Вывод уравнения эйлера для жидкости

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций. Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости. По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются. Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением. Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 10 23 шт.). Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении). Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы. Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам. С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор. Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости:

которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности. Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней. Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

• конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
• давления окружающих элементов жидкости
• просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение:

Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам. Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе.

Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями. Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть). При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора:

По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого. Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться:

Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости:

Оно допускает любой закон для вязкости.

Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения. Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект:

в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент. Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен:

где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости

носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала. Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области:

Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи. Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли.

Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z. Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока):

которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом. Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы. Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов.

В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v» = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным:

Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к. позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе. Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим:

На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках. С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка. Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Как уже говорилось, она не обладает вязкостью, т.е. движется без трения.

Как и при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера, выделим в потоке элементарный параллелепипед объемом dV = dxdydz, ориентированный относительно осей координат (см. рис. II-2).

Проекции на оси координат сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют;

для оси х:

для оси у:

для оси z: )

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, дейcтвующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда

Если жидкость движется со скоростью ли, то ее ускорение равно w, то проекции ускорения на оси координат: и где w_x, w_y и w_z — составляющие скорости вдоль осей х, у и z. Разумеется, при этом соответствующие производные по времени не означают изменений во вре­мени составляющих скорости в какой-либо фиксированной точке пространства. Такие изменения и равны нулю в рассматриваемом случае установившегося потока. Производные же и отвечают изменению во времени значений w_x, w_у и w_z при перемещении частицы жидкости из одной точки пространства в другую (наблюдатель в данном случае связан с движущейся частицей потока).

В соответствии с основным принципом динамики

или после сокращения

(II,46)

где, согласно уравнению (II,28а), субстанцио­нальные производные соответствующих составляющих скорости равны

(II,47)

Система уравнений (II,46) с учетом выражений (II,47) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлерадля установивше­гося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому, в соответствии с уравнением (II,28), составляющие ускорения в уравнении (II,46), выражаемые субстанциональными производными для неустановившихся условий, имеют вид:

(II, 47а)

Система уравнений (II,46) с учетом выражений (II,47а) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановив­шегося потока.

Интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли, ши­роко используемое для решения многих технических задач.

4. Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости эле­ментарный параллелепипед (рис. II-14) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений t.

Рас­смотрим первоначально относительно про­стой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в напра­влении оси х, когда проекция скорости w_x зависит только от расстояния r до горизон­тальной плоскости отсчета.

В этих условиях касательные напряже­ния возникают лишь на поверхностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем dF = dxdy. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно t, то на верхней оно составляет . Производная выражает изменение касательного напря­жения вдоль оси z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, a представляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра параллелепипеда.

Указанные на рис. II-14 стрелками направления сил трения, прило­женных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затор­маживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х

Подставив в это выражение значение касательного напряжения t по уравнению (II,12а) [t = , где m — вязкость жидкости], получим

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости w_x будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось x примет вид

Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа:

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось х может быть представлена как m 2 w_xdxdydz

Соответственно проекции равнодействующей сил трения:

на ось у: m 2 w_ydxdydz

на ось z: m 2 w_zdxdydz

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют:

на ось х: ( 2 mw_x)dxdydz

на ось у: ( 2 mw_y)dxdydz

на ось z: ( 2 mw_z)dxdydz

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости rdxdydz (r — плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проек­ции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на dxdydz, получим

(II,48)

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков уравнениями (II,47) или (II,47а).

Уравнения (II,48) представляют собой уравнения Навье-Cтокса, описывающие движение вязкой капель­ной жидкости.

При движении сжимаемой жидкости (газа) в ней дополнительно возникают вызванные трением силы сжатия и растяжения, поэтому уравнения Навье-Стокса принимают вид:

(II.48а)

где частные производные выражают изменения скорости по осям х, у, z, связанные с действием сил сжатия и растяжения, причем

Левые части уравнений (II,48) выражают произведение массы единицы объема r на проекцию ее ускорения, т.е. представляют собой проекции равнодействующей сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В правых частях тех же уравнений произведение pg отражает влияние сил тяжести, частные производные влияние изменения гидростатического давления, а произведения вязкости на сумму вторых производных проекций скорости — влияние сил трения на движущуюся жидкость.

Каждый член уравнений (II,48) имеет размерность соответствующей силы (тяжести, давления, трения или инерции), отнесенной к единице объема жидкости.

При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют, при подстановке m = 0 в уравнения (II,48) последние совпадают с урав­нениями (II,46), т.е. уравнения движения Эйлера можно получить как частный случай уравнений Навье-Стокса.

Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее общей форме возможно путем решения уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье-Стокса не могут быть решены в общем виде. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых частных случаев. Так, для уста­новившегося ламинарного движения жидкости решение уравнений Навье-Cтокса позволяет вывести уравнение Пуазейля, полученное выше другим способом.

В большинстве же наиболее важных для промышленной практики случаев применение уравнений Навье-Стокса становится возможным либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании этих сравнений методами теории подобия.

5. Уравнение Бернулли

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики — уравнению Бернулли.

Умножив левые и правые части каждого из уравнений (II,46) соответственно на dx, dy и dz и разделив на плотность р жидкости, получим

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные выражают проекции w_x, w_g, w_z скорости на соответствующие оси координат. Тогда

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

следовательно, их сумма

где w = — скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны w_ч, w_y и w_z.

В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части запи­санного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем). Значит

Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободного падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим

причем для несжимаемой однородной жидкости r = const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

Уравнение (II,49) для любых двух поперечных сечений 1 и 2 потока (трубопровода) можно представить в виде

(II,49)

Уравнение (II,49) является уравнением Бернулли для идеальной жидкости.

Величину называют полным гидродинамическим напором, или просто гидродинамическим напором.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости гидродинамический напор остается неизменным.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из которых первые два слагаемых, z и , входили в основное уравнение гидростатики:

z — нивелирная высота, называемая также геометри­ческим, или высотным, напором (h_г), представляет собой удельную потенциальную энергию положения в данной точке (данном сечении);

– напор давления (h_давл), или пьезометриче­ский напор, характеризует удельную потенциальную энергию давления в данной точке (данном сечении).

Сумма z+ , называемая полным гидростатическим, или просто статическим напором (h_ст), следовательно, выражает пол­ную удельную потенциальную энергию в данной точке (данном сечении).

Величины z и — могут быть выражены как в единицах длины, так и в единицах удельной энергии, т.е. энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Третья составляющая, — также выражена в единицах длины

или после умножения и деления на единицу веса (н — в СИ или кгс – в системе МКГСС)

Величину называют скоростным, или динамическим напором и обозначают через h_ck. Скоростной напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (данном сечении).

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при установившемся движении идеальной жидкости сумма скоростного и статического напоров, равная гидродинамическому напору, не меняется при переходе от одного поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли в соответствии с энергетическим смыслом его членов следует, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (z + ) и кинетической ( ) энергии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при сужении трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии переходит в потенциальную, но общее количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли является част­ым случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Если умножить левую и правую части уравнения (II,50) на удельный вес жидкости g = rg, то уравнение Бернулли для идеальной жидкости может быть представлено в виде

(II,50a)

В уравнении (II,50а) каждый член выражает удельную энергию в дан­ной точке, отнесенную не к единице веса, а к единице объема жидкости (1 м 3 ). Например

В случае горизонтально расположенного трубопровода z₁ = z₂ и уравнение Бернулли для идеальной жидкости упрощается:

(II,51)

Проиллюстрируем применение уравнения Бернулли на примере потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно расположенный в пространстве трубопровод переменного сечения (рис. II-15).

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в поперечных сече­ниях 1—1 и 2—2, нивелирные высоты равны z₁ и z₂ соответственно. Уста­новим в каждой из этих точек две вертикальные открытые так назы­ваемые пьезометрические трубки, у одной из которых нижний конец загнут навстречу по­току жидкости в трубопроводе.

В прямых вертикальных трубках (с незагнутыми нижними концами) жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому дав­лению в точках их погружения, т.е. эти трубки будут измерять пьезо­метрические напоры в соответствую­щих точках.

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень жидкости будет выше, чем в соседних вертикальных трубках, так как трубки с загнутыми концами будут показывать сумму пьезометри­ческого и динамического (скоростного) напоров. Однако, согласно урав­нению (II,49), во всех трубках с загнутыми нижними концами жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно произвольной горизон­тальной плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору Н (рис. II-15).

Площадь поперечного сечения 2—2 трубопровода меньше сечения 1—1. Поэтому скорость жидкости w₂ при данном ее расходе, согласно уравнению неразрывности потока, будет больше w₁. Соответственно > .

В любом поперечном сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных здесь трубок (с загнутым и прямым нижними концами). Следовательно, эта разность должна быть больше для сечения 2—2, чем для сечения 1—1. Вместе с тем из уравнения Бернулли следует, что высота уровня жидкости в прямой трубке в сечении 2—2 должна быть меньше соответствующей высоты в прямой трубке сечения 1—1 настолько же, насколько скоростной напор в сечении 2 – 2 больше, чем в сечении 1—1.

Приведенный пример демонстрирует взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую и, наоборот, при изменении площади сечения тру­бопровода, а также постоянство суммы этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода.

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы вну­треннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом ее дви­жения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопро­тивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидравлического сопротивления должна расходоваться некото­рая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться вследствие пере­хода потенциальной энергии в потерянную энергию — затра­чиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду.

При этом для двух любых сечений 1—1 и 2—2 трубопровода, располо­женных по ходу движения реальной жидкости (рис. II-15)

При движении реальной жидкости высоты ее подъема (относительно плоскости сравнения) в трубках с концами, обращенными навстречу потоку, уже не будут равны в сечениях 1—1 и 2—2, как было показано на рис. II-15 применительно к движению идеальной жидкости. Разность высот в этих трубках, обусловленная потерями энергии на пути жидкости от сечения 1—1 до сечения 2—2, характеризует потерянный напор h_п.

Для соблюдения баланса энергии при движении реальной жидкости в правую часть уравнения (II,50) должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда получим уравнение Бернулли для реальных жидкостей:

(II,52)

Потерянный напор h_п характеризует удельную (т.е. отнесен­ную к единице веса жидкости) энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

Уравнение (II,52) может быть представлено в несколько ином виде, если умножить обе его части на pg:

(II,52а)

В уравнении (II,52а) величина Ñр_п — потерянное давле­ние, равное

(II,53)

Определение потерь напора или давления является практически важной задачей, связанной с расчетом энергии, которая необходима для пере­мещения реальных жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т.д. Трудность решения этой задачи обусловлена тем, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальной жидко­сти, в большинстве случаев оказывается невозможным.

Дата добавления: 2016-02-16 ; просмотров: 2741 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохранения массы и неразрывность течения. Для вывода уравнения выделим в массе жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dz, dz (рис. 4.10).

Пусть точка m с координатами x, y, z находится в центре этого параллелепипеда. Плотность жидкости в точке m будет .

Подсчитаем массу жидкости, втекающей в параллелепипед и вытекающей из него через противоположные грани за время dt. Масса жидкости, втекающей через левую грань за время dt в направлении оси x, равна

,

где r₁ и (u_x)₁ — плотность и проекция скорости на ось x в точке 1.

Функция является непрерывной функцией координаты x. Разлагая эту функцию в окрестности точки m в ряд Тэйлора с точностью до бесконечно малых первого порядка, для точек 1 и 2 на гранях параллелепипеда получим следующие ее значения

;

.

Масса жидкости, вытекающей через правую грань за время в направлении оси x , будет

.

Разность между массой втекающей и вытекающей жидкости в направлении оси x за время Dt будет равна

.

Аналогично для осей y и z получим

;

.

Если жидкость сплошь заполняет рассматриваемый объем, то согласно закону сохранения массы сумма найденных разностей масс должна быть равна приращению массы жидкости в том же объеме, вызванному изменением плотности r за время dt, т.е.

.

Известно, что .

Подставляя значения dM_t , dM_x , dM_y , dM_z в уравнение закона сохранения масс, получим

. (4.6)

;

;

;

,

то, подставляя последние соотношения в (4.6), будем иметь

(4.7)

Соотношение (4.7) является уравнением неразрывности сжимаемой жидкости. Этому уравнению можно придать вид

,

где выражение в скобках называется дивергенцией вектора скорости.

Для установившегося движения частная производная от плотности по времени равна нулю , и уравнение (4.7) принимает вид

.

В случае движения несжимаемой жидкости и плотность от времени не зависит, т.е.

.

(4.8)

.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки имеет вид

,

т.е. массовые расходы во всех сечениях элементарной струйки одинаковы.

Для потока

.

Если жидкость несжимаема, то

; ; .

,

.

,

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений потока (рис. 4.11). Объемный расход Q несжимаемой жидкости остается постоянным вдоль канала.

§ 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
(НЕВЯЗКОЙ) ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)

Невязкой или идеальной жидкостью называется жидкость, частицы которой обладают абсолютной подвижностью. Такая жидкость неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать. Из поверхностных сил в ней будут действовать только нормальные усилия.

в движущейся жидкости называется гидродинамическим давлением. Гидродинамическое давление обладает следующими свойствами.

1. Оно действует всегда по внутренней нормали (сжимающее усилие).

2. Величина гидродинамического давления не зависит от ориентировки площадки (что доказывается аналогично второму свойству гидростатического давления).

На основании этих свойств можно считать, что . Таким образом, свойства гидродинамического давления в невязкой жидкости идентичны свойствам гидростатического давления. Однако величина гидродинамического давления определяется по уравнениям, отличным от уравнений гидростатики.

Для вывода уравнений движения жидкости выделим элементарный параллелепипед в массе жидкости с ребрами dx, dy, dz (рис. 4.12). Пусть точка m с координатами x,y,z находится в центре этого параллелепипеда. Давление в точке m будет . Компоненты массовых сил, отнесенных к единице массы, пусть будут X,Y,Z.

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось x

, (4.9)

где F₁ и F₂ – силы гидростатического давления; F_m – равнодействующая массовых сил тяжести; F_и – равнодействующая сил инерции.

Силы гидростатического давления равны произведению гидростатических давлений в центрах тяжести элементарных площадок (в точках 1 и 2) на их площади

Давления p₁ и p₂ определяются по формулам (см. § 3.3.)

.

Эти формулы показывают насколько давление p в точке А отличается от давлений в точках 1 и 2.

Формула для определения равнодействующей массовых сил имеет вид

где – масса элементарного параллелепипеда.

Равнодействующая сил инерции определяется в виде произведения массы элементарного параллелепипеда на его ускорение

.

Знак минус указывает на то, что сила инерции направлена противоположно направлению оси x.

.

.

Если рассматривать условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед в проекциях на оси y и z, то получим еще два уравнения

;

.

Записывая последние три уравнения в развернутом виде, получим уравнения движения Эйлера для идеальной невязкой жидкости, выведенные им в 1775 г.

;

;

.

В случае несжимаемой невязкой жидкости ( ) система уравнений Эйлера имеет четыре неизвестных: . Так как уравнений 3, а неизвестных 4, то система уравнений Эйлера в данном случае оказывается незамкнутой. Для того чтобы она была замкнутой, необходимо добавить еще одно уравнение. Таким уравнением будет уравнение неразрывности

.

Для того чтобы получить конкретные однозначные решения замкнутой системы дифференциальных уравнений, необходимо задать условия однозначности, которые включают: 1) геометрические условия (линейные размеры рассматриваемой области); 2) физические условия (физические константы, характеризующие жидкость); 3) начальные условия (значения искомых функций в начальный момент времени); 4) граничные условия (значения искомых функций на границе области). Система дифференциальных уравнений с условиями однозначности представляют полную математическую постановку задачи.

§ 4.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
(УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА)

Вязкой называется такая жидкость, которая при своем движении оказывает сопротивление сдвигающим усилиям. Все жидкости, существующие в природе, являются вязкими. Поэтому вязкую жидкость называют еще реальной жидкостью. Рассмотрим поверхностные силы, действующие в вязкой жидкости.

В вязкой жидкости ввиду наличия сил трения возникают касательные напряжения. Поэтому напряжения, действующие на площадку, могут быть направлены как угодно по отношению к ней, а не обязательно по нормали.

В вязкой жидкости различают два рода напряжений (рис.4.13).

1.Нормальное напряжение p_nn — проекция p_n на нормаль n в данной точке поверхности.

2.Касательное напряжение t — проекция p_n на касательную плоскость к поверхности в данной точке. Касательные напряжения имеют место лишь при движении вязкой жидкости.

Рассмотрим теперь схему поверхностных сил, действующих в вязкой жидкости (рис.4.14). Первый индекс при p указывает нормаль к площадке, на которую действует напряжение, второй — ось, на которую оно спроектировано.

Выделим в движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами, параллельными осям x, y, z и рассмотрим поверхностные силы, действующие на его гранях.

Условимся считать нормальное напряжение положительным в том случае, когда оно направлено по внешней нормали. То есть в данном случае нормальное напряжение направлено противоположно давлению. Нормальное напряжение — это реакция жидкого элемента на воздействие окружающей его жидкости.

В вязкой жидкости, в противоположность невязкой, напряжение зависит от ориентации площадки в данной точке. Однако, как строго доказывается в теоретической гидромеханике, сумма всех нормальных напряжений в данной точке не зависит от ориентации площадки и, следовательно, эта сумма является скалярной функцией только координат точки и времени, в связи с чем вводится новое понятие о гидромеханическом давлении

, .

Гидромеханическим давлением в вязкой жидкости называется давление, величина которого равна среднему арифметическому из величин любых трех нормальных напряжений в данной точке. Знак «минус» берется потому, что ,направленные по внешней нормали, всегда отрицательны, а p — должно быть положительным, как это обычно принимают в гидравлике. Таким образом, понятия гидромеханического давления в вязкой жидкости и гидродинамического давления в невязкой идеальной жидкости существенно различны.

Дадим упрощенный вывод уравнений движения вязкой жидкости применительно лишь к частному случаю несжимаемой жидкости. Рассмотрим вначале одномерное движение жидкости в направлении, параллельном оси Ox.

Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx,dy,dz (рис.4.15). Соотношение (4.9) для сил, действующих на элементарный параллелепипед, в данном случае будет

, (4.10)

где F_тр – сила трения, определяемая по формуле

.

По закону Ньютона для касательного напряжения τ имеем

.

Отсюда сила трения будет равна

.

Формулы для сил F₁, F₂, F_m, F_и смотреть в § 4.7. Подставляя эти силы и силу трения в (4.10), получим

.

,

где .

В общем случае движения в трехмерном пространстве, когда u_x изменяется по всем направлениям, а не только в направлении оси z, проекция силы трения на ось x определится более сложным выражением

.

Тогда уравнение движения в проекции на ось x будет

.

Или для всех трех осей x, y, z получим в развернутом виде

;

;

.

Последние три уравнения называются уравнениями Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости.

Или в векторной форме

,

;

— орты координатных осей (см. § 3.3).

Уравнения Навье-Стокса являются основными в гидромеханике вязкой жидкости. Но они определяют течение реальной вязкой жидкости вполне лишь тогда, когда подтверждается закон Ньютона о внутреннем трении в жидкости.

Добавим к полученным уравнениям движения уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

.

Полагая, что внешние массовые силы X, Y, Z заданы, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями . Следовательно, получена замкнутая система уравнений.

Принципиально эта система при заданных условиях однозначности дает возможность строгого решения задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости. Однако аналитические решения уравнений Навье-Стокса найдены лишь для весьма ограниченного круга частных случаев.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 48 ; Нарушение авторских прав