Вывод уравнения ньютона для вязкости газов

МУ 4866: Изучение сил вязкого трения

Лабораторная работа 1-8: Изучение сил вязкого трения

Цель работы: изучение явления вязкого трения и одного из методов определения вязкости жидкостей.

Элементы теории и метод эксперимента

При движении тел в жидкостях и газах на тела действуют силы внутреннего трения. Эти силы присущи всем реальным жидкостям и газам и составляют основу понятия вязкости. Вязкость − важная физическая характеристика веществ. Значение вязкости приходится учитывать при перекачивании жидкостей и газов по трубам (нефтепроводы, газопроводы), вязкость расплавленного стекла определяет процесс его выработки, большую роль играет вязкость в процессах выплавки металлов и т.д.

В физике явление вязкости относится к так называемым явлениям переноса. К ним также относятся явления диффузии (на молекулярно-кинетическом уровне объяснение явления связано с переносом вещества – атомов или молекул) и теплопроводности (перенос энергии при столкновениях молекул). С точки зрения молекулярно-кинетической теории вязкость объясняется переносом импульса при взаимодействии молекул.

При ламинарном течении жидкости или газа между слоями, движущимися с различной скоростью, действуют силы, обусловленные вязкостью. Если два слоя

площадью S (рис. 1) находятся на расстоянии ∆z и движутся с различными скоростями, так что ∆v = v₂ – v₁, между ними возникает сила вязкого трения, пропорциональная градиенту скорости ∆v/∆z в направлении, перпендикулярном к направлению течения, и площади слоев S. Этот эмпирический закон открыл Ньютон (Newton, 1687 г.):

где коэффициент η по определению называется вязкостью или коэффициентом внутреннего трения.

Из формулы (1) видно, что вязкость измеряется в паскаль-секундах (Па·с). Используют и более мелкую единицу вязкости − пуаз (П), названную так в честь французского физика Пуазейля: 1 Па·с = 10 П.

Движение жидкости (газа) в круглой трубе. Рассмотрим ламинарное течение жидкости (газа) в трубе радиусом R (рис. 2).

Выделим в этой трубе трубку длиной L меньшего радиуса r. На внешнюю поверхность этой трубки будет действовать сила, обусловленная вязкостью:

При равномерном движении эта сила должна быть равна равнодействующей сил давления, влияющих на торцы этого малого цилиндрика, ограничивающего поверхность трубки:

Из условий F+F_тр=0 получаем дифференциальное уравнение для v(r):

Решением этого уравнения с учетом того, что вблизи стенок трубы скорость течения равна нулю, будет:

Из условий F+F_тр=0 получаем дифференциальное уравнение для v(r):

Из условий F+F_тр=0 получаем дифференциальное уравнение для v(r):

Отсюда скорость течения на оси трубы:

С учетом этого можно записать:

Таким образом, изменение скорости по сечению трубы получается параболическим.

Найдем расход (поток) жидкости Q = ΔV/Δt , т.е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца шириной dr (рис.3).

Через кольцо радиусом r за секунду пройдет объем жидкости, равный произведению площади кольца 2πrdr на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы:

Полный поток получается интегрированием:

Из (9) и (6) получим формулу для потока:

Формула (10) называется формулой Пуазейля (Poiseuille, 1840). Согласно этой формуле поток жидкости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы, пропорционален четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.

Вязкость газов по молекулярно-кинетической теории (MKT). В газах вязкость обусловлена столкновением молекул, в жидкостях − межмолекулярным взаимодействием, ограничивающим подвижность молекул.

Рассмотрим два слоя газа, движущихся с разными скоростями (рис. 1). Если температура газа всюду одинакова, то средняя скорость движения молекул равна:

где т − масса молекулы.

Так как молекула может двигаться по шести независимым направлениям в пространстве, то площадку S за единицу времени пересечет N = unS/6 молекул, где п − концентрация молекул. Так как молекулы сталкиваются, проходя в среднем определенное расстояние, приблизительно равное средней длине свободного пробега λ, то импульс, связанный с направленным движением слоев со скоростями v₁ и v₂, будет передаваться слою, находящемуся между ними, если расстояние до него равно длине свободного пробега молекул, при этом изменение импульса молекул среднего слоя за время ∆t будет

Так как v(z) есть непрерывная функция координаты z, можно считать, что v₂=v(z+λ), а v₁=v(z-λ). Если размеры сосуда, в котором находится газ, много больше длины свободного пробега, то, полагая что λ можно считать очень малым изменением аргумента функции v(z), из определения производной следуют приближенные равенства:

Если подставить эти выражения в формулу для изменения импульса и учесть, что по второму закону Ньютона изменение импульса равно импульсу силы (∆p = F∆t), то из определения понятия коэффициента внутреннего трения с учетом того, что произведение массы молекулы на их концентрацию есть плотность газа (ρ = nm), для вязкости получается выражение:

Это выражение можно преобразовать. По молекулярно-кинетической теории длина свободного пробега молекул

где d − эффективный диаметр молекулы.

Подставив u и λ в выражение для вязкости, получим

Видим, что вязкость зависит от параметров молекулы (т и d) и от температуры газа, а от давления и плотности не зависит.

Значения вязкости некоторых жидких и газообразных веществ даны в приложении. Расплавленные металлы имеют вязкость того же порядка, что и обычные жидкости.

Так как при повышении температуры подвижность молекул увеличивается, вязкость при этом уменьшается (на примере воды это показано в приложении).

Особыми вязкостными свойствами обладает жидкий гелий. При температуре ниже 2,172 К (а температура перехода его в жидкое состояние при нормальном атмосферном давлении, т.е. температура кипения, равна 4,4 К, и при дальнейшем понижении температуры он остается жидкостью, не переходя в твердое состояние) он переходит в сверхтекучее состояние, в котором вязкость равна нулю. Это явление открыл в 1938 г. П.Л.Капица (Нобелевская премия, 1978).

Метод Стокса

Одним из методов измерения вязкости веществ (вискозиметрии) является метод падающего

шарика, или метод Стокса (Stokes, 1851 г.). Английский физик Стокс показал, что на шарик, движущийся со скоростью v в вязкой среде, действует сила вязкого трения, равная F=3πηvd , где d − диаметр шарика.

Рассмотрим движение шарика при его падении. По второму закону Ньютона (рис. 4)

где А — сила вязкого трения, F_A =1/6*(ρ_жπd 3 g) — сила Архимеда, mg= 1/6*(ρπd 3 g) — сила тяжести, ρ_ж и ρ — плотности жидкости и материала шариков соответственно. Решением этого дифференциального уравнения будет следующая зависимость скорости от времени:

где v₀ — начальная скорость шарика, а

— скорость установившегося движения (при t>>τ). Величина τ= ρd 2 /η есть время релаксации.

Эта величина показывает, насколько быстро устанавливается стационарный режим движения. Обычно считают, что при t ≈ 3τ движение практически не отличается от стационарного. Следовательно, измерив скорость v_y, можно рассчитать вязкость жидкости.

Условие ламинарности движения жидкости определяется значением безразмерного параметра − числом Рейнольдса:

где d − характерный размер движущегося тела (в данном случае диаметр шарика). Формула Стокса применима для значений R Порядок выполнения работы

1. Измерить с помощью штангенциркуля внутренний диаметр сосуда, с помощью линейки − расстояние между горизонтальными метками на сосуде и с помощью микрометра − диаметры всех шариков, используемых в эксперименте. Ускорение силы тяжести считать равным 9,8 м/с 2 . Плотность жидкости и плотность вещества шариков указаны на лабораторной установке. Результаты занести в таблицу.
2. Опуская поочередно шарики в жидкость, измерить время прохождения каждого из них на отрезке пути между метками. По формуле (20) вычислить вязкость жидкости η. Результаты занести в таблицу.
3. Оценить погрешность результатов измерений и получить окончательный результат для значения η.

4. По формуле (19) определить значение числа Рейнольдса для одного из опытов и сделать вывод о применимости формулы Стокса.

5. Оценить путь, пройденный шариком до установления стационарного режима. Очевидно, что за время t пройденный путь определяется интегралом:

Показать, что при t = 3τ путь s = 2v_yτ, и оценить эту величину.

Сравнить полученное значение с расстоянием, проходимым шариком от поверхности жидкости до верхней метки, и сделать вывод, можно ли к моменту прохождения шариком верхней метки считать его движение установившимся.

Приложение

Вязкости некоторых веществ (в мкПа·с)

Вязкость воды при разных температурах

Вязкость некоторых жидкостей (при 20 о С)

Вязкость некоторых газов (при 20 о С)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Объяснить молекулярно-кинетический механизм явления внутреннего трения.
2. Дать определение понятия вязкости и единиц ее измерения.
3. Какие измерения вносят наибольшую погрешность в результат косвенного измерения вязкости жидкости в ваших опытах?
4. Что такое ламинарное и турбулентное течения?
5. Имеется 2 шарика из одинакового материала, но различного размера. Какой шарик будет быстрее падать в вязкой жидкости? Когда шарик быстрее падает в вязкой жидкости: в узком сосуде или в широком?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. – М.: Наука, 1979 (и по- следующие издания). – С. 252-256, 258-261, 400-404.
2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. − М.: Высш.шк., 2001. – С. 62-66.

Изучение сил вязкого трения: методические указания к лабораторной работе / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; сост.: Ю.В. Черкасова, А.С. Иваников. – Рязань, 2015. – 8 с.

Содержат элементы теории и метод определения вязкости жидкостей. Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 4. Библиогр.: 2 назв.

Вязкое трение, ламинарное течение, метод Стокса, число Рейнольдса

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Изучение сил вязкого трения

Составители: Черкасова Юлия Вадимовна

Иваников Александр Сергеевич

Редактор Р.К. Мангутова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 02.02.15. Формат бумаги 60 x 84 1/16.

Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

Основные законы движения жидкостей и газов

Для расчета движения воды в трубопроводе нужно знать не так уж и много. Для этого не надо глубоко изучать физику, но всё же некоторое основные понятия изучить придется.

В этой статье я приведу самые основные формулы, которые вам пригодятся не только для расчетов, но и для общего понимания, что может влиять в вашем водопроводе на его течение. Иногда общее понимание процессов поможет вам избежать ошибок при монтаже системы.

Например, не все знают, что в части водопровода с трубами меньшего диаметра давление на стенки меньше, чем на участке с трубами большего диаметра. Почему возникает кавитация и вообще, что это такое. А это надо знать.

Статья будет обновляться и дополняться.

Уравнение неразрывности

Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используют в такой форме (называемой уравнением неразрывности):

Где v — скорость жидкости S — площадь сечения трубы, по которой течёт жидкость. Сформулировать этот закон можно и так:

Сколько вливается жидкости в ёмкость, в данном случае в трубу, столько должно и выливаться, если условия течения не изменяются.

Скорость в узких участках трубы должна быть выше, чем в широких.

Уравнение Бернулли стационарного движения

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 г. швейцарским учёным Даниилом Бернулли (1700 — 1782). Ему впервые удалось описать движение идеальной жидкости, выраженной в формуле Бернулли.

Идеальная жидкость — жидкость, в которой отсутствуют силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда.

Уравнение стационарного движения, носящее его имя, имеет вид:

где P — давление жидкости, ρ − её плотность, v — скорость движения, g — ускорение свободного падения, h — высота, на которой находится элемент жидкости.

Смысл уравнения Бернулли в том, что внутри системы заполненной жидкостью (участка трубопровода) общая энергия каждой точками всегда неизменна.

В уравнении Бернулли есть три слагаемых:

• ρ⋅v 2 /2 — динамическое давление — кинетическая энергия единицы объёма движущей жидкости;
• ρ⋅g⋅h — весовое давление — потенциальная энергия единицы объёма жидкости;
• P — статическое давление, по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»).

Это уравнение объясняет почему в узких участках трубы растёт скорость потока и падает давление на стенки трубы. Максимальное давление в трубах устанавливается именно в месте, где труба имеет наибольшее сечение. Узкие части трубы в этом отношении безопасны, но в них давление может упасть настолько, что жидкость закипит, что может привести к кавитации и разрушению материала трубы.

Явление кавитации

Кавитация (от латинского cavitas — «углубление», «полость») — процесс образования полостей (пузырьков) в движущейся жидкости вследствие понижения давления.

Явление кавитации также объясняется уравнением Бернулли. Если скорость течения жидкости значительно возрастает, то давление сильно понизится — настолько, что жидкость закипит. Такую скорость можно получить, если пропускать жидкость через очень узкий участок трубы или при быстром обращении лопатки в водяном насосе.

Пузырьки по ходу движения жидкости попадают в области жидкости с нормальным давлением и там схлопываются. Это схлопывание сопровождается гидродинамическими эффектами, способными привести к разрушению трубы или стенок насоса.

Гидродинамика Эйлера и Навье-Стокса

Уравнение Бернулли позволяет объяснить очень много интересных гидродинамических явлений, но гораздо больше явлений, происходящих в движущихся жидкостях и газах, с его помощью объяснить нельзя, потому что этот закон для идеальной жидкости, т.е для жидкости, которая не обладает внутренним трением, а значит не создает гидравлическое сопротивление..

Реальная жидкость отличается от идеальной и обладает внутренним трением, или по другому называют вязкостью. Два соприкасающиеся элемента жидкости, двигающиеся в одном и том же направлении, но с разными скоростями, воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия ускоряет медленно движущийся элемент жидкости и замедляет более быстрый.

Закон вязкого трения Ньютона

Ньютон предположил, что величина этой силы (называемой силой внутреннего трения) пропорциональна разности скоростей элементов жидкости. Следовательно, сила внутреннего трения F пропорциональна изменению скорости жидкости v в направлении, перпендикулярном движению, и зависит от площади S соприкосновения элементов жидкости:

η − коэффициент динамической вязкости.

Жидкости, в которых внутреннее трение подобным образом зависит от изменения скорости, называются ньютоновскими, или жидкостями с линейной вязкостью.

Величину коэффициента динамической вязкости (и справедливость данного закона) Ньютон определил с помощью несложного опыта: он передвигал по поверхности жидкости пластинку с той или иной скоростью. Для того чтобы поддерживать эту скорость постоянной, требовалась сила, которая при небольшой глубине жидкости оказалась прямо пропорциональна площади S и скорости пластинки v и обратно пропорциональна глубине жидкости h:

И хотя при увеличении глубины жидкости h сила вязкого трения пластинки не становится исчезающе малой, эта формула довольно точно описывает взаимодействие между соприкасающимися элементами жидкости.

Чем больше разность скоростей, тем больше сила, с которой они воздействуют друг на друга, заставляя притормаживать слишком быстро движущиеся элементы и разгоняя слишком медленные.

В результате относительное движение в жидкости прекращается (но иногда это может произойти не очень скоро).

Уравнение Навье — Стокса для вязких жидкостей

В более строгой формулировке линейная зависимость вязкого трения от изменения скорости движения жидкости называется уравнением Навье — Стокса. Оно учитывает сжимаемость жидкостей и газов и, в отличие от закона Ньютона, справедливо не только вблизи поверхности твёрдого тела, но и в каждой точке жидкости (у поверхности твёрдого тела в случае несжимаемой жидкости уравнение Навье — Стокса и закон Ньютона совпадают).

Любые газы, для которых выполняется условие сплошной среды, подчиняются и уравнению Навье — Стокса, т.е. являются ньютоновскими жидкостями.

Вязкость жидкости и газа обычно существенна при относительно малых скоростях, потому иногда говорят, что гидродинамика Эйлера — это частный (предельный) случай больших скоростей гидродинамики Навье — Стокса.

При малых скоростях в соответствии с законом вязкого трения Ньютона сила сопротивления тела пропорциональна скорости. При больших скоростях, когда вязкость перестаёт играть существенную роль, сопротивление тела пропорционально квадрату скорости (что впервые обнаружил и обосновал Ньютон).

Критерий Рейнольдса

Такую зависимость вывел английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842 — 1912).

Критерий, который помогает ответить на вопрос, есть ли необходимость учитывать вязкость, является число Рейнольдса Re. Оно равно отношению энергии движения элемента текущей жидкости к работе сил внутреннего трения.

Рассмотрим кубический элемент жидкости с длиной ребра n. Кинетическая энергия элемента равна:

Согласно закону Ньютона, сила трения, действующая на элемент жидкости, определяется так:

Работа этой силы при перемещении элемента жидкости на расстояние n составляет

а отношение кинетической энергии элемента жидкости к работе силы трения равно

Сокращаем и получаем:

Re — называется числом Рейнольдса.

Таким образом, Re — это безразмерная величина, которая характеризует относительную роль сил вязкости.

Например, если размеры тела, с которым соприкасаются жидкость или газ, очень малы, то даже при небольшой вязкости Re будет незначительно и силы трения играют преобладающую роль. Наоборот, если размеры тела и скорость велики, то Re >> 1 и даже большая вязкость почти не будет влиять на характер движения.

Однако не всегда большие числа Рейнольдса означают, что вязкость не играет никакой роли. Так, при достижении очень большого (несколько десятков или сотен тысяч) значения числа Re плавное ламинарное (от латинского lamina — «пластинка») течение превращается в турбулентное (от латинского turbulentus — «бурный», «беспорядочный»), сопровождающееся хаотическими, нестационарными движениями жидкости. Этот эффект можно наблюдать, если постепенно открывать водопроводный кран: тонкая струйка течёт обычно плавно, но с увеличением скорости воды плавность течения нарушается. В струе, вытекающей под большим напором, частицы жидкости перемещаются беспорядочно, колеблясь, всё движение сопровождается сильным перемешиванием.

Появление турбулентности весьма существенно увеличивает лобовое сопротивление. В трубопроводе скорость турбулентного потока меньше скорости ламинарного потока при одинаковых перепадах давления. Но не всегда турбулентность плоха. В силу того что перемешивание при турбулентности очень значительно, теплообмен — охлаждение или нагревание агрегатов — происходит существенно интенсивнее; быстрее идёт распространение химических реакций.

Формула Бернулли закон по которому течет жидкость на любом отрезке трубы, что значительно помогает при проектировании трубопроводов, особенно с естественной циркуляцией.

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.

Закон Ньютона для вязкого течения жидкости или газа

mir.zavantag.com > Математика > Закон