Выяснить равносильны ли следующие уравнения

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.

Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

• Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
• Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) — ни одно из них не имеет корней.
• А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).

Равносильные преобразования уравнений — это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt<2-x>=\sqrt<2-x>+3\)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета .

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

\(↑\) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ .

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt\) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида \(a^=a^\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.

Равносильные системы уравнений, равносильные преобразования

В этой статье мы поговорим про равносильные системы уравнений. Здесь мы дадим соответствующее определение, а также разберем, какие существуют преобразования, позволяющие переходить от исходной системы уравнений к равносильной ей системе.

Навигация по странице.

Определение равносильных систем уравнений

В учебниках [1, с. 199; 2, с. 74] дается определение равносильных систем уравнений с двумя переменными:

Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

В старших классах оно обобщается на системы с любым числом уравнений и переменных [3, с. 265] :

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений.

Примеры равносильных и неравносильных систем приведем в следующем пункте.

Равносильны ли данные системы уравнений?

Чтобы сделать вывод о равносильности или неравносильности данных систем уравнений на основе определения, надо наперед знать решения этих систем. Приведем пример. Пусть нам известно, что системы уравнений и не имеют решений (это достаточно очевидно: первая содержит не имеющее решений уравнение 0·x=4 , а вторая – уравнение |x|=−1 ). А по определению системы уравнений, которые не имеют решений, равносильны.

Чтобы доказать неравносильность систем уравнений, достаточно привести одно частное решение, являющееся решением одной системы, но не являющееся решением другой. Например, легко обосновать, что системы уравнений и неравносильны. Действительно, пара (0, 0) является решением первой системы, при этих значениях переменных оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства 0=0 и 0=−0 , но не является решением второй, так как ее второе уравнение при подстановке этих значений дает неверное равенство 0−0=2 . А по определению решения равносильных систем должны быть одинаковыми.

А как доказать равносильность систем уравнений, если их решения неизвестны? Конечно, можно найти решения, после чего сделать вывод касательно равносильности на основе определения. Но иногда для этого решать системы необязательно, это касается тех случаев, когда видно, что одна система получена из другой при помощи некоторых так называемых равносильных преобразований. Их мы подробно изучим в следующем пункте, а пока приведем пример.

Рассмотрим две системы уравнений и . При внимательном взгляде на их записи можно заметить следующие вещи: уравнение второй системы есть результат почленного сложения соответствующих частей уравнений первой системы, а второе уравнение второй системы получено из второго уравнения первой системы посредством переноса слагаемого в другую часть. Описанные преобразования являются равносильными, и в результате их проведения получается система, равносильная исходной. Итак, указанные системы равносильны. А мы переходим к разбору основных равносильных преобразований.

Равносильные преобразования систем уравнений

Существует ряд преобразований, позволяющих преобразовать данную систему уравнений в равносильную ей систему. Они получили название равносильных преобразований, и нашли основное применение при решении систем уравнений. Эти преобразования можно считать свойствами систем уравнений. Рассмотрим и обоснуем основные из них.

Перестановка местами уравнений системы дает равносильную систему уравнений.

Доказательство этого утверждения очевидно. В силу определения решения системы уравнений любое отдельно взятое решение системы уравнений является решением каждого уравнения этой системы. Понятно, что оно является и решением каждого уравнения системы с этими же уравнениями, но переставленными местами, значит, является решением и системы с переставленными местами уравнениями.

К примеру, и — равносильные системы.

Если любое уравнение в системе заменить равносильным уравнением, то полученная система будет равносильна исходной.

Доказательство этого факта тоже лежит на поверхности. Любое решение системы уравнений является решением каждого уравнения системы. Мы также знаем, что равносильные уравнения имеют одинаковые решения. Поэтому, любое решение исходной системы уравнений будет решением всех уравнений системы, в которой какое-то уравнение заменено равносильным ему уравнением, а значит, и решением этой системы.

Важность доказанного свойства огромна: оно дает нам право на работу с отдельными уравнениями системы. С ними мы можем проводить всевозможные уже знакомые нам равносильные преобразования, например, перестановку местами слагаемых, перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и т.д.

Приведем пример. Пусть дана система . В ее первом уравнении можно выполнить умножение чисел, то есть, заменить его равносильным уравнением 12·x−y=1 . А во втором уравнении можно собрать все слагаемые в левой части, раскрыть скобки, после чего привести подобные слагаемые. В результате получится равносильная система более простого вида .

Если к левой и правой части одного из уравнений системы прибавить соответственно левую и правую часть другого уравнения системы, то полученная система будет равносильна исходной.

Для доказательства покажем, что любое решение изначальной системы уравнений является решением полученной, и обратно, что любое решение полученной системы является решением исходной. Это будет означать равносильность систем.

Любое решение начальной системы является решением каждого ее уравнения, оно обращает все уравнения в верные числовые равенства. Нам известно свойство числовых равенств, которое утверждает, что при почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Отсюда следует, что взятое нами решение начальной системы является решением уравнения, полученного в результате почленного прибавления к нему другого уравнения. Поэтому, это решение является решением и полученной системы уравнений, так как является решением каждого ее уравнения.

Теперь обратно. Возьмем любое решение полученной системы, оно является решением каждого ее уравнения, то есть, оно обращает их в верные числовые равенства. Существует свойство, позволяющее выполнять почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства, соответствующего уравнению, полученному в результате почленного сложения, равенство, соотетствующее прибавленному ранее уравнению. Это даст верное числовое равенство, отвечающее начальному уравнению системы до прибавления к нему другого уравнения. Отсюда следует, что взятое решение будет решением каждого уравнения исходной системы, а значит, и ее решением.

Приведем пример выполнения этого равносильного преобразования. Возьмем систему двух уравнений с двумя переменными . Прибавив к левой и правой части первого уравнения соответственно левую и правую часть второго, получим уравнение с одной переменной 3·y=3 , а система примет вид . Полученная система уравнений имеет более простой вид, но при этом равносильна исходной.

Понятно, что если система содержит три или большее число уравнений, то можно не ограничиваться почленным прибавлением к левой и правой части выбранного уравнения левой и правой части одного уравнения, а прибавлять левые и правые части двух, трех, да хоть всех остальных уравнений системы. В результате этих действий все равно получится равносильная система уравнений.

На доказанном равносильном преобразовании базируется один из методов решения систем уравнений – метод алгебраического сложения.

Если одно из уравнений системы представляет собой переменную, выраженную через другие переменные, то в любое другое уравнение системы можно подставить вместо этой переменной ее выражение, система, полученная в результате такого преобразования, равносильна исходной.

Приведем пример для пояснения. Возьмем систему . В ее первом уравнении переменная x выражена через y . Оставим первое уравнение системы без изменений, а во второе подставим вместо x ее выражение через y , то есть, 2·y−1 . В результате приходим к системе , которая равносильна исходной. Обоснуем это.

Пусть пара (x₀, y₀) – решение исходной системы, тогда x₀=2·y₀−1 и x₀+3·y₀−1=0 – верные числовые равенства. Докажем, что при этом равенство (2·y₀−1)+3·y₀−1=0 тоже верное, что будет доказывать, что (x₀, y₀) является решением системы, полученной после преобразования, а это будет означать, что полученная система имеет те же решения, что и исходная.

Легко показать, что при условии x₀=2·y₀−1 значения выражений x₀+3·y₀−1 и (2·y₀−1)+3·y₀−1 равны. Для этого составим их разность и покажем, что она равна нулю: x₀+3·y₀−1−((2·y₀−1)+3·y₀−1)= (x₀−(2·y₀−1))+(3·y₀−1−(3·y₀−1))= x₀−(2·y₀−1) , а полученное выражение равно нулю в силу равенства x₀=2·y₀−1 . Итак, справедливо равенство x₀+3·y₀−1=(2·y₀−1)+3·y₀−1 , но справедливо и равенство x₀+3·y₀−1=0 , а из них по свойству транзитивности вытекает справедливость равенства (2·y₀−1)+3·y₀−1=0 .

Аналогично доказывается, что любое решение системы уравнений является решением исходной системы. В итоге можно сделать вывод, что системы равносильны.

Суть доказательства рассматриваемого утверждения в общем виде та же. То есть, показывается, что любое решение исходной системы является решением системы, полученной после преобразования, и обратно.

Это равносильное преобразование дает разрешение на решение систем уравнений методом подстановки.

В заключение скажем, что обычно при решении систем уравнений разобранные равносильные преобразования используются сообща и иногда по нескольку раз. Дальше на практике Вы увидите это.