Вывод уравнения движения пружинного маятника

1.1. Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник — это система, состоящая из шарика массой m, подвешенного на пружине длиной .

Рис. 1.2. К выводу уравнения движения для пружинного маятника

В положении равновесия (рис. 1.2) сила тяжести уравновешивается упругой силой :

где – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x = 0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия.

Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным . По закону Гука проекция результирующей силы на ось ОХ будет тогда равна

Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона:

Его можно также представить в виде:

Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом , который образует нить с вертикалью (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К выводу уравнения движения математического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Соответственно, уравнение движения этой материальной точки имеет вид

.

Проецируя его на направления нормали и касательной к траектории (окружности радиуса ), получаем

Модуль скорости равен , учитывая, что при движении точки к положению равновесия угол убывает, а скорость точки растет, напишем

.

Тогда второе из написанных выше уравнений движения приобретает вид

При малых отклонениях маятника от вертикали, когда ,

Физический маятник

Физический маятник — это протяженное колеблющееся тело, закрепленное на оси. Его размеры таковы, что его невозможно рассматривать как материальную точку.

Пример физического маятника приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. К выводу уравнения движения физического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m – масса маятника, а l – расстояние 0C между точкой подвеса 0 и центром масс C маятника.

Рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков и можно объяснить тем, что векторы и направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

Ограничимся рассмотрением малых отклонений от положения равновесия:

В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции равен

и мы приходим к уравнению (1.6) движения математического маятника.

Колебания поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим цилиндр с площадью поперечного сечения , в который вставлен поршень массы (рис. 1.5). Под поршнем в цилиндре идеальный газ с показателем адиабаты , над поршнем воздух с постоянным (атмосферным) давлением . Поршень может двигаться в цилиндре вверх и вниз без трения. Будем считать, что в равновесии объем идеального газа под поршнем равен и изменения объема газа, обусловленные движением поршня, происходят адиабатно, то есть без теплообмена со стенками цилиндра и поршнем.

Рис. 1.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

В состоянии равновесия давление в газе под поршнем складывается из атмосферного давления и давления , оказываемого поршнем. Обозначим это результирующее давление :

Переместим поршень на расстояние x вверх. Объем сосуда увеличится и станет равным

Соответственно уменьшится давление. В силу предположения об отсутствии теплообмена, новое давление в газе можно найти из уравнения адиабаты Пуассона

Здесь — показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул газа.

При малых колебаниях, когда изменение объема газа много меньше его «равновесной» величины , то есть когда

выражение (1.11) можно разложить в ряд Тейлора:

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления , сила давления газа под поршнем и сила тяжести . Знаки сил соответствуют выбору положительного направления оси x вверх. Используя (1.10) и (1.12), находим для равнодействующей этих сил:

Используя (1.13), уравнение движения поршня

Пружинные и математические маятники в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Система, состоящая из груза массой

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания , то уравнение (5.10) примет вид:

Из этого уравнения мы имеем:

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Если учесть, что ,

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником.

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Из рис. 5.4. видим, что:

Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому

Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что получаем

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

1. при маленьких углах наклона (а) математического маятника, его период колебания не зависит от амплитуды колебания.
2. период колебания математического маятника также не зависит от массы подвешенного на него груза;
3. период колебания математического маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению ускорения свободного падения.

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Решение:

Ответ: 5 cек.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

или

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=\frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $<\omega >_0=\sqrt<\frac>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(\omega >_0t+\varphi )$ — фаза колебаний; $\varphi $ и $<\varphi >_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

\[Re\ \tilde=Re\left(A\cdot exp\ \left(i\left(<\omega >_0t+\varphi \right)\right)\right)\left(3\right).\]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($\nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $\dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=\frac>^2><2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A<\cos \left(\omega t\right),\ \ >\ $где $A$ и $\omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит: