Вывод уравнений максвелла в дифференциальной

Основные уравнения классической электродинамики (система уравнений Максвелла) по праву являются общепризнанными уравнениями и широко применяются в физике, радиофизике и электронике. Однако эти уравнения не были получены из общих физических законов, что не позволяло считать их абсолютно точными, допускало различного рода манипуляции с ними. Тем не менее, эти уравнения точные и выводятся из общих принципов физики и основ векторной алгебры [1, 2].

1. Вывод закона электромагнитной индукции Фарадея

Закон электромагнитной индукции Фарадея можно получить из уравнения для электромагнитных сил, действующих на точечный электрический заряд [1, 2]:

,

(1)

где e – заряд электрона, E – вектор напряженности электрического поля, r – радиальный вектор, соединяющий ось источника магнитной индукции B с электрически заряженной частицей и лежащий в плоскости, ортогональной оси симметрии магнитного поля.

Рассмотрим случай, когда магнитная часть силы F_ЕМ равна и направлена противоположно ее электрической части:

.

(2)

Такая ситуация возникает в проводнике с электрическим током высокой частоты, когда сила, действующая на электрон со стороны первичного электрического поля изменяется настолько быстро, что оказывается в противофазе с силой инерции электронов.

Сократим заряд в равенстве (2) и применим к обеим частям этого равенства операцию «ротор»:

.

(3)

Пусть, например, ось z совпадает с направлением аксиального вектора B, тогда радиус-вектор будет иметь вид: r=xi+yj, где i и j – единичные векторы в направлениях осей координат x и y, соответственно. Радиальный векторr не имеет третьей составляющей вдоль оси z, поэтому второе слагаемое в (3) равно –2(∂B/∂t). Первое же слагаемое в уравнении (3) равно ∂B/∂t. В результате, после преобразования правой части последнего равенства, получаем:

.

(4)

То есть из электромагнитного силового уравнения (1) в том случае, когда сила, действующая на электрон со стороны магнитного поля, полностью уравновешивается силой со стороны электрического поля, следует закон электромагнитной индукции Фарадея (4), − одно из основных уравнений электродинамики.

Уравнения (2) – (4) не зависят от того, имеется или отсутствует электрон в данной точке пространства. В результате такой независимости электрического и магнитного полей от электрического заряда уравнение (4) отражает пространственно-временные свойства самих изменяющихся полей, представимых в виде единого электромагнитного поля. При этом закон Фарадея (4) не только представляет собой закон электромагнитной индукции, но является и основным законом взаимного преобразования электрического и магнитного полей, − неотъемлемым свойством электромагнитного поля.

2. Вывод уравнения Максвелла

Прежде, чем приступить к выводу уравнения Максвелла, необходимо дополнить векторную алгебру еще одним векторным оператором.

2.1. Определение векторного оператора, выполняющего действие, обратное векторному преобразованию дифференциального векторного оператора «ротор»

Дифференциальный векторный оператор «ротор» выполняет операцию преобразования векторов в пространстве и операцию дифференцирования, то есть является сложным оператором, осуществляющим сразу два вида действий. Это прямо следует из его определения [3]:

,

где а – вектор, i, j, k – единичные векторы в направлении осей прямоугольной (декартовой) системы координат x, y и z, соответственно. При этом оператор, обратный оператору «ротор», в векторном анализе не определен, хотя каждое из выполняемых им преобразований, в принципе, обратимо.

Геометрическая иллюстрация пространственного преобразования вектора а в вектор rot(a), осуществляемая оператором «ротор», показана на Рис. 1.

Рис. 1. Геометрическое представление вектора а и векторного поля, образованного оператором «ротор».

2.2. Определение 1. Если два взаимосвязанных векторных поля, представленные векторами а и b, имеют производные по пространственным переменным x, y, z (в виде rotaи rotb)и производные по времени, ¶ а/ ¶ t и ¶ b/ ¶ t, причем производная вектора а по времени ортогональна производным по пространственным переменным вектора b, и наоборот, производная по времени вектора b ортогональна производным по пространственным переменным вектораа, то существует векторный оператор, осуществляющий пространственное преобразование векторного поля, не затрагивающее операцию дифференцирования, который условно назовем оператором «rerot», (противоположно закрученный или «реверсивный ротор») такой, что:

и ; (5)

и . (5*)

2.3. Свойства векторного оператора «реверсивный ротор»

2.3.1. Векторный оператор «реверсивный ротор» действует только на производные вектора.

2.3.2. Векторный оператор «реверсивный ротор» располагается перед производной вектора, на которую он действует.

2.3.3. Константы и числовые коэффициенты при производных вектора могут быть вынесены за пределы действия векторных операторов:

;

,

2.3.4. Векторный оператор «реверсивный ротор» действует на каждое из слагаемых уравнения, содержащего сумму векторных производных:

,

2.3.5. Результат действия векторного оператора «реверсивный ротор» на ноль есть ноль:

.

При этом результат действия векторного оператора «реверсивный ротор» на другие константы, в том числе на вектор, согласно пункту 2.3.1, не определен.

2.4. Пример применения оператора «реверсивный ротор»

Применим оператор «реверсивный ротор» к уравнению, содержащему взаимосвязанные векторы a и b:

.

((*))

, откуда следует:

.

((**))

Если теперь еще раз применить оператор «реверсивный ротор» к вновь образованному равенству (**), то получим:

или

, или окончательно:

.

((*))

Последовательное двойное (или любое четное) применение оператора «реверсивный ротор» приводит к исходному равенству. Этим самым векторный оператор «реверсивный ротор» осуществляет не только взаимное преобразование дифференциальных уравнений взаимосвязанных векторных полей, но и устанавливает эквивалентность этих уравнений.

Геометрически это выглядит так. Оператор «ротор» дифференцирует и как бы закручивает прямолинейное векторное поле, делая его вихревым и ортогональным исходному векторному полю. Векторный оператор «реверсивный ротор» выполняет векторное преобразование, которое как бы раскручивает вихревое поле, закрученное оператором «ротор», превращая его в изменяющееся невихревое поле, представленное производной вектора по времени. Поскольку интегрирование не производится, производная вектора по времени соответствует изменению величины вектора. В результате имеем изменение вектора, величина которого изменяется в единственном направлении, ортогональном пространственным переменным оператора «ротор». И наоборот, векторный оператор «реверсивный ротор» закручивает невихревое изменяющееся векторное поле, представленное производной вектора по времени, превращая его в вихревое пространственное векторное поле, ортогональное исходной производной вектора по времени. Так как направление «кручения» оператора «реверсивный ротор» противоположно направлению вращения, осуществляемому оператором «ротор», то знак вновь образованного вихревого поля выбирается противоположным (отрицательным). То есть векторный оператор «реверсивный ротор» выполняет действие, обратное пространственному преобразованию оператора «ротор» на всем «пространстве» производных векторных полей. В то же время векторный оператор «реверсивный ротор» сам не дифференцирует вектор, на производную которого он действует. Этим самым осуществляется тождественное обратимое векторное преобразование.

Если ввести в векторный анализ интегральный векторный оператор, восстанавливающий не производную вектора, а сам вектор из ротора вектора (условно назовем такой оператор обратным ротором, или «rot -1 »), то такой оператор наряду с обратным векторным преобразованием одновременно должен производить операцию интегрирования.

Однако, в силу неоднозначности математической операции интегрирования, полностью обратный «ротору» оператор rot -1 не осуществляет однозначное обратное векторное преобразование.

2.5. Применение векторного оператора «реверсивный ротор» к физическим полям

При применении векторного оператора «реверсивный ротор» к физическим векторным полям необходимо учитывать изменение размерности правой и левой частей уравнения из-за перестановки переменных x, y, z и t при преобразовании. Обозначим размерность координат – метр (L), а времени – секунда (T).

Определение 2. Для физических векторных полей векторный оператор «реверсивный ротор», определяется следующим образом:

и ;

(6)

и . (6*)

Обозначая размерное отношение L/T, как константу v, имеющую размерность скорости, [м/с], уравнения (6.4) и (6.4*) можно представить в виде:

и ;

(7)

и .

(7*)

2.6. Применение оператора «реверсивный ротор» к физическим полям

Применим векторный оператор «реверсивный ротор», определенный уравнениями (7), (7*), к уравнению (4), связывающему реальные физические поля E и B в электродинамике:

;

, что преобразуется к виду:

(8)

Электродинамическая постоянная «v» не зависит ни от величины полей, ни от скорости их изменения и, как следует из волнового уравнения, соответствует скорости распространения волны электромагнитного взаимодействия, c » 2.99792458 Ч 10 8 м/c, которая называется также скоростью света в вакууме.

То есть с помощью векторного преобразования «реверсивный ротор» из уравнения (4), представляющего собой закон электромагнитной индукции Фарадея, естественным образом вытекает одно из основных уравнений электродинамики — уравнение Максвелла (8), которое не следует ни из эксперимента, ни из известных физических законов. Уравнения (4) и (8) являются взаимосвязанными, трансформируемыми друг в друга при помощи векторного преобразования, что соответствует их физической эквивалентности. Поэтому справедливость одного из этих уравнений, установленная в виде физического закона (в данном случае — это закон электромагнитной индукции Фарадея (4)) является достаточным условием для утверждения о справедливости второго уравнения (уравнения Максвелла (8)) в качестве эквивалентного физического закона.

2.7. Трансформация векторных полей

Если исходить из определения оператора «ротор», то действие векторного оператора «обратный ротор», казалось бы, можно представить в виде, показанном на Рис. 2, где предполагается некоторая тождественность векторных полей до и после векторного преобразования дифференциальным векторным оператором «ротор».

Проверим это предположение. Применим оператор «реверсивный ротор» к уравнению:

.

, откуда следует:

.

Полученное равенство изменяет направление векторов в исходном определении дифференциального векторного оператора «ротор», что недопустимо.

Поэтому .

Применение векторного оператора «реверсивный ротор» к производным одного и того же векторного поля показывает принципиальное различие между векторным полем до применения, и векторным полем после применения оператора «ротор». Это означает необходимость представлять поле вектора а и поле вектора rot(а) как трансформируемые друг в друга, но различные векторные поля.

Исходное векторное поле, представленное вектором а, будем считать первичным (причиной), а поле, образованное векторным преобразованием оператора «ротор», будем считать вторичным полем (следствием действия оператора «ротор») и обозначим его, как поле векторов b.

Рис. 2. Результат отождествления векторных полей до и после векторного преобразования «ротор». Направление полей не соответствует исходному определению оператора «ротор», показанному на Рис. 1, — «правый винт» превращается в «левый винт».

Тогда обратное преобразование векторных полей, не затрагивающее операции дифференцирования, во введенных таким образом обозначениях будет иметь вид, показанный на Рис. 3.

Рис. 3. Определение векторного преобразования, обратного операции «ротор», не затрагивающего операции дифференцирования. Разделение векторных полей выполнено по признаку причинно-следственных отношений. Исходное поле представлено вектором а (причина), а поле, образованное операцией «ротор», представлено вектором b (следствие).

В электродинамике в некоторых простейших случаях переход к вращающейся системе отсчета, внутри которой исчезает вращение, приводит к отсутствию сил со стороны магнитного поля, и силовое воздействие может быть представлено только силой со стороны электрического поля. Но из этого никак не следует вывод, что магнитного поля нет или оно всегда может быть заменено электрическим полем. Частный случай векторного поля, взятого в отдельной изолированной системе отсчета, относится только к данной выбранной системе, в которой осуществляется ограниченное по степеням свободы движение электрического заряда.

Поскольку в пространстве существуют и прямолинейные векторные поля, и вращающиеся замкнутые векторные поля, а находиться в двух системах отсчета одновременно невозможно, то в общем случае выбором системы координат нельзя свести одно поле к другому. Источник этих полей один – это электрические заряды. Электрические заряды создают вокруг себя электрическое поле (всесторонне направленное векторное поле), а движение электрических зарядов создает магнитное поле (замкнутое круговое векторное поле). При этом, естественно, прямолинейное движение электрических зарядов создает вокруг них круговое магнитное поле, а круговое движение электрических зарядов (равно как вращение электрически заряженных частиц вокруг собственной оси) создает прямолинейное в пространстве магнитное поле, заключенное в объеме, ограниченном радиусом вращения.

2.8. Скорость распространения электромагнитного взаимодействия

Скорость преобразования векторных полей друг в друга не зависит ни от величины полей, ни от скорости их изменения и, как следует из волнового уравнения, соответствует скорости распространения волны электромагнитного взаимодействия в свободном пространстве (вакууме),c » 2.99792458 Ч 10 8 м/c, и эта величина по праву называется электродинамической постоянной.

Таким образом, изменение электрического и магнитного полей, осуществляемое в трехмерном пространстве, имеет свойство взаимного преобразования векторов, и это свойство в электродинамике осуществляется посредством закона электромагнитной индукции Фарадея. Если считать такое преобразование прямым, то обратное преобразование векторных полей осуществляется при помощи уравнения, полученного Максвеллом интуитивным путем, и которое можно получить при помощи векторного оператора «реверсивный ротор». Взаимное преобразование электрического и магнитного полей, которое осуществляется без источников электрического заряда, представляет собой один из особых видов волнового движения — поперечную электромагнитную волну, которая переносит электромагнитную энергию в свободном пространстве с абсолютной скоростью преобразования полей. Но при этом источником энергии электромагнитной волны всегда являются ускоренно движущиеся электрические заряды.

3. Уравнения источников электромагнитных полей.

Оставшиеся два из четырех основных уравнений системы уравнений Максвелла лишь устанавливают факт наличия в природе электрических зарядов, создающих электрическое поле (теорема Гаусса, которая прямо следует из закона Кулона):

,

и факт отсутствия в природе магнитных зарядов:

.

Литература

1. Сокол-Кутыловский О.Л. Гравитационные и электромагнитные силы. Екатеринбург, 2005.
2. Сокол-Кутыловский О.Л. Русская физика. Екатеринбург, 2006.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ (под редакцией Г. Гроше и В. Циглера), М., «Наука», 1980.

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

1. Магнитных монополей не существует.
2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Это же уравнение в интегральной форме:

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

И это же уравнение в интегральной форме:

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

И это же уравнение в интегральной форме:

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля — основные законы электродинамики

Система уравнений Максвелла обязана своим названием и появлением Джеймсу Клерку Максвеллу, сформулировавшему и записавшему данные уравнения в конце 19 века.

Максвелл Джемс Кларк (1831 — 1879) был известным британским физиком и математиком, профессором Кембриджского университета в Англии.

Он практически объединил в своих уравнениях все накопленные к тому времени экспериментально полученные результаты касательно электричества и магнетизма и придал законам электромагнетизма четкую математическую форму. Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году.

Максвелл развил учение Фарадея об электромагнитном поле в стройную математическую теорию, из которой вытекала возможность волнового распространения электромагнитных процессов. При этом оказалось, что скорость распространения электромагнитных процессов равна скорости света (величина которой была уже известна из опытов).

Это совпадение послужило для Максвелла основанием к тому, чтобы высказать идею об общей природе электромагнитных и световых явлений, т.е. об электромагнитной природе света.

Созданная Джеймсом Максвеллом теория электромагнитных явлений нашла первое подтверждение в опытах Герца, впервые получившего электромагнитные волны.

В итоге эти уравнения сыграли главную роль в формировании точных представлений классической электродинамики. Уравнения Максвелла могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Практически они описывают сухим языком математики электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и в сплошных средах. К данным уравнениям можно добавить выражение для силы Лоренца, в этом случае мы получим полную систему уравнений классической электродинамики.

Чтобы понимать некоторые математические символы, использующиеся в дифференциальных формах уравнений Максвелла, для начала определим такую занятную вещь, как оператор набла.

Оператор набла (или оператор Гамильтона) — это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Для нашего реального пространства, которое является трехмерным, адекватна прямоугольная система координат, для которой оператор набла определяется следующим образом:

где i, j и k – единичные координатные векторы

Оператор набла, будучи применен к полю тем или иным математическим образом, дает три возможные комбинации. Данные комбинации именуются:

Градиент — вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Дивергенция (расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Ротор (вихрь, ротация) — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Теперь рассмотрим непосредственно уравнения Максвелла в интегральной (слева) и дифференциальной (справа) формах, содержащие в себе основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную этим контуром.

Дифференциальная форма: при всяком изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, пропорциональное скорости изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл: всякое изменение магнитного поля во времени вызывает появление вихревого электрического поля.

Интегральная форма: поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это означает, что в природе нет магнитных зарядов.

Дифференциальная форма: поток силовых линий индукции магнитного поля из бесконечного элементарного объёма равен нулю, так как поле вихревое.

Физический смысл: источники магнитного поля в виде магнитных зарядов в природе отсутствуют.

Интегральная форма: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна суммарному току, пересекающему поверхность, охватываемую этим контуром.

Дифференциальная форма: вокруг любого проводника с током и вокруг любого переменного электрического поля существует вихревое магнитное поле.

Физический смысл: протекание тока проводимости по проводникам и изменения электрического поля во времени приводят к появлению вихревого магнитного поля.

Интегральная форма: поток вектора электростатической индукции через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряды, прямо пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности.

Дифференциальная форма: поток вектора индукции электростатического поля из бесконечного элементарного объема прямо пропорционален суммарному заряду, находящемуся в этом объёме.

Физический смысл: источником электрического поля является электрический заряд.

Система данных уравнений может быть дополнена системой так называемых материальных уравнений, которые характеризуют свойства заполняющей пространство материальной среды: