Вывод уравнения свободных колебаний в контуре

Вывод уравнения свободных колебаний в контуре

«Физика — 11 класс»

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Есть колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь.

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии.
Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Полная энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R контура равно нулю, тогда производная полной энергии по времени равна нулю.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Физический смысл вышеприведенного уравнения состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля.
Знак «—» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

После вычисления производных в уравнении, получается

Производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени.
Тогда основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Полученное уравнение ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения, описывающего колебания пружинного маятника.

Период свободных колебаний в контуре

Формула Томсона
В основном уравнении коэффициент представляет собой квадрат циклической частоты для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Эта формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Период свободных колебаний зависит от L и С.
При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля.
А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока.

Координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону:

Заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

где
q_m — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

где
I_m = q_mω₀ — амплитуда колебаний силы тока.
Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда.

Точно так же колебания скорости тела в случае пружинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими.
Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление, тем бо́льшим будет период колебаний.
При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут.
Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Лекция № 5 Свободные электромагнитные колебания

СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Выписка из рабочей программы дисциплины «Колебания и волны» – 010900

2.1 Свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур. Процессы в идеализированном колебательном контуре. Электромагнитные гармонические колебания. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний и его решение. Собственная частота свободных электромагнитных колебаний. Формула Томсона. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре.

1. Свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания представляют собой взаимосвязанные периодические изменения зарядов, токов, характеристик электрического и магнитного полей, сопровождающиеся взаимными превращениями этих полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью и катушки индуктивностью .

Если сопротивление контура равно нулю, колебательный контур называют идеальным. В идеальном колебательном контуре отсутствуют потери энергии, поэтому собственные колебания, возникающие в нем, являются незатухающими.

Рассмотрим процесс возникновения свободных незатухающих колебаний в идеальном колебательном контуре. Чтобы возбудить колебания, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд, а потом замкнуть ключ К (рис.1).

Пусть в начальный момент времени () конденсатору сообщили некоторый заряд . При этом напряжение между его обкладками , напряженность электрического поля и энергия электрического поля – максимальны, а ток в цепи отсутствует (рис. 2,а). Затем начинается разряд конденсатора. Возникающий при этом разрядный ток, проходя через катушку , создает в ней изменяющееся магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигает максимального значения . При этом вся энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки , а индукция магнитного поля достигает максимума (рис. 2,б). Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился, ток в колебательном контуре не прекращается и поддерживается э. д.с. самоиндукции, что в итоге приведет к перезарядке конденсатора. При этом заряд конденсатора, напряжение между обкладками, напряженность и энергия электрического поля вновь достигают максимальных значений, однако полярность обкладок конденсатора и направление напряженности электрического поля между ними противоположны тем, какие были в начальный момент времени (рис. 2, в). По окончании перезарядки энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет направление, и процесс воспроизводится в обратном направлении (рис. 2, г). Система возвращается в исходное состояние (рис. 2, д), и начинается следующий период колебаний.

В контуре возникают электромагнитные колебания, при которых происходит превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот. Рисунок 2 представляет собой график зависимости заряда конденсатора от времени , , на котором значениям заряда в моменты времени сопоставлены соответствующие состояния колебательного

контура (а; б; в; г; д).

Так как сопротивление контура равно нулю, т. е. нет потерь энергии, такой процесс должен продолжаться бесконечно, а возникающие колебания называются собственными или свободными.

Период собственных незатухающих колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона

, (5)

а циклическая частота

. (6)

Колебания заряда происходят по гармоническому закону

, (7)

где – максимальный заряд на обкладках конденсатора;

– циклическая частота собственных колебаний;

– начальная фаза.

На рисунках 3 и 4 представлены соответственно идеальный колебательный контур и график зависимости при .

Очевидно, что изменение напряжения между обкладками описывается таким же законом

(8)

где – максимальное напряжение между обкладками конденсатора.

Так как электрический ток характеризует скорость изменения заряда на обкладках конденсатора,

(9)

где – амплитуда силы тока.

Из выражений (7), (8), (9) следует, что колебания заряда (напряжения) и тока в контуре сдвинуты по фазе на , т. е. ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд и напряжение на обкладках конденсатора равны нулю, и наоборот. Этот же вывод следует из анализа рис. 2 (а, б, в, г, д).

Идеальный колебательный контур (рис. 3), в котором происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания, представляет собой электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью и катушки индуктивности . Запишем для этого замкнутого контура второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений равна сумме э. д.с., действующих в контуре.

В контуре действует только одна э. д.с. – э. д.с. самоиндукции, следовательно

,

где – падение напряжения на конденсаторе;

– мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора;

.

Так как , , то дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний может быть записано в виде

,

,

где – собственная циклическая частота контура.

Уравнение колебаний принимает вид

и называется уравнением свободных незатухающих электромагнитных колебаний в дифференциальной форме.

Из математики известно, что решение этого уравнения имеет вид

,

т. е. соответствует формуле (7) и рис. 4 (при ).

Таким образом, свободные незатухающие электромагнитные колебания являются гармоническими, а их период определяется формулой Томсона:

2. Закон сохранения и превращения энергии в идеализированном колебательном контуре

Исключительно важным является вопрос об энергии гармонических колебаний. С энергетической точки зрения гармоническое колебание представляет собой непрерывный процесс перехода кинетической энергии движущихся частей осциллятора в потенциальную энергию упругого элемента. Полная энергия гармонического осциллятора есть величина постоянная, так как для него потерь нет. Она равна либо максимальной кинетической энергии ( в момент прохождения положения равновесия) , либо максимальной потенциальной энергии (при амплитудном смешении). В задачах используются именно эти энергии, так как с их помощью можно оценить величину амплитуды и частоты собственных колебаний осциллятора.

Расчет энергии W гармонического осциллятора осуществляют стандартным образом. Для механических осцилляторов:

RLC-контур. Свободные колебания

R L C -контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный R L C -контур, изображенный на рис. 2 . 2 . 1 .

Рисунок 2 . 2 . 1 . Последовательный R L C -контур.

Находясь в положении 1 , ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ . Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R . При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой R L C -цепи закон Ома представляет из себя выражение:

J R + U = — L d J d t .

В данной формуле U = q C – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J = d q d t – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q ( t ) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в R L C -контуре уравнение может быть приведено к виду:

q · · + R L q · + 1 L C q = 0 .

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

q · · + ω 0 2 q = 0 .

Примем обозначение ω 0 2 = 1 L C . Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в L C — контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2 . 2 . 2 . На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x ( t ) груза и q ( t ) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J ( t ) и скорости груза υ ( t ) за период T = 2 π ω 0 колебаний.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Свободные колебания

Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

Такие колебания происходят по закону:

q ( t ) = q 0 cos ( ω t + φ 0 ) .

Параметры L и C колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

«Начальными условиями», определяющими амплитуду q 0 и начальную фазу φ 0 , называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

Например, для процесса колебаний, который начнется в контуре, изображенном на рисунке 2 . 2 . 1 , после перевода ключа K в второе положение, q 0 = C δ , φ 0 = 0 .

Процесс свободных колебаниях провоцирует повторяющееся превращение запасенной в конденсаторе электрической энергии W э в магнитную энергию катушки W м и наоборот. В ситуации, когда потери энергии равны нулю, полная электромагнитная энергия системы не претерпевает изменений:

W = W э + W м = q 2 2 C + L J 2 2 = c o n s t

Однако любой реально существующий контур, в отличие от идеального, включает в себя некоторое сопротивление R . По этой причине, процесс свободных колебаний в подобном контуре не подчиняется гармоническому закону. Запасенная в контуре энергия с каждым периодом колебаний теряется, превращаясь в джоулево тепло, из-за чего колебания становятся затухающими (рис. 2 . 2 . 3 ).

Рисунок 2 . 2 . 3 . Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: F т р = – β υ .

В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β . Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

q · · + 2 δ q · + ω 0 2 q = 0

Коэффициентом затухания называется физическая величина δ = R 2 L .

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

q ( t ) = q 0 e — δ t cos ( ω t + φ 0 ) ,

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель e x p ( – δ t ) . Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.

Интервал времени τ = 1 δ , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2 , 7 раза, называется временем затухания.

Понятие добротности Q колебательной системы:

где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ .

Любая добротность Q , относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение:

Q = 2 π З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д

Добротность Q , принадлежащая R L C -контуру, выражают формулой:

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω 0 идеального контура с такими же значениями L и C . Однако при Q ≥ ( 5 ÷ 10 ) данным различием можно пренебречь.

Рисунок 2 . 2 . 4 . Модель свободных колебаний в R L C -контуре.