Прямая в пространстве – необходимые сведения
Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.
Прямая в пространстве – понятие
Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.
Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.
Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:
- через две точки можно провести единственную прямую;
- если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.
Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:
Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.
Взаимное расположение прямых в пространстве
Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .
Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.
Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.
Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.
Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.
После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.
Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.
Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.
Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.
Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.
Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.
Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.
Способы задания прямой в пространстве
Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.
Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.
При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.
Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.
Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.
Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.
Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.
В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Признак скрещивающихся прямых.
Угол между скрещивающимися прямыми
 Взаимное расположение двух прямых в пространстве |
| Признак скрещивающихся прямых |
| Угол между скрещивающимися прямыми |
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.
| Фигура | Рисунок | Определение |
| Две пересекающиеся прямые |  | Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку. |
| Две параллельные прямые |  | Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек |
| Две скрещивающиеся прямые |  | Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые. |
| Две пересекающиеся прямые |
|
Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.
С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.
| Фигура | Рисунок | Тип утверждения и формулировка |
| Две различные точки |  | Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия. |
| Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой |  | Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой. |
| Две пересекающиеся прямые |  | Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. |
| Две параллельные прямые |  | Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. |
| Две различные точки |
|
Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Признак скрещивающихся прямых
Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).
Доказательство . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».
Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.
Угол между скрещивающимися прямыми
На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .
Для того, чтобы найти угол между прямыми AB1 и BC1 , проведем в кубе диагональ боковой грани AD1 и диагональ верхнего основания D1B1 (рис. 4).
Замечание . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».
Взаимное расположение прямых в пространстве
Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:
– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;
– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;
– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями
где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:
– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;
– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;
– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;
– прямые и совпадают векторы коллинеарны.
Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:
Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:
– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;
– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.
– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.
– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.
Расстояние между параллельными прямыми
Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)
где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:
Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.
Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями
где — произвольные точки на прямых и соответственно.
Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.
— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.
Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.
Угол между прямыми
Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми
вычисляется по формуле
Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.
Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:
Полагая по формуле (4.38) получаем:
Острый угол находим по формуле (4.39):
Взаимное расположение прямой и плоскости
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:
– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;
– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;
– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.
Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:
т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:
– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);
– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);
– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).
Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:
– прямая и плоскость пересекаются ;
– прямая и плоскость параллельны
– прямая лежит в плоскости
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то
Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:
Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.
http://www.resolventa.ru/metod/presentsch.htm
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vzaimnoe-raspolozhenie-pryamyh-v-prostranstve