Вывод основного уравнения молекулярной теории

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) с выводом

В статье рассмотрена модель идеального газа, приведено основное уравнение молекулярно-кинетической теории и его вывод.

Чтобы объяснить свойства материи в газообразном состоянии, в физике применяется модель идеального газа. Идеальный газ — разреженный, состоящий из одного типа атомов газ, частицы которого не взаимодействуют между собой. Помимо основных положений МКТ эта модель предполагает, что:

• молекулы имеют пренебрежимо малый объем в сравнении с объемом емкости
• при сближении частиц друг с другом и с границами емкости имеют место силы отталкивания

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Физический смысл основного уравнения МКТ заключается в том, что давление идеального газа — это совокупность всех ударов молекул о стенки сосуда. Это уравнение можно выразить через концентрацию частиц, их среднюю скорость и массу одной частицы:

p – давление молекул газа на границы емкости,

m₀ – масса одной молекулы,

n — концентрация молекул, число частиц N в единице объема V;

v 2 — средне квадратичная скорость молекул.

Вывод основного уравнения МКТ

Частицы идеального газа при соударениях с границами емкости ведут себя как упругие тела. Такое взаимодействие описывается согласно законам механики. При соприкосновении частицы с границей емкости проекция v_x скоростного вектора на ось ОХ, проходящую под прямым углом к границе сосуда, меняет свой знак на противоположный, но сохраняется неизменной по модулю:

Поэтому после соударения частицы с границей емкости проекция импульса молекулы на ось ОХ меняется с mv_1x = –mv_x на mv_2x = mv_x.

Изменение импульса молекулы ΔP равняется удвоенному произведению массы молекулы на ее скорость:

Поскольку в каждом из шести основных направлений декартовой системы координат (вверх, вниз, вперед, назад, вправо, влево) движется одна шестая часть частиц N/6. Тогда число частиц, которые сталкиваются с каждой стенкой за время Δt равно:

S – площадь этой стенки

n — концентрация частиц

Давление p равно отношению силы F к площади S, на которую действует эта сила:

Суммарная сила, с которой частицы давят на стенку равна отношению произведения числа этих частиц N и изменения импульса ΔP ко времени, в течение которого происходит давление:

Исходя из вышенаписанного получаем:

Если заменить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул — E:

и подставить эту формулу в основное уравнение МКТ, получим давление идеального газа:

Давление идеального газа равняется двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул на единицу объема. При решении задач реальный газ можно считать идеальным газом, если он одноатомный и можно пренебречь взаимодействием между частицами.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)

В названии темы есть слово уравнение – значит, речь пойдёт о каком-то математическом уравнении. В уравнении должны фигурировать какие-то величины. Если вы изучали предыдущие темы раздела #молекулярно-кинетическая теория , то, наверное, заметили, что в них было очень мало формул. А те формулы, что были – были совсем простыми. Пришло время формул посложнее. А для начала нам надо будет сказать о том, какие величины нам понадобятся. Перечислим их.

Наша задача – получить уравнение, которое описывало бы связь между перечисленными величинами. Давайте попробуем вспомнить, что такое газ, помещённый в некоторый сосуд.

Как можно условно представить, что такое газ?

Газ можно представить как бильярдные шарики, которые лежат на дне коробки.

Газ можно представить как множество мелких упругих шариков, которые «летают» по сосуду, в котором они заключены, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда.

Газ – это объёмная структура из шариков, которые жёстко связаны друг с другом и не двигаются друг относительно друга.

Газ – это шарики, которые прилипают к стенкам и находятся в месте прилипания к стенкам очень долго.

Мы предлагаем попробовать выразить давление газа через другие величины из нашего списка. Ниже будет видно, что на самом деле это можно сделать вполне даже несложно.

Давление. Отчего возникает давление газа не стенки сосуда?

Как вы думаете, почему возникает давление газа на стенки сосуда? Давление газа на стенки сосуда – это .

. результат ударов беспорядочно двигающихся молекул газа о стенки сосуда.

. некоторая постоянная величина, которая никак напрямую не связана с молекулярной природой газа.

. результат действия силы притяжения Земли.

. результат действия сил трения между молекулами и стенками, а также между молекулами – друг с другом.

Далее – мы постараемся вывести связь давления газа с другими характеристиками газа. Возможно, схема, которую мы приводим ниже, поможет вам лучше понять, как выводится основное уравнение МКТ:

1. Давление газа – да и давление вообще – связано с силой. Кстати…

Какой формулой давление связано с силой (подсказка – такая формула была у нас в механике)?

p = F h p = \frac p = h F ​

2а. От чего зависит сила удара отдельной молекулы? Наш богатый жизненный опыт подсказывает нам, что чем больше будет скорость v v v и масса «шарика» (молекулы) m 0 m_0 m 0 ​ – тем сильнее будет «удар» молекулы о стенку.

Эту зависимость можно вывести из 2-го закона Ньютона. Обозначим силу удара отдельной молекулы F 0 F_0 F 0 ​ . По 2-му закону Ньютона F 0 = m 0 a F_0=m_0a F 0 ​ = m 0 ​ a . Эту формулу можно расписать:

Оказывается, что сила «удара» зависит от величины импульса тела.

Тогда и сила ударов всех молекул пропорциональна импульсу молекулы: F ∼ m 0 v F \sim m_0 v F ∼ m 0 ​ v .

2б. Общая сила «ударов» молекул будет тем больше, чем больше молекул находится в газе. Общее число молекул считать бессмысленно: не все молекулы будут «ударять» стенку. Имеет смысл считать, как много молекул содержится в единице объёма.

А что это за величина – число частиц в единице объёма?

Это общее число молекул N N N .

Это масса одной молекулы m 0 m_0 m 0 ​ .

Это плотность газа ρ \rho ρ .

Это концентрация газа n n n .

Тогда получается, что сила также пропорциональна и концентрации газа: F ∼ n F\sim n F ∼ n .

2в. И последнее. Согласитесь, что ударов будет больше не только, если молекул будет больше, но и если молекулы будут «лететь» с бо́льшими скоростями – больше молекул будет «долетать» до стенки. Это значит, что сила также пропорциональна и скорости молекул: F ∼ v F \sim v F ∼ v .

В итоге у нас получился следующий набор фактов:

Мы получили почти правильную формулу. Основное уравнение МКТ выглядит следующим образом:

Это основная формула. Из неё можно получить ещё несколько, если использовать формулы из разделов #механика и #молекулярная физика и термодинамика

Ещё разок приведём диаграмму, которая поясняет, каким образом можно связать давление газа с другими его характеристиками:

Выведем из основного уравнения МКТ еще две формулы.

А. Начнем с формулы, связывающей давление газа и энергию.

Видно выражение для потенциальной энергии поднятого тела.

Видно выражение для кинетической энергии движения тела.

Видно выражение для потенциальной энергии растянутой пружины.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (Колебошин С.В.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На прошлых уроках мы сформулировали понятие идеального газа и описали его микро- и макропараметры. Этот урок будет посвящён выведению соотношения между этими параметрами. Таким образом, мы выведем основное уравнение молекулярно-кинетической теории, а также рассмотрим две формы записи данного уравнения.