Вывод уравнения адиабаты для идеального газа

Адиабатический процесс и уравнения адиабаты для идеального газа. Пример задачи

Адиабатический переход между двумя состояниями в газах не относится к числу изопроцессов, тем не менее, он играет важную роль не только в различных технологических процессах, но и в природе. В данной статье рассмотрим, что представляет собой этот процесс, а также приведем уравнения адиабаты идеального газа.

Кратко об идеальном газе

Идеальным называется такой газ, в котором нет взаимодействий между его частицами, и их размеры равны нулю. В природе, конечно же, не существует идеальных на сто процентов газов, поскольку все они состоят из имеющих размеры молекул и атомов, которые взаимодействуют друг с другом всегда как минимум с помощью ван-дер-ваальсовых сил. Тем не менее, описанная модель часто выполняется с достаточной для решения практических задач точностью для многих реальных газов.

Вам будет интересно: Атеизм и антиклерикализм — это. В чем отличие понятий

Главным уравнением идеального газа является закон Клапейрона-Менделеева. Он записывается в следующей форме:

Это уравнение устанавливает прямую пропорциональность между произведением давления P на объем V и количества вещества n на абсолютную температуру T. Величина R — газовая константа, которая играет роль коэффициента пропорциональности.

Что это адиабатический процесс?

Адиабатический процесс — это такой переход между состояниями газовой системы, при котором обмена энергией с внешней средой не происходит. При этом изменяются все три термодинамических характеристики системы (P, V, T), а количество вещества n остается постоянным.

Различают адиабатическое расширение и сжатие. Оба процесса происходят только за счет внутренней энергии системы. Так, в результате расширения давление и особенно температура системы сильно падают. Наоборот, адиабатическое сжатие приводит к положительному скачку температуры и давления.

Чтобы не происходил обмен теплом между окружающей средой и системой, последняя должна обладать теплоизолированными стенками. Кроме того, сокращение длительности протекания процесса значительно уменьшает тепловой поток от и к системе.

Уравнения Пуассона для адиабатического процесса

Первый закон термодинамики записывается в таком виде:

Иными словами, сообщенная системе теплота Q идет на выполнение системой работы A и на повышение ее энергии внутренней ΔU. Чтобы написать уравнение адиабаты, следует положить Q=0, что соответствует определению изучаемого процесса. Получаем:

При изохорном процессе в идеальном газе все тепло идет на повышение внутренней энергии. Этот факт позволяет записать равенство:

Где CV — изохорная теплоемкость. Работа A, в свою очередь, вычисляется так:

Где dV — малое изменение объема.

Помимо уравнения Клапейрона-Менделеева, для идеального газа справедливо следующее равенство:

Где CP — изобарная теплоемкость, которая всегда больше изохорной, так как она учитывает потери газа на расширение.

Анализируя записанные выше равенства и проводя интегрирование по температуре и объему, приходим к следующему уравнению адиабаты:

Здесь γ — это показатель адиабаты. Он равен отношению изобарной теплоемкости к изохорной. Это равенство называется уравнением Пуассона для процесса адиабатического. Применяя закон Клапейрона-Менделеева, можно записать еще два аналогичных выражения, только уже через параметры P-T и P-V:

График адиабаты можно привести в различных осях. Ниже он показан в осях P-V.

Цветные линии на графике соответствуют изотермам, черная кривая — это адиабата. Как видно, адиабата ведет себя более резко, чем любая из изотерм. Этот факт просто объяснить: для изотермы давление меняется обратно пропорционально объему, для изобаты же давление изменяется быстрее, поскольку показатель γ>1 для любой газовой системы.

Пример задачи

В природе в горной местности, когда воздушная масса движется вверх по склону, то ее давление падает, она увеличивается в объеме и охлаждается. Этот адиабатический процесс приводит к снижению точки росы и к образованию жидких и твердых осадков.

Предлагается решить следующую задачу: в процессе подъема воздушной массы по склону горы давление упало на 30 % по сравнению с давлением у подножия. Чему стала равна ее температура, если у подножия она составляла 25 oC?

Для решения задачи следует использовать следующее уравнение адиабаты:

Его лучше записать в таком виде:

Если P1 принять за 1 атмосферу, то P2 будет равно 0,7 атмосферы. Для воздуха показатель адиабаты равен 1,4, поскольку его можно считать двухатомным идеальным газом. Значение температуры T1 равно 298,15 К. Подставляя все эти числа в выражение выше, получаем T2 = 269,26 К, что соответствует -3,9 oC.

Адиабатный процесс, его суть и и формулы

Адиабатный процесс (в некоторых источниках упоминается как адиабатический) — это термодинамический процесс, который происходит при отсутствии теплообмена с окружающей средой. Есть несколько факторов, которые характеризуют этот класс. Например, адиабатный процесс происходит динамично и укладывается в короткий срок времени. Происходят процессы данного класса, как правило, мгновенно.

Связь с первым началом термодинамики

Адиабатный процесс (адиабатический) можно напрямую связать с первым законом термодинамики. Его формулировка “по умолчанию” звучит следующим образом: изменение количества теплоты в системе при протекании в ней термодинамического процесса будет численно равно сумме изменения внутренней энергии идеального газа и работы, совершаемой этим газом.

Если мы попытаемся записать первое начало термодинамики в его стандартном виде, то получим следующее выражение: dQ = dU + dA. А теперь постараемся видоизменить эту формулу применительно к адиабатическому процессу. Как было сказано ранее, подобные процессы протекают при условии отсутствия теплообмена с окружающей (внешней, как ее называют некоторые литературные источники) средой.

В таком случае формула, описывающая первое начало термодинамики, примет следующий вид: dA = -dU. Теперь несколько подробнее о видоизменении. Если мы говорим о том, что теплообмена в системе не происходит, изменение количества теплоты (обозначенное в формуле первого закона термодинамики через dQ) будет равно нулю. Следовательно, мы можем перенести одно из слагаемых из правой части в левую, после чего получим формулу, приведенную к описанному ранее виду.

Следствие из первого начала термодинамики для адиабатического процесса

Допустим, что в системе произошел адиабатный процесс. В этом случае можно, не вдаваясь в мельчайшие детали, говорить о том, что газ при расширении совершает работу, но при этом он теряет свою внутреннюю энергию. Иными словами, работа, совершаемая при адиабатном расширении газа, будет осуществляться за счет убыли внутренней энергии. Следовательно, в качестве исхода этого процесса мы будем рассматривать понижение температуры самого вещества.

Абсолютно логично можно предположить, что если газ будет адиабатически сжат, его температура вырастет. Несложно заметить, что в ходе процесса будут изменяться все главные характеристики идеального газа. Речь идет о его давлении, объеме и температуре. Следовательно, грубой ошибкой стало название адиабатического процесса изопроцессом.

Адиабатный процесс. Формулы

Ранее была записана формула, выведенная из первого начала термодинамики. Используя ее, мы без особого труда можем вычислить работу в общем виде, которую будет выполнять газ при течении адиабатного процесса. Как вы уже могли догадаться, делать это мы будет при помощи интегрирования.

Итак, чтобы получить общую формулу работы для x молей газа, проинтегрируем выражение первого закона термодинамики для адиабатного процесса. Выглядеть все это будет следующим образом: A = — (интеграл) от dU. Раскроем это выражение, получим: A = — xCv (интеграл в пределах от T1 до T2) dT.

Теперь, когда мы привели интеграл к конечному виду, мы можем его упростить. На выходе получим формулу следующего вида: A = — xCv (T2 – T1). Ну и последним шагом станет небольшое упрощение. Избавимся от минуса перед формулой. Для этого сделаем в скобках небольшую перестановку, поменяв конечную температуру с начальной местами. В итоге получим: A = xCv (T1 – T2).

Уравнение адиабаты

Используя первое начало термодинамики для адиабатного процесса, мы можем найти уравнение адиабаты. При этом оно будет записано для произвольного числа молей идеального газа. Итак, запишем первоначальную формулу. Она имеет такой вид: dA + dU = 0. Но ведь мы прекрасно знаем, что работа идеального газа представляет численно собой не что иное, как произведение давления на изменение объема.

В то же время изменение внутренней энергии будет равно работе, взятой с обратным знаком. А ее-то мы уже нашли при помощи интегрирования. Значит, первое начало термодинамики для адиабатического процесса может принять следующий вид: pdV + xCvdT = 0. Из этого уравнения нам нужно исключить один показатель, а именно, температуру. Вернее, ее изменения. Чтобы сделать это, мы обратимся к достаточно часто используемому в молекулярной физики уравнению. А именно к уравнению Менделеева-Клапейрона.

Первичное выражение

Его нам нужно продифференцировать, чем мы и займемся. Итак, в общем виде уравнение выглядит следующим образом: PV = XRT. Вследствие дифференцирования оно будет приведено к такой форме: pdV + Vdp = xRdT. Отсюда мы можем выразить изменение энергии. Оно будет равно левой части, деленной на произведение количества вещества на универсальную газовую постоянную. Иными словами, формула будет такой: (pdV + Vdp)/xR. Остается только упростить ее. В итоге получим следующее выражение: dT = (pdV + Vdp)/x(Cp — Cv)

По сути дела, первая часть задачи выполнена. Остается только довести все до ума.

Вторичное выражение. Подстановка значения

Возьмем полученную в результате дифференцирования формулу Менделеева-Клапейрона и подставим ее в выражение, выведенное нами ранее для первого закона термодинамики по отношению к адиабатному процессу. Итак, что мы получим? Все это громоздкое выражение примет следующий вид: pdV + xCv ((pdV + Vdp)/x(Cp-Cv)) = 0.

Чтобы упростить все это, мы должны принять во внимание пару фактов. Во-первых, упростить выражение можно за счет приведения к общему знаменателю. Когда мы получим одну дробь, мы можем воспользоваться старым добрым правилом, которое гласит, что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель от нуля отличен. В результате совокупности всех этих действий мы получим следующее выражение: pCpdV – pCvdV + pCvdV + VCvdp = 0.

Теперь следующим шагом мы можем разделить данное выражение на pVCv. Получим сумму двух частей, дающих в итоге ноль. Это будет Cp/Cv * dV/V + dp/p = 0. Эту формулу необходимо проинтегрировать. Тогда мы получим следующее выражение: y (интеграл) dV/V + (интеграл) dp/p = (интеграл) 0.

Ну а дальше все достаточно просто. Воспользовавшись формулами интегрирования (можно использовать табличные интегралы, чтобы все было проще), получим в итоге следующую запись: y ln V + ln p = ln (const). Получается, что p(V)y = const. Данное выражение называется в молекулярной физике уравнением Пуассона. Многие литературные источники научной направленности также называют эту формулу уравнением адиабаты. В то же время величина y, которая имеет место в данной записи, называется показателем адиабаты. Она равна (i+2)/i. Нужно отметить, что показатель адиабаты всегда больше единицы, что, в принципе, логично.

Примеры адиабатных процессов

Вскоре после того, как был открыт адиабатический процесс, стартовало огромное количество различных исследований. Так, была создана первая теоретическая модель, имеющая отношение к циклу Карно. Именно она позволила установить условные пределы, ограничивавшие развитие тепловых машин. Но в случае некоторых реальных процессов осуществлять цикл Карно достаточно трудно. Все дело в том, что в его состав входят изотермы. А они, в свою очередь, требуют задания определенной скорости термодинамических процессов.

Заключение

С целью обойти подобные проблемы был придуман цикл Отто, а также цикл сжижения газа. Они стали широко применяться при решении конкретных задач на практике. Стартовавшие исследования показали возможность описания некоторых природных процессов в адиабатическом плане, что позволило выявлять общие закономерности соответствующих процессов. Примером адиабатического процесса можно смело назвать химическую реакцию, которая происходит внутри некоторого объема газа, если система является замкнутой, а обмен с внешней средой теплом отсутствует.

Адиабатический процесс | Все его важные концепции и графические кривые

Тема обсуждения: адиабатический процесс.

• Определение адиабатического процесса
• Примеры адиабатических процессов
• Формула адиабатического процесса
• Вывод адиабатического процесса
• Выполненная работа адиабатического процесса
• Обратимый адиабатический процесс и Необратимыйадиабатический процесс
• Адиабатический график

Определение адиабатического процесса

Соблюдая первый закон термодинамики, процесс, происходящий при расширении или сжатии, когда нет теплообмена от системы к окружающей среде, может быть известен как адиабатический процесс. В отличие от изотермического процесса, адиабатический процесс передает энергию окружающей среде в виде работы. Это может быть как обратимый, так и необратимый процесс.

В действительности, идеально адиабатический процесс никогда не может быть получен, поскольку ни один физический процесс не может происходить самопроизвольно, а система не может быть идеально изолирована.

Следуя первому закону термодинамики, который гласит, что когда энергия (как работа, тепло или материя) переходит в систему или из нее, внутренняя энергия системы изменяется в соответствии с законом сохранения энергии, где E можно обозначить как внутренняя энергия, а Q — это тепло, добавленное к системе, а W — проделанная работа.

ΔE=Q—W

Для адиабатического процесса, в котором нет теплообмена,

ΔE= —W

Условия, необходимые для протекания адиабатического процесса:

• Система должна быть полностью изолирована от окружающей среды.
• Чтобы передача тепла происходила за достаточное время, процесс должен выполняться быстро.

Адиабатический процесс Пример

1. Процесс расширения в двигателе внутреннего сгорания среди горячих газов.
2. Квантово-механический аналог осциллятора, классически известного как квантовый гармонический осциллятор.
3. Сжиженные газы в системе охлаждения.
4. Воздух, выпущенный из пневматической шины, является наиболее важным и частым случаем адиабатического процесса.
5. Лед, хранящийся в морозильной камере, следует принципам, согласно которым тепло не передается в окружающую среду и обратно.
6. Турбины, использующие тепло в качестве среды для создания работы, считаются отличным примером, поскольку они снижают эффективность системы, поскольку тепло теряется в окружающую среду.

Формула адиабатического процесса

Выражение адиабатического процесса в математических терминах может быть дано следующим образом:

ΔQ = 0

ΔU = -W, (так как в системе отсутствует тепловой поток)

Рассмотрим систему, в которой выполняется исключение теплового и рабочего взаимодействий в стационарном адиабатическом процессе. Единственные энергетические взаимодействия — это граничная работа системы в ее окружении.

Идеальный газ

Количество тепловой энергии на единицу температуры, недоступной для выполнения определенной работы, можно определить как энтропию системы. Спекулятивный газ, который представляет собой беспорядочное движение точечных частиц, подверженных межчастичным молекулярным взаимодействиям, идеален.

Молярная форма формулы идеального газа определяется следующим образом:

Уравнение адиабатического процесса можно обозначить как:

PVY = постоянный

Для обратимого адиабатического процесса

• P 1-Y T Y = постоянная,
• VT F / 2 = постоянная,
• TV Y-1 = константа. (T = абсолютная температура)

Этот процесс также известен как изэнтропический процесс, идеализированный термодинамический процесс, включающий передачу работы без трения и адиабатический. В этом обратимом процессе нет передачи тепла или работы.

Вывод адиабатического процесса

Изменение внутренней энергии dU в системе сделать работу dВт плюс добавленное тепло dQ с ним можно связать первый закон термодинамики, с помощью которого можно вывести адиабатический процесс.

Добавление тепла увеличивает количество энергии U определение удельной теплоемкости как количества тепла, добавляемого на единицу повышения температуры на 1 моль вещества.

(n — количество молей), Следовательно:

Получено из закон идеального газа,

Уравнение слияния 1 и 2,

Для постоянного давления C_p, добавляется тепло и,

γ — это удельная теплоемкость

Используя концепции интеграции и дифференциации, мы пришли к следующему:

Это уравнение, приведенное выше, становится реальным для данного идеального газа, который содержит адиабатический процесс.

Адиабатический процесс Работа выполнена.

Для давления P и площадь поперечного сечения A перемещение на небольшое расстояние dx, действующая сила будет определяться следующим образом:

А проделанную работу в системе можно записать так:

Чистая работа, произведенная для расширения газа из объема газа V_i к V_f (от начального до финального) будут представлены как

W = площадь ABDC от графика, построенного как имеет место адиабатический процесс. Условия, которые необходимо соблюдать, связаны с примером совершенно непроводящего поршневого цилиндра с одной граммовой молекулой идеального газа. Емкость баллона должна быть изготовлена ​​из изоляционного материала, а кривая на графике должна быть более резкой.

Принимая во внимание, что в аналитическом методе для вывода работы, выполненной в системе, будет следующее:

Изначально для адиабатического изменения можно предположить:

Который может быть,

Из (1),

Принимая T₁ и т₂ как начальная и конечная температуры газа соответственно,

Используя это в уравнении (2),

Тепло, необходимое в процессе расширения для выполнения работы:

Поскольку R — универсальная газовая постоянная, и во время адиабатического расширения совершаемая работа прямо пропорциональна снижению температуры, в то время как работа, совершаемая во время адиабатического сжатия, отрицательна.

Это можно представить как работа, выполненная в адиабатическом процессе.

И тепло, выделяемое во время процесса:

Адиабатический график

Математическое представление кривой адиабатического расширения представлено следующим образом:

P, V, T — давление, объем и температура процесса. Рассматривая начальные условия системы как P₁, V₁, и т₁, также определяя финальную стадию как P₂, V₂, и т₂ соответственно, графическая диаграмма PV построена по существу для движения поршневого цилиндра, адиабатически нагретого от начального до конечного состояния для XNUMX кг воздуха.

Адиабатическая энтропия, адиабатическое сжатие и расширение

Газ, которому позволено свободно расширяться без передачи ему внешней энергии от более высокого давления к более низкому, будет по существу охлаждаться по закону адиабатического расширения и сжатия. Точно так же газ нагреется, если его сжать с более низкой температуры до более значительной температуры без передачи энергии веществу.

• Посылка воздуха расширится, если давление окружающего воздуха уменьшится.
• На больших высотах наблюдается снижение температуры из-за уменьшения давления, поскольку они прямо пропорциональны в случае этого процесса.
• Энергия может использоваться либо для работы по расширению, либо для поддержания температуры процесса, но не для того и другого одновременно.

Обратимый адиабатический процесс

Процесс без трения, в котором энтропия системы остается постоянной, получил название обратимого или обратимого. изоэнтропический процесс. Это означает, что изменение энтропии постоянно. Внутренняя энергия эквивалентна работе, совершаемой в процессе расширения.

Поскольку нет теплопередачи,

Которое значит что,

Примеры обратимого изоэнтропического процесса можно найти в газовые турбины.

Необратимый адиабатический процесс

Как следует из названия, процесс рассеяния внутреннего трения, приводящий к изменению энтропии системы во время расширения газов, является необратимым адиабатическим процессом.

Обычно это означает, что энтропия увеличивается по мере развития процесса, который не может быть выполнен в равновесии и не может быть отслежен до исходного состояния.