывод уравнения теплопроводности для одномерного случая

Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x = 0, а другой — с точкой x = l (рис. 1).

Чтобы найти функцию u=u(x, t), надо составить дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.

1. Количество тепла DQ, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Du , равно

где c — удельная теплоемкость, m — масса тела.

Для стержня имеем

где ρ — плотность материала стержня; S — площадь его поперечного сечения.

2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье количество тепла ΔQ, протекающее за время Δt через площадку ΔS в направлении нормали к этой площадке, равно

где k — коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).

Для стержня имеем

, (2)

где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k = k(x).

3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема.

Обозначим через F (x, t), плотность источников в точке x рассматриваемого стержня в момент t. Тогда в результате действия этих источников на участке (x, x +Δx) за промежуток Δt будет выделено количество тепла

(3)

И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.

Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x = x₁ и x = x₂ (x₂ — x₁ = Δx), и составим уравнение теплового баланса на отрезке [x₁, x₂]. Так как боковая поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (2) количество тепла, прошедшее через сечение x = x1, равно

через сечение x = x₂:

Найдем приток тепла в элемент стержня:

(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).

Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом участке в течение времени Δt выделится количество тепла согласно (3)

Все тепло за время Δt пойдет на изменение температуры выделенного элемента стержня на величину Δu .И поэтому сообщенное количество тепла ΔQ , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (1):

В силу закона сохранения энергии имеем равенство

Сокращая на общий множитель SΔxΔt , получим уравнение

Введя обозначения , придем к уравнению

(4)

Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла в однородном стержне. Уравнение (4) называют уравнением теплопроводности, в котором постоянную a² температуропроводности. Коэффициент a² называют коэффициентом имеет размерность м² /с.

Уравнение (4) является линейным неоднородным уравнением параболического типа.

Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.

Процесс распределения температуры u = u (x, y, z, t) в изотропном теле описывается уравнением

которое кратко записывается так:

(6)

где — оператор Лаплас

О функции Грина для обобщенного уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Oсиленкер Борис Петрович

В работе анонсировано представление функции Грина для обобщенного уравнения теплопроводности , собственные функции которого содержат нагруженные ортонормированные полиномы .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Oсиленкер Борис Петрович

ON THE GREEN FUNCTION FOR A GENERALIZED HEAT EQUATION

In the work, for a generalized heat equation , there is given a representation of the Green function with the eigenfunctions containing loaded orthonormal polynomials .

Текст научной работы на тему «О функции Грина для обобщенного уравнения теплопроводности»

О НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЕНИЯХ МЕТОДА НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ

Ключевые слова: направляющая функция; дифференциальное включение; периодическое решение; бифуркация

Обсуждаются современные развития метода направляющих функций в теории дифференциальных включений и управляемых систем: негладкие направляющие функции, интегральные направляющие функции, направляющие функции в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Рассматриваются приложения к существованию периодических и обобщенно периодических решений, граничных задач, бифуркациям семейств решений и другие вопросы.

1. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis. Lecture Notes in Math. 2076. Berlin: Springer, 2013.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ 11-01-00328 и 12-01-00392.

Obukhovskii V.V. ON SOME APPLICATIONS OF THE METHOD OF GUIDING FUNCTIONS IN PROBLEMS OF NONLINEAR ANALYSIS AND CONTROL THEORY

We discuss the contemporary developments of the method of guiding functions in theory of differential inclusions and control systems: non-smooth guiding functions, integral guiding functions, guiding functions in infinite-dimensional spaces. We consider applications to the existence of periodic and generalized periodic solutions, boundary value problems, bifurcations of families of solutions and other questions.

Key words: guiding function; differential inclusion; periodic solution; bifurcation.

О ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Ключевые слова: ортогональные полиномы; ряды Фурье; нагруженные ортонормиро-ванные полиномы; уравнение теплопроводноси; обобщенное уравнение теплопроводности; функция Грина.

В работе анонсировано представление функции Грина для обобщенного уравнения теплопроводности, собственные функции которого содержат нагруженные ортонормиро-ванные полиномы.

В линейном пространстве Р полиномов с вещественными коэффициентами введем скалярное произведение

Р (ж) „(ж) ш(ж)йж I муР(жу)

= p (x) q (x) w(x)dx + Е Mjp(xj)q(xj) (1)

(p, q € P; xj € [a, b] ,j = 1, 2. ,m) ,

где w(x) — весовая функция (положительная почти всюду в [a,b] интегрируемая функция), Mj (j = 1, 2. m) — неотрицательные вещественные числа.

С помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта построим последовательность нагруженных полиномов степени n : (n = 1, 2, 3 . ; x €

€ [a, b]) , о ртонормированных в скалярном произведении (1):

где öm,n — функция Кронекера.

Задача исследования нагруженных систем, возникающих в математической физике, была поставлена в классической книге Р.Куранта и Д.Гильберта «Методы математической физики» и исследована в большом числе работ.

Нагруженные ортонормированные полиномы (n = 0,1, 2. ) удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению

xqn (x) = anqn+1 (x) + Unün (x) + a,n-iqn-i (x) (n = 0,1, 2. ; q-i (x) = 0),

причем для рекуррентных коэффициентов справедливы соотношения

lim an = a, lim un = b.

Пр и м е р. Нагруженные полиномы Якоби

-1; х € [-1,1]) — вес Якоби.

Пусть Ь — дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, для которого выполняется Ьхрп (ж) = —Апрп(ж) , где

=0 — монотонно возрастающая последовательность вещественных чисел, Итп^те Ап = +гс>.

Рассмотрим обобщенное уравнение теплопроводности

Ьх! = (0 0 . Тогда при этих значениях имеет место представление

(Xn+i-Xn)t]2 + e-(An+2-A„)i[1 — e-A2\nt]>ÿn (x, y)

где fin (x, y) = anan+1 [qn (x) qn+2 (y) + qn+2 (x) qn (y)] — 2аП Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.