Вывод уравнения периода колебаний физического маятника

Физический маятник

Как выглядят колебания и период физического маятника. Узнайте про период колебаний, уравнение и формулу физического маятника, вращательный момент и инерцию.

Период у физического маятника находится в зависимости от момента инерции точки поворота и дистанции к центру масс.

Задача обучения

• Вычислить параметры, воздействующие на период физического маятника.

Основные пункты

• Физический маятник – обобщенный случай простого. Представлен любым твердым телом, осуществляющим колебания вокруг точки поворота.
• В случае небольших амплитуд период основывается исключительно на моменте инерции вокруг точки поворота и дистанции от оси вращения к центру масс:
• На период колебания маятника не влияет общая масса твердого объекта и массовое распределение. Изменение формы, размера и распределения массы повлияет на момент инерции и период.

Термины

• Физический маятник – стержень или нить не лишены массы и способны увеличивать свой размер.
• Массовое распределение – пространственное распределение и вычисление центра масс в объекте.

Физический маятник

Простой маятник представлен подвешенным грузом к безмассовой нити или стержню, лишенным трения. Здесь можно не учитывать эффекты от нити. А вот в физическом маятнике нить приобретает вес и способна растягиваться. Тогда период зависит от момента инерции вокруг точки поворота.

Мы видим, как силы влияют сквозь центр масс. Можно вычислить период маятника, выявив момент инерции вокруг точки поворота

Гравитация влияет сквозь центр масс твердого тела. Тогда длина маятника приравнивается к линейной дистанции между осью вращения и центром массы (h).

Уравнение вращательного момента:

τ = Iα (α – угловое ускорение, τ – вращательный момент, I – момент инерции).

Гравитация создает вращательный момент:

τ = mghsinθ (h – дистанция от центра масс к точке поворота, а θ – угол от вертикали).

То есть при небольшом угловом приближении:

Та же форма, что и у обычного простого маятника, где период:

И частота физического маятника:

Если мы располагаем моментом инерции, то можем вычислить период у физического маятника. Рассмотрим однородный стержень, повернутый из рамы. Центр масс расположен на дистанции L/2 от точки подвеса:

Жесткий стержень с равномерным распределением массы свисает с точки поворота. Это пример физического маятника

Момент инерции жесткого стержня вокруг его центра:

Также нужно выявить момент инерции относительно точки поворота, а не центра масс, поэтому применим теорему о параллельной оси:

Добавим результат к уравнению за период:

Только отметьте, что период физического маятника все еще зависит от массы. Зато лишен влияния массового распределения твердого тела. Перемены в форме, размере или распределении массы повлияют и на момент инерции, а это изменит период.

Лабораторная работа № 5 Изучение закона колебаний физического маятника

Лабораторная работа № 5

изучение закона колебаний

Цель работы: Экспериментальная проверка закона колебаний физического маятника при малой угловой амплитуде. Освоить метод определения ускорения силы тяжести с помощью физического маятника.
Краткое теоретическое введение

5.2.1. Период колебаний физического маятника

Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси (не проходящей через его центр масс) и способное совершать колебания относительно этой оси.

В состоянии устойчивого равновесия физического маятника линия, проходящая через точки подвеса «О» и центра масс «С», направлена вертикально (см. рис.5.1).

Если маятник отклонить от положения равновесия на некоторый угол α и отпустить, то он будет совершать колебательное движение (рис.5.1) под действием момента силы тяжести относительно оси вращения. Проекция на ось вращения момента силы тяжести равна:

, (5.1)

где m – масса маятника,

g – ускорение свободного падения,

a – расстояние от точки подвеса «О» до центра масс «С».

Уравнение движения (уравнение моментов) физического маятника в проекции на ось вращения имеет следующий вид (см. Приложение):

(5.2)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения.

Если угол отклонения достаточно мал (α ; периода Ti колебаний;

Число необходимых измерений – 25.

Перемещая призму подвеса последовательно на одну проточку(10мм), двигаясь к центру масс, проведите измерения времени 10 периодов колебаний маятника по 3 раза для каждого положения призмы подвеса. Занести результаты в таблицу. Кронштейн (5) также надо перемещать вверх так, чтобы нижний конец стержня пересекал луч фотодатчика.

5.5. Математическая обработка результатов измерений

5.5.1. По средним значениям определить период колебаний Ti и занести эти значения в таблицу.

5.5.2. Построить график зависимости периода колебаний Тi от расстояния между точкой подвеса и центром масс аi, используя все экспериментальные точки.

5.5.3. Построить в более крупном масштабе (увеличив масштаб Т в 20÷50 раз) отдельно область зависимости Т=f(а), в которой одному и тому же периоду Тi отвечают два значения величины аi.

5.5.4. Проведя 5-6 горизонтальные прямые, найти значения а1i и a2i, соответствующие точкам пересечения этих прямых с графиком Т=f(а) и определить приведённые длины l0i=a1i+a2i для каждого значения Ti.

5.5.5. Подставив полученные значения l0i и Ti в формулу (5.15), найти экспериментальные значения ускорения свободного падения.

5.5.6. Определить среднее значение и доверительный интервал Δg по методу прямых измерений для заданного значения доверительной вероятности.

5.5.7. Сравниваем полученное значение с табличным значением для города Алматы (g=9,804 м/с2).

5.5.8. Используя формулу для момента инерции тонкого стержня относительно оси вращения, перпендикулярной стержню, проходящей через центр масс:

(где m — масса стержня, а l — его длина), рассчитать по формулам (5.14) теоретическое значение минимального периода колебаний Tmin и соответствующее ему расстояние а* от точки подвеса до центра масс; сравнить их с полученными экспериментально по графику.

5.6. Вопросы для самоконтроля

5.6.1. Дайте определение физического и математического маятников.

5.6.2. Как выглядят кривые зависимости периода колебаний от расстояния а между точкой подвеса и центром масс для математического и физического маятников, изображенных на одном и том же графике? Объясните, почему именно так?

5.6.3. Остается ли момент инерции физического маятника одинаковым относительно осей, проходящих через разные точки подвеса? Почему?

5.6.4. Каков физический смысл термина «приведенная длина физического маятника»?

5.6.5. Каким образом может влиять масса и форма подвеса маятника на его движение? Приведет ли учет наличия подвеса к увеличению или уменьшению периода колебаний?

5.6.6. Объясните, почему кривая зависимости периода Τ колебаний от величины а на рис.5.2. симметрична относительно центра масс, хотя сам физический маятник такой симметрией может и не обладать?

5.7.1. Сивухин курс физики, Т.1.-М.: Наука, 1974.

5.7.2. Гольдин к лабораторным занятиям по физике. — М.: Наука, 1973.

П Р И Л О Ж Е Н И Е

Основным уравнением движения твердого тела, закрепленного в точке, в частности способного совершать лишь вращение вокруг неподвижной оси, является уравнение моментов:

(П1)

где — момент импульса тела относительно точки закрепления,

— момент внешних сил относительно той же точки.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем:

(П2)

где I — момент инерции тела относительно оси вращения;

— вектор угловой скорости вращения.

Поэтому, подставляя (П2) в (П1), получим основное уравнение вращательного движения в следующем виде:

. (П3)

Принимая во внимание, что по определению есть угловое ускорение и обозначив его , уравнение (П3) запишем в виде:

Существует лишь одна сила (если пренебречь трением), создающая момент относительно оси вращения — это сила тяжести, приложенная к центру масс, поэтому

, (П4)

где — радиус-вектор, проведенный из точки О, расположенной на оси вращения, в центр масс тела (на рис. 5.1. ). Вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас в соответствии с правилом правого буравчика (правой руки), примененного для векторного произведения (П4).

Проекция М вектора на ось вращения равна

(П5)

Знак «минус» в выражении (П.5) показывает, что эта проекция направлена против выбранного направления углового перемещения при отклонении от положения равновесия.

Таким образом, уравнение (П.3), записанное в проекции на ось вращения примет вид:

или в других обозначениях

(П6)

где — вторая производная по времени от угла поворота вокруг оси вращения (угловое ускорение);

— положительная постоянная.

Уравнение (П6) описывает колебания физического маятника вокруг неподвижной оси вращения.

1.1. Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник — это система, состоящая из шарика массой m, подвешенного на пружине длиной .

Рис. 1.2. К выводу уравнения движения для пружинного маятника

В положении равновесия (рис. 1.2) сила тяжести уравновешивается упругой силой :

где – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x = 0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия.

Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным . По закону Гука проекция результирующей силы на ось ОХ будет тогда равна

Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона:

Его можно также представить в виде:

Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом , который образует нить с вертикалью (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К выводу уравнения движения математического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Соответственно, уравнение движения этой материальной точки имеет вид

.

Проецируя его на направления нормали и касательной к траектории (окружности радиуса ), получаем

Модуль скорости равен , учитывая, что при движении точки к положению равновесия угол убывает, а скорость точки растет, напишем

.

Тогда второе из написанных выше уравнений движения приобретает вид

При малых отклонениях маятника от вертикали, когда ,

Физический маятник

Физический маятник — это протяженное колеблющееся тело, закрепленное на оси. Его размеры таковы, что его невозможно рассматривать как материальную точку.

Пример физического маятника приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. К выводу уравнения движения физического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m – масса маятника, а l – расстояние 0C между точкой подвеса 0 и центром масс C маятника.

Рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков и можно объяснить тем, что векторы и направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

Ограничимся рассмотрением малых отклонений от положения равновесия:

В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции равен

и мы приходим к уравнению (1.6) движения математического маятника.

Колебания поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим цилиндр с площадью поперечного сечения , в который вставлен поршень массы (рис. 1.5). Под поршнем в цилиндре идеальный газ с показателем адиабаты , над поршнем воздух с постоянным (атмосферным) давлением . Поршень может двигаться в цилиндре вверх и вниз без трения. Будем считать, что в равновесии объем идеального газа под поршнем равен и изменения объема газа, обусловленные движением поршня, происходят адиабатно, то есть без теплообмена со стенками цилиндра и поршнем.

Рис. 1.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

В состоянии равновесия давление в газе под поршнем складывается из атмосферного давления и давления , оказываемого поршнем. Обозначим это результирующее давление :

Переместим поршень на расстояние x вверх. Объем сосуда увеличится и станет равным

Соответственно уменьшится давление. В силу предположения об отсутствии теплообмена, новое давление в газе можно найти из уравнения адиабаты Пуассона

Здесь — показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул газа.

При малых колебаниях, когда изменение объема газа много меньше его «равновесной» величины , то есть когда

выражение (1.11) можно разложить в ряд Тейлора:

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления , сила давления газа под поршнем и сила тяжести . Знаки сил соответствуют выбору положительного направления оси x вверх. Используя (1.10) и (1.12), находим для равнодействующей этих сил:

Используя (1.13), уравнение движения поршня