Вывод уравнения клапейрона идеального газа

Уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона с выводом

Уравнение состояния идеального газа показывает корреляцию его основных макропараметров, а именно: объема V, давления P, а также температуры T.

ν — количество вещества [моль]

R – универсальная газовая постоянная, 8,31 [Дж/(моль · К)]

T – температура [K]

Данную формулу также называют уравнением Менделеева-Клапейрона для идеального газа в честь двух ученых впервые получившего (Бенуа Клапейрон (1799 – 1864)) и применившего (Дмитрий Иванович Менделеев (1834 – 1907)) его.

Вывод уравнения Менделеева-Клапейрона

Давление идеального газа зависит от концентрации частиц и температуры тела:

n — концентрация частиц [м -3 ]

k – константа Больцмана k = 1,38 · 10 -23 [Дж/К]

Т – абсолютная температура, в кельвинах [К]

Возьмем основное уравнение МКТ, выведенное через кинетическую энергию:

Подставим nkT вместо давления и выразим кинетическую энергию:

Концентрация частиц газа n равна:

N – число молекул газа в емкости объемом V [м 3 ]. N также можно представить как произведение количества вещества ν и числа Авогадро NA:

Подставим эти величины в уравнение давления идеального газа (p=nkT):

Произведение числа Авогадро N_A и константы Больцмана k дает универсальную газовую постоянную R, которая равна 8,31 [Дж/(моль · К)]. Используя это, упростим уравнение давления и получим искомое уравнение состояния идеального газа:

Учитывая, что количество вещества ν также можно определить, если известны масса вещества m и его молярная масса M:

можно привести уравнение к следующему виду:

Частными случаями уравнения являются газовые законы, описывающие изопроцессы в идеальных газах, т.е. процессы, при которых один из макропараметров (T, P, V) в закрытой изолированной системе постоянный. Всего этих частных случаев 3.

Закон Бойля-Мариотта — изотермический процесс

Проходит при постоянной температуре: T= const.

P·V = const, то есть для конкретного вещества произведение давления на объем остается постоянным:

Закон Гей-Люссака — изобарный процесс

Проходит при постоянном давлении: P = const.

V/T = const, то есть для конкретного вещества отношение объема и температуры остается постоянным:

Закон Шарля — изобарный процесс

Проходит при постоянном объеме: V = const.

P/T = const, то есть для конкретного вещества отношение давления и температуры остается постоянным:

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Вывод уравнения клапейрона идеального газа

Уравнение Менделеева-Клапейрона — уравнение состояния для идеального газа, отнесенное к 1 молю газа. В 1874 г. Д. И. Менделеев на основе уравнения Клапейрона объединив его с законом Авогадро, используя молярный объем V_m и отнеся его к 1 молю, вывел уравнение состояния для 1 моля идеального газа:

pV = RT , где R — универсальная газовая постоянная,

R = 8,31 Дж/(моль . К)

Уравнение Клапейрона-Менделеева показывает, что для данной массы газа возможно одновременно изменение трех параметров, характеризующих состояние идеального газа. Для произвольной массы газа М, молярная масса которого m: pV = (М/m) . RT. или pV = N_АkT,

где N_А — число Авогадро, k — постоянная Больцмана.

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса газа и один из параметров — давление, объем или температура — остается постоянным, а изменяются только остальные два и получить теоретически газовые законы для этих условий изменения состояния газа.

Такие процессы называют изопроцессами. Законы, описывающие изопроцессы, были открыты задолго до теоретического вывода уравнения состояния идеального газа.

Изотермический процесс — процесс изменения состояния системы при постоянной температуре. Для данной массы газа произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется. Это закон Бойля — Мариотта.

Для того, чтобы температура газа оставалась в процессе неизменной, необходимо, чтобы газ мог обмениваться теплотой с внешней большой системой — термостатом. Роль термостата может играть внешняя среда (воздух атмосферы). Согласно закону Бойля-Мариотта, давление газа обратно пропорционально его объему: P₁V₁=P₂V₂=const. Графическая зависимость давления газа от объема изображается в виде кривой (гиперболы), которая носит название изотермы. Разным температурам соответствуют разные изотермы.

Изобарный процесс — процесс изменения состояния системы при постоянном давлении. Для газа данной массы отношение объема газа к его температуре остается постоянным, если давление газа не меняется. Это закон Гей-Люссака. Согласно закону Гей-Люссака, объем газа прямо пропорционален его температуре: V/T=const. Графически эта зависимость в координатах V-T изображается в виде прямой, выходящей из точки Т=0. Эту прямую называют изобарой. Разным давлениям соответствуют разные изобары. Закон Гей-Люссака не соблюдается в области низких температур, близких к температуре сжижения (конденсации) газов.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния системы при постоянном объеме. Для данной массы газа отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не меняется. Этот газовый закон Шарля. Согласно закону Шарля, давление газа прямо пропорционально его температуре: P/T=const. Графически эта зависимость в координатах P-Т изображается в виде прямой, выходящей из точки Т=0. Эту прямую называют изохорой. Разным объемам соответствуют разные изохоры. Закон Шарля не соблюдается в области низких температур, близких и температуре сжижения (конденсации) газов.

Итак, из закона pV = (М/m) . RT выводятся следующие законы:

p = const => V/T = const — закон Гей — Люссака .

V= const => p/T = const — закон Шарля

Если идеальный газ является смесью нескольких газов, то согласно закону Дальтона, давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов. Парциальное давление — это такое давление, которое производил бы газ, если бы он один занимал весь объем, равный объему смеси.

Некоторых, возможно, интересует вопрос, каким образом удалось определить постоянную Авогадро N_A = 6,02·10 23 ? Значение числа Авогадро было экспериментально установлено только в конце XIX – начале XX века. Опишем один из таких экспериментов.

В откачанный до глубокого вакуума сосуд объемом V = 30 мл поместили навеску элемента радия массой 0,5 г и выдержали там в течение одного года. Было известно, что за секунду 1 г радия испускает 3,7·10 10 альфа-частиц. Эти частицы представляют собой ядра гелия, которые тут же принимают электроны из стенок сосуда и превращаются в атомы гелия. За год давление в сосуде выросло до 7,95·10 -4 атм (при температуре 27 о С). Изменением массы радия за год можно пренебречь. Итак, чему равна N_A?

Сначала найдем, сколько альфа-частиц (то есть атомов гелия) образовалось за один год. Обозначим это число как N атомов:

N = 3,7·10 10 · 0,5 г · 60 сек · 60 мин · 24 час · 365 дней = 5,83·10 17 атомов.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева PV = nRT и заметим, что число молей гелия n = N/N_A. Отсюда:

N_A = NRT = 5,83 . 10 17 . 0,0821 . 300 = 6,02 . 10 23

PV 7,95 . 10 -4 . 3 . 10 -2

В начале XX века этот способ определения постоянной Авогадро был самым точным. Но почему так долго (в течение года) длился эксперимент? Дело в том, что радий добывается очень трудно. При его малом количестве (0,5 г) радиоактивный распад этого элемента дает очень мало гелия. А чем меньше газа в замкнутом сосуде, тем меньшее он создаст давление и тем большей будет ошибка измерения. Понятно, что ощутимое количество гелия может образоваться из радия только за достаточно долгое время.

Вывод уравнения клапейрона идеального газа

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

(УРАВНЕНИЕ МЕНДЕЛЕЕВА-КЛАПЕЙРОНА)

Установим зависимость всех трех макроскопических параметров (P,V,T) к удобному виду, т.к. количество молекул N в процессе расчетов определить трудно.

N — количество молекул; k — постоянная Больцмана; T — абсолютная температура.

N = N a (2)
ν — число молей газа.

m — масса газа; M — молярная масса газа.

Преобразуем уравнение (1) и решим систему:

PV= N kT (4)
PV = ν N a kT
N a k = R — универсальная (молярная) газовая постоянная.

— уравнение Менделеева — Клапейрона.