Вывод уравнения плоской гармонической волны
отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаковым образом.
Уравнение плоской волны
Найдем вид функции . в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.
Пусть колебание точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид (при начальной фазе ф = 0)
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время τ = х/v. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т. е.
— это уравнение плоской волны (рис. 2.4.3). Таким образом, . есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания A = const. Это будет, если энергия волны не поглощается средой.
Такой же вид уравнение (2.4.5) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.
В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (2.4.5) и (2.4.6) есть уравнения бегущей волны. Уравнение волны можно записать и в другом виде.
Введем волновое число k = 2π/λ, или в векторной форме
где k — волновой вектор; n — нормаль к волновой поверхности.
Так как λ = vT , то k = 2π/vT = 2πν/v = ω/v. Отсюда v = ω/k.
Тогда уравнение плоской волны запишется так:
Вывод уравнения плоской гармонической волны
Уравнения плоской и сферической волн |
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом. Уравнение плоской волны Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время . Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
– это уравнение плоской волны. Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой. Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z. В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны. Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид: . Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое число , или в векторной форме:
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности. Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
Уравнение сферической волны В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице. Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной. источники: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B.%20%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%20%D0%B8%20%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/05-2.htm |