Вывод уравнения поверхности равного давления

Поверхность равного давления и ее свойства

Поверхностью равного давления (поверхностью уровня) –называется это такая поверхность, во всех точках которой давление имеет одно и то же значение. Поэтому разность давлений в разных точках этой поверхности равна нулю dp = 0. Тогда, исходя из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, уравнение поверхности равного давления запишется

.

(2.36)

где X, Y, Z– ускорения массовых сил.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

Рисунок 2.4 —

Первое свойство поверхности равного давления — поверхности равного давления не пересекаются между собой. Допустим, что поверхность с давлением p₁ пересекается с поверхностью, на которой давление p₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и p₁ и p₂ , что не возможно, т.к. p₁ не равно p₂, следовательно, пересечения этих поверхностей невозможно.

Второе свойство поверхности равного давления — массовые силы направлены перпендикулярно к поверхности равного давления. Доказать это положение можно следующим образом. Рассмотрим вектор массовой силы dF = dm(X i + Y j +Z k) и вектор смещения координаты точки вдоль поверхности равного давления dr = dx i + dy j +dz k. Найдем скалярное произведение этих векторов (dF·dr) = dm (X dx + Y dy +Z dz) =0. Скалярное произведение этих векторов обращается в ноль, так как выполняется уравнение поверхности равного давления (2.36). А скалярное произведение векторов равно нулю, если они перпендикулярны, что и доказывает второе свойство.

Следствие второго свойства поверхности равного давления — в поле силы тяжести в однородной жидкости поверхностью равного давления является любая горизонтальная поверхность. Жидкость называется однородной, если из одной точки жидкости можно перейти в другую точку жидкости не пересекая твердых стенок и других жидкостей. Действительно, сила тяжести направлена вниз, поэтому поверхность равного давления должна быть горизонтальной.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 408 ; Нарушение авторских прав

Поверхность равного давления

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня или поверхностью равного давления. При неравномерном или непрямолинейном движении на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще и силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным покоем.

Рассмотрим два примера такого относительного покоя.

Жидкость в неинерциальных системах отсчета

В первом примере определим поверхности уровня в жидкости, находящейся в цистерне, в то время как цистерна движется по горизонтальному пути с постоянным ускорением a (рис.2.15).

Рис. 2.15. Движение цистерны с ускорением

К каждой частице жидкости массы m должны быть в этом случае приложены ее вес G=mg и сила инерции P_u = ma.

Равнодействующая этих сил R = ((mg) 2 +(ma) 2 ) 1/2 направлена к вертикали под углом α, тангенс которого равен tga = a/g.

Так как свободная поверхность, как поверхность равного давления, должна быть нормальна к указанной равнодействующей, то она в данном случае представит собой уже не горизонтальную плоскость, а наклонную, составляющую угол α с горизонтом. Учитывая, что величина этого угла зависит только от ускорений, приходим к выводу, что положение свободной поверхности не будет зависеть от рода находящейся в цистерне жидкости.

Любая другая поверхность уровня в жидкости также будет плоскостью, наклоненной к горизонту под углом α. Если бы движение цистерны было не равноускоренным, а равнозамедленным, направление ускорения изменилось бы на обратное, и наклон свободной поверхности обратился бы в другую сторону (см. рис.2.6, пунктир).

Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде

В качестве второго примера рассмотрим часто встречающийся в практике случай относительного покоя жидкости во вращающихся сосудах (рис.2.16), например, в сепараторах и центрифугах, применяемых для разделения жидкостей.

В этом случае на любую частицу жидкости при ее относительном равновесии действуют массовые силы:

где r — расстояние частицы от оси вращения, а ω — угловая скорость вращения сосуда.

Рис. 2.16. Вращение сосуда с жидкостью

Поверхность жидкости также должна быть нормальна в каждой точке к равнодействующей этих сил R и представит собой параболоид вращения. Т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости параболоидом, который описывается уравнением

Закон изменения давления во вращающейся жидкости в функции радиуса и высоты записывается в виде

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу r и уменьшается пропорционально высоте z.

Равновесие газа

Уравнения равновесия, выведенные для жидкости, имеют общий характер и могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости или газа.

Для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри занимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 2.11).

В однородной газовой среде (ρ = const), распределение давления не отличается от распределения давления в покоящейся капельной жидкости.

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 2.11) на поверхности земли z=z₀ и р=р₀,получим уравнение

где z — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до рассматриваемой точки (высота точки М); z₀ — расстояние от плоскости сравнения 0′-0′ до поверхности с заданным давлением р=р_0.

Рис. 2.11. Равновесие газа в поле силы тяжести

Уравнения (2.17) и (2.18) показывают, что в поле силы тяжести изменение давления газа будет, так же как и в капельной жидкости, определяться только изменением расстояния от плоскости сравнения до рассматриваемой точки. Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат z>z₀.

Характер же этого изменения будет корректироваться в зависимости от закона изменения внутреннего состояния газа.

Тема 5 Поверхность уровня. Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления (или поверхностью уровня).

Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления (или поверхностью уровня).

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики (4.6) dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) получим

r × (X × dx + Y × dy + Z × dz) = 0.

Так как плотность r ¹ 0, то

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0. (5.1)

где X, Y и Z – проекции ускорения массовой (объёмной при r = const) силы на координатные оси.

Уравнение (5.1) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.

Свойства поверхности уровня

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

2. Внешние массовые (объёмные) силы направлены нормально к поверхности уровня.

Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с 2 будет направлено параллельно оси 0z.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня (5.1) X × dx + Y × dy + Z × dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

– g × dz = 0 или dz = 0. (5.2)

Интегрируя это уравнение, находим

Так как С = const – произвольная постоянная, то это уравнение (5.3) будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,

Итак, если на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом или капельной жидкостью, давление остаётся неизменным (рис. 9, 10). Гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f(z).

Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р₀ (рис. 10). Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление р_бар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью.

Рисунок 9 Рисунок 10

Эти выводы является выражением следствия из закона Паскаля.

Следствие из закона Паскаля: на данном горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости давление во всех точках одинаково.

Тема 6 Распределение гидростатического давления (Интегрирование уравнения Эйлера)

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (4.6)

dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz).

В случае равновесия несжимаемой жидкости в поле земного тяготения проекции ускорения массовой силы (силы тяжести) X, Y и Z на координатные оси 0x, 0y и 0z (ось 0z направлена вертикально вверх) равны соответственно:

Тогда из основного дифференциального уравнения гидростатики (4.6) имеем:

dp = – r × g × dz

+ dz = 0. (6.1)

Интегрируя (6.1) при r = const, имеем

+ z = С, (6.2)

где С – постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим резервуар, заполненный жидкостью (рис. 12).

Для точки m, лежащей на свободной поверхности жидкости р = р_св и z = z₀. Подставляя эти значения в (6.2) находим, что

С = + z₀.

+ z = + z₀

где h – глубина погружения рассматриваемой точки под уровень свободной поверхности жидкости.

Окончательно основное уравнение гидростатики (в интегральной форме) имеет вид:

где р – полное (или абсолютное) давление в рассматриваемой точке;

р_св – давление на свободную поверхность жидкости (внешнее давление). Часто обозначается р₀;

r × g × h – относительное (или весовое) давление. Эта величина равна весу столба жидкости при единичной площади и высоте h.

Общий гидростатический закон может быть сформулирован следующим образом: давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему давлению, сложенному с весом столба жидкости высотой от поверхности до данной точки с площадью основания, равной единице.

Иначе можно сказать, что абсолютное (полное) давление в рассматриваемой точке равно внешнему давлению, сложенному с давлением столба жидкости над точкой.

Если абсолютное давление в рассматриваемой точке р больше атмосферного р_бар, то разность (р – р_бар) представляет собой превышение полного давления над атмосферным и называется манометрическим или избыточным давлением в данной точке:

Если давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному (р_св = р_бар), то

В этом случае избыточное и весовое давление совпадают.

Если абсолютное давление в точке меньше атмосферного, то недостача абсолютного давления до атмосферного называется вакуумом или разрежением: