Теоретическая механика:
Вращательное движение твердого тела

Смотрите также решения задач по теме «Вращательное движение» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева.

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a_t и a_n.

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2 ).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f’ (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f» (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ_об.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ_об и φ_об = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a_t и a_n, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a_t = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a_n = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ₀ + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ₀=0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ₀ + ω₀t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω₀ + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ₀, ω₀ и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ₀ + (ω + ω₀)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ₀ + (ω 2 — ω₀ 2 )/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ₀=0 и ω₀=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.

КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Краткая теория

Положение материальной точки или твердого тела при заданной оси вращения определяется углом поворота или угловым перемещением , которое направлено вдоль оси, вокруг которой вращается тело, в сторону, определяемую правилом правого винта (рис. 2.1). Направление вектора поворота связывают с направлением вращения тела. Следовательно, является не истинным вектором, а псевдовектором.

Средняя угловая скорость и среднее угловое ускорение материальной точки

, (2.1)

где — изменение угла поворота за интервал времени .

Мгновенная угловая скорость материальной точки

. (2.2)

Мгновенное угловое ускорение

. (2.3)

Направление векторов угловой скорости и углового ускорения совпадают с осью вращения (рис.2.1). Угловая скорость, угловое ускорение, как и угловое перемещение, являются псевдовекторами.

Частота вращения

(2.4)

где — число оборотов, совершаемых телом за время ; — период вращения (время одного полного оборота).

Число оборотов N, совершаемых телом при вращательном движении, связано с углом поворота φ соотношением:

УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинематическое уравнение равномерного вращательного движения

, (2.6)

где — начальное угловое перемещение; — время. При равномерном вращении

Кинематическое уравнение равнопеременного вращательного движения ( )

, (2.7)

где — начальная угловая скорость.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращательном движении

. (2.8)

СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИМИ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Длина пути, пройденного материальной точкой по дуге окружности радиусом при повороте на угол Δφ (рис.2.1)

. (2.9)

Связь между линейной и угловой скоростью(рис.2.2)

; . (2.10)

Связь между тангенциальным и угловым ускорением(рис.2.2)

. (2.11)

Связь между нормальным ускорением и угловой скоростью

— (2.12)

КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ	КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
, при	, при
, при	, при
, при	, при

Вопросы для самоподготовки

1. Сформулируйте определение вращательного движения твердого тела.

2. Назовите основные кинематические характеристики вращательного движения, дайте им определение.

3. Объясните, почему линейное перемещение, скорость и ускорение не являются характеристиками вращательного движения твердого тела.

4. Дайте определение периода и частоты вращения.

5. Выведите кинематические уравнения равномерного и равнопеременного вращательного движения.

6. Выведите уравнение угловой скорости при равнопеременном вращательном движении.

7. Назовите формулы связи кинематических характеристик поступательного и вращательного движения.

8. Покажите аналогию между основными характеристиками поступательного и вращательного движения.

9. Материальная точка М движется по окружности со скоростью . На рисунке показан график зависимости проекции скорости v_τ от времени ( — единичный вектор положительного направления, v_τ – проекция на это направление). Как при этом меняется величина нормального a_n и тангенциального a_τ ускорения материальной точки?

Примеры решения задач

2.1.Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса r=10 см с постоянным касательным ускорением a_τ=0,4 см/с 2 . Найти:

1) момент времени t от начала вращения, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол β=45 0 ;

2) путь, пройденный материальной точкой за это время;

3) угол поворота материальной точки по окружности за это время.

1. По условию задачи материальная точка движется по окружности с постоянным касательным ускорением . Следовательно, мгновенную скорость движущейся точки при v₀=0 можно найти по формуле (1.25), откуда

.

Скорость v и нормальное ускорение a_n=v 2 /r непрерывно возрастают со временем, а вектор полного ускорения со временем изменяется как по модулю, так и по направлению. Так как векторы и в данный момент времени всегда одинаково направлены, то угол β между векторами и зависит от соотношения между нормальным a_n и касательным a_τ ускорениями:

.

Тогда искомый момент времени найдем из соотношения:

.

2. В соответствии с формулой (1.22) путь, пройденный материальной точкой за это время

.

3. Угол поворота φ при вращательном движении линейно зависит от пройденного пути по формуле (2.9) и также изменяется со временем по квадратичному закону. Тогда угол поворота материальной точки в момент времени t=5c равен:

φ .

Ответ: 1. ; 2. ; 3. φ .

2.2. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где — постоянный вектор, — угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла .

. .

Выберем положительное направление оси z вдоль вектора . Согласно формуле (2.3), . Представив dt по формуле (2.2) как , можно преобразовать предыдущее уравнение к виду

. (1)

Проинтегрируем выражение (1) с учетом начального условия ( , ):

;

.

.

Ответ: .

2.3. Круглый конус с радиусом основания R и высотой h катится без скольжения по поверхности стола, как показано на рисунке 2.5. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке О на уровне точки С – центра основания конуса. Точка С движется с постоянной скоростью v. Найти угловую скорость .

R, .

1. За промежуток времени dt цилиндр совершит поворот d вокруг оси ОC и одновременно поворот d вокруг оси ОО / . Суммарный поворот . Поделив обе части этого равенства на dt, получим

, (1)

где и — угловые скорости вращения вокруг осей ОО / и ОС соответственно. Модули векторов и можно найти, используя выражение (2.10): ,

тогда , . (2)

Их отношение . Модуль вектора можно найти по теореме Пифагора, используя выражения (2):

.

Ответ: .

Равномерное и равнопеременное вращение.

Коллоквиум по физике.

№1
Система отсчета. Основные кинематические характеристики поступательного движения: радиус-вектор, перемещение, путь, скорость, ускорение. Кинематика поступательного движения: равномерное и равнопеременное движение.

Ответ:

Механика — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.Механическое движе­ние — это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей. Механика делится на три раздела: I) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают.

Поступательное движение — это движение, при кото­ром любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом от­счета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y и z или радиусом-вектором r, проведенным из начала системы координат в данную точку.

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется скалярными уравнениями

x = x(t), у = y(t), z = z(t) эквивалентными векторному уравнению r = r(t). Эти уравнения называютсякинематическими уравнениями дви­женияматериальной точки.
Перемещение — вектор Dr = r —r₀, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

Радиус—вектор(для произвольной точки в пространстве) — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Скорость – векторная величина которой определяется как быстрота движения, так и его направ­ление в данный момент времени.
Мгновенная скорость – при неог­раниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному значению. которое называетсямгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пре­деле совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траек­тории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения Dt путь Ds все больше будет приближаться к |Dr|, поэтому модуль мгновенной скорости:
Принеравномерном движении — модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной ávñ —средней скоро­стью неравномерного движения: (формула 2.2)

Вектором средней скорости называется отношение приращения Dr радиу­са-вектора точки к промежутку времени Dt:

Путь — длина участка траектории материальной точки, пройденного точкой за определенное время.
Длина пути —длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени Ds и является скалярной функцией времени: Ds = Ds(t). (рис.2)

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и модуль перемещения |Dr| равен пройденному пути Ds.

Если выражение ds = vdt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре­делах от t до t + Dt, то найдем длину пути, пройденного точкой за время Dt: (2.3)
При равномерном движении(2.3) имеет вид: Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁ до t_2:

Ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Dv к интервалу вре­мени Dt
Мгновенное ускорение–предел среднего ускорения: т.е.:

Ускорение a — векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Равномерное и равнопеременное движения:

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

1) , а_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) , а_n = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. Если начальный момент времени t₁=0, а начальная скорость v₁=v₀, то, обозначив t₂=t и v₂=v, получим , откуда

Длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения:
3) , а_n = 0— прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) , а_n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a_n=v 2 /r следует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) , — равномерное криволинейное движение;

6) , — криволинейное равнопеременное движение;

7) , — криволинейное движение с переменным ускорением.

№2
Основные кинематические характеристики вращательного движения: угловой путь, угловая скорость, угловое ускорение. Соотношения между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движения. Равномерное и равнопеременное вращение.

Угловой путь – скалярная величина, равная углу, на который перевернется радиус-вектор данной точки за время dt

Угловая скорость— векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени: .
Линейная скорость точки т.е.
Формула для линейной скорости в векторном виде: При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.
Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = T соответствует = 2p, то = 2p/T, откуда . Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения: откуда

Угловое ускорение — векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном — противонаправлен ему.

Соотношения между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движения:

Между поступательным и вращательным движениями существует аналогия, которая позволяет легко запоминать формулы, относящиеся к вращательному движению.
Основные характеристики поступательного движения: путь S, скорость v, ускорение а и время t. При вращении им соответствуют: угол поворота φ, угловая скорость со, угловое ускорение ε и время t.

Равномерное и равнопеременное вращение.

Равномерное вращение — вращение тела с постоянной угловой скоростью ω = const.
. (3.7) — уравнение равномерного вращения тела.
Из уравнения (3.7) находим , то есть угловая скорость равномерного вращения тела равна отношению приращения угла поворота за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка времени.
Равнопеременное вращение — вращение тела при котором угловое ускорение постоянно (ε=const) во все время движения.
Закон равнопеременного вращения, если при t=0, φ=φ₀, ω=ω₀. соответствующих: , или

№3

Тангенциальное и нормальное ускорения. Ускорение при криволинейном движении.
Ответ:

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости.
Тангенциальная составляющая ускорения: т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.
Нормальная составляющая ускорения: направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Полное ускорение тела — геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих: .Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная состав­ляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к цен­тру кривизны траектории).

№4
Понятие силы и массы. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона в механике.

Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.
Сила— это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
Инерциальная система отсчета – только в этой системе отсчета выполняется Первый Закон Ньютона. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета. Пример: Гелиоцентрическая (звездную) система.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.
Второй Закон Ньютона:в инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки. Формула:

(или уравнение движения материальной точки)

Третий Закон Ньютона:материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению.F₁₂ = – F₂₁,

F₁₂ — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F₂₁ — сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой.