Урок «Взаимное расположение прямой и окружности»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Урок Тема «Касательная к окружности».
Цель урока: изучение различных случаев взаимного расположения прямой и окружности; формирование понятия касательной, точки касания; изучение свойства касательной; развитие навыка решения задач.
Вспомнить, как задаётся окружность, и какие понятия с ней связаны. ü Что такое окружность?
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. ü Понятие радиус?
Радиус окружности — отрезок ,соединяющий центр с какой-либо точкой окружности.
ü Что называется хордой?
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
Хорда , проходящая через центр окружности, называется диаметром.
1. Радиус окружности равен 5 см. Найти расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равную 8 см.
Чтобы решить данную задачу, следует вспомнить, что такое расстояние от точки до прямой? Каким свойством обладает равнобедренный треугольник?
И формулировку теоремы Пифагора.
2. Найти расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности с центром О радиуса r, если а) ОА = 12см, r = 8 см; б) ОА = 6 см, r = 8 см.
Сначала нужно сравнить радиус и отрезок ОА и выяснить, где находится точка А.
Изучение нового материала.
Исследование взаимного расположения прямой и окружности
Первый случай
Вывод: Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности, то окружность и прямая имеют две общие точки. Прямая называется секущей.
Второй случай
Вывод: Если расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая и окружность имеют одну общую точку.
Третий случай
Вывод: Если расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности, то эта прямая и окружность не имеют общих точек.
Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? (Составление опорного конспекта)
Взаимное расположение прямой и окружности, когда они имеют одну общую точку.
Вывод: Прямая называется касательной по отношению к окружности.
Рассмотреть все случаи в тетради!
Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Алгоритм построения касательной к окружности.
Дано: окружность, О — центр, А — лежит на окружности.
Построить касательную к окружности в точке А.
2. От точки А отложим О1А=ОА.
3.Из точек О1 и О проведём окружности, радиусом большим ОА.
4.Через точки пересечения окружностей проведём прямую а. Прямая а будет касательной по определению.
Свойство отрезков касательных: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Обратная теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Закрепление изученного материала.
№631 (а, г, д) — устно
Задача. Даны прямоугольник АВСО, диагональ которого 12 см и угол между диагональю и стороной 30 0 , и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
№ 634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде АВ.
№ 635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найти угол между ними.
№ 637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30 0 . Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Доказать, что треугольник АСD равнобедренный. Смотреть презентацию к уроку.
Выполнить все задания в тетради! Выслать скан-копию или фото. Домашнее задание: Глава VIII § 1 п.68, 69 (стр. 164-168) разобрать, изучить; решить задачи №638, 639.
Выполнить в тетради! Выслать скан-копию или фото.
Взаимное расположение прямых и окружностей заданных уравнениями
Урок «Взаимное расположение прямой и окружности»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Урок Тема «Касательная к окружности».
Цель урока: изучение различных случаев взаимного расположения прямой и окружности; формирование понятия касательной, точки касания; изучение свойства касательной; развитие навыка решения задач.
Вспомнить, как задаётся окружность, и какие понятия с ней связаны. ü Что такое окружность?
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. ü Понятие радиус?
Радиус окружности — отрезок ,соединяющий центр с какой-либо точкой окружности.
ü Что называется хордой?
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.
Хорда , проходящая через центр окружности, называется диаметром.
1. Радиус окружности равен 5 см. Найти расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равную 8 см.
Чтобы решить данную задачу, следует вспомнить, что такое расстояние от точки до прямой? Каким свойством обладает равнобедренный треугольник?
И формулировку теоремы Пифагора.
2. Найти расстояние от точки А до ближайшей к ней точки окружности с центром О радиуса r, если а) ОА = 12см, r = 8 см; б) ОА = 6 см, r = 8 см.
Сначала нужно сравнить радиус и отрезок ОА и выяснить, где находится точка А.
Изучение нового материала.
Исследование взаимного расположения прямой и окружности
Первый случай
Вывод: Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности, то окружность и прямая имеют две общие точки. Прямая называется секущей.
Второй случай
Вывод: Если расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая и окружность имеют одну общую точку.
Третий случай
Вывод: Если расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности, то эта прямая и окружность не имеют общих точек.
Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? (Составление опорного конспекта)
Взаимное расположение прямой и окружности, когда они имеют одну общую точку.
Вывод: Прямая называется касательной по отношению к окружности.
Рассмотреть все случаи в тетради!
Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Алгоритм построения касательной к окружности.
Дано: окружность, О — центр, А — лежит на окружности.
Построить касательную к окружности в точке А.
2. От точки А отложим О1А=ОА.
3.Из точек О1 и О проведём окружности, радиусом большим ОА.
4.Через точки пересечения окружностей проведём прямую а. Прямая а будет касательной по определению.
Свойство отрезков касательных: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Обратная теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Закрепление изученного материала.
№631 (а, г, д) — устно
Задача. Даны прямоугольник АВСО, диагональ которого 12 см и угол между диагональю и стороной 30 0 , и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
№ 634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде АВ.
№ 635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найти угол между ними.
№ 637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30 0 . Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Доказать, что треугольник АСD равнобедренный. Смотреть презентацию к уроку.
Выполнить все задания в тетради! Выслать скан-копию или фото. Домашнее задание: Глава VIII § 1 п.68, 69 (стр. 164-168) разобрать, изучить; решить задачи №638, 639.
Выполнить в тетради! Выслать скан-копию или фото.
Взаимное расположение прямой и окружности
Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.
Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.
  |
Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
 |
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.
Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.
 |
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда \( \small OH > r\). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда \( \small OM > OH>r\). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.
Взаимное расположение прямой и окружности
Разделы: Математика
Дидактическая цель: формирование новых знаний.
- сформировать математические понятия: касательная к окружности, взаимное расположение прямой и окружности, добиться понимания и воспроизведения учащимися данных понятий через выполнение практической работы исследовательского характера.
- создание благоприятного психологического климата на уроке;
- развивать у учащихся познавательный интерес, умение объяснять, обобщать полученные результаты, сравнивать, сопоставлять, делать выводы.
- воспитание средствами математики культуры личности.
- по содержанию – беседа, практическая работа;
- по организации деятельности – индивидуальная, фронтальная.
| Блоки | Этапы урока |
| 1 блок | Организационный момент. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. |
| 2 блок | Постановка цели. |
| 3 блок | Ознакомление с новым материалом. Практическая работа исследовательского характера. |
| 4 блок | Закрепление нового материала через решение задач |
| 5 блок | Рефлексия. Выполнение работы по готовому чертежу. |
| 6 блок | Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания. |
Оборудование:
1. Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений; / Г.В.Дорофеев, М., Просвещение, 2009 г.
2. Маркова В.И. Особенности преподавания геометрии в условиях реализации государственного образовательного стандарта: методические рекомендации, Киров, 2010 г.
3. Атанасян Л.С. Учебник “Геометрия 7-9”.
| 1. Организационный момент. |
Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Сообщает тему урока.
Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”
Отвечают на вопрос учителя.
Организует практическую работу.
Организует работу с учебником.
Выполняют практическую работу, делают вывод.
Работают с учебником, находят вывод и сравнивают со своим.
Работа с учебником: с. 103 № 498, №499.
Решение задач
Выполняют решение задач, комментируют.
Учащиеся обращаются к целям, которые были поставлены, анализируют результаты: что нового узнали, чему научились на уроке
1. Организационный момент. Актуализация знаний.
Учитель сообщает тему урока. Выясняет, какие ассоциации возникают со словом “окружность”.
Чему равен диаметр окружности, если радиус равен 2,4 см?
Чему равен радиус, если диаметр равен 6,8 см?
Учащиеся ставят свои цели на урок, учитель обобщает их и ставит цели урока.
Составляется программа деятельности на уроке.
3. Ознакомление с новым материалом.
1) Работа с моделями: “Покажите на моделях, как могут располагаться прямая и окружность на плоскости”.
Сколько они имеют общих точек?
2) Выполнение практической работы исследовательского характера.
Цель. Установить свойство взаимного расположения прямой и окружности.
Оборудование: окружность, нарисованная на листе бумаги и палочка в качестве прямой, линейка.
- На рисунке (на листе бумаги) установить взаимное расположение окружности и прямой.
- Измерьте радиус окружности R и расстояние от центра окружности до прямой d.
- Результаты исследования запишите в таблицу.
| Рисунок | Взаимное расположение | Число общих точек | Радиус окружности R | Расстояние от центра окружности до прямой d | Сравните R и d |
4. Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности в зависимости от соотношения R и d.
Вывод: Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, прямая касается окружности и имеет одну общую т очку с окружностью. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, окружность и прямая не имеют общих точек. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, прямая пересекает окружность и имеет с ней две общих точки.
5. Первичное осмысление, закрепление через решение задач.
1) Задания учебника: №498, № 499.
2) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:
- 1. R=16cм, d=12см
- 2. R=5см, d=4,2см
- 3. R=7,2дм, d=3,7дм
- 4. R=8 см, d=1,2дм
- 5. R=5 см, d=50мм
а) прямая и окружность не имеют общих точек;
б) прямая является касательной к окружности;
в) прямая пересекает окружность.
- d-расстояние от центра окружности до прямой, R- радиус окружности.
3) Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если диаметр окружности равен 10,3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно 4,15 см; 2 дм; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.
4) Даны окружность с центром О и точка А. Где находится точка А, если радиус окружности равен 7 см, а длина отрезка ОА равна: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.
Чему научились на уроке?
Какую закономерность установили?
Выполнить на карточках следующее задание:
Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью.
Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.
Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.
Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие точки.
7. Подведение итогов. Постановка домашнего задания:
1) проанализировать кластер, составленный в начале урока, доработать его с учетом полученных знаний;
Взаимное расположение прямой и окружности
Выясним количество общих точек прямой и окружности в зависимости от их взаимного расположения. Если прямая l проходит через центр O окружности (Рис.1), то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра окружности.
Пусть прямая не проходит через центр окружности. Проведем перпендикуляр OH к прямой l (Рис.2, Рис.3, Рис.4). Обозначим расстояние от центра окружности до прямой l буквой d. Рассмотрим сколько общих точек будут иметь прямая и окружность в зависимости от соотношения d и r.
|
Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.
В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности: d Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну общую точку.
|
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности: d=r (Рис.3). В этом случае OH=r, т.е. точка H лежит на окружности и является общей точкой прямой l и окружности. Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда расстояние от OM больше расстояния OH=r, поскольку наклонная OM больше перпендикуляра OH к прямой l. Следовательно точка M не лежит на окружности. Получили, что точка H единственная общая точка прямой l и окружности.
Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.
|
Доказательство. Пусть расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:d>r (Рис.4). Тогда \( \small OH > r\). Возьмем на прямой l любую точку M отличной от H. Тогда \( \small OM > OH>r\). Следовательно точка M не лежит на окружности. Таким образом, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общую точку.
http://b4.cooksy.ru/articles/vzaimnoe-raspolozhenie-pryamyh-i-okruzhnostey-zadannyh-uravneniyami
http://matworld.ru/geometry/pryamaya-i-okruzhnost.php