Y 2х2 8х 12 каноническое уравнение

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

76. Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

Y1 = a11x1 + a12x2

Y2 = a12x1 + a22x2

Где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется Каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 — l)(3 — l) – 25 = 0

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17×2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 — l)(8 — l) — 36 = 0

136 — 8l — 17l + l2 – 36 = 0

L2 — 25l + 100 = 0

Итого: — каноническое уравнение эллипса.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

Полагая m1 = 1, получим n1 =

Полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0

Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l1 = -1, l2 = 4.

Для l1 = -1 Для l2 = 4

M1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;

= (1; -0,5) = (1; 2)

Получаем: — каноническое уравнение гиперболы.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите коэффициенты квадратичной формы и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить график : 4 * x ^ 2 + 3 * y ^ 2 — 8 * x + 12y — 32 = 0?

Математика | 10 — 11 классы

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить график : 4 * x ^ 2 + 3 * y ^ 2 — 8 * x + 12y — 32 = 0.

Даю 50 баллов?

Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую :

Даны уравнение кривой второго порядка x ^ 2 + 4y ^ 2 — 6x + 8y + 5 = 0 и уравнение прямой x — 2y — 5 = 0Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду?

Даны уравнение кривой второго порядка x ^ 2 + 4y ^ 2 — 6x + 8y + 5 = 0 и уравнение прямой x — 2y — 5 = 0

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду.

Найти точки пересечения кривой и заданной прямой.

Построить обе линии в системе координат.

Составить уравнение множества точек, равноудаленных от данной точки А(х1, у1) и данной прямой у = в?

Составить уравнение множества точек, равноудаленных от данной точки А(х1, у1) и данной прямой у = в.

Полученное уравнение следует привести к простейшему виду и затем построить кривую.

И нарисовать рисунок.

Привести к каноническому виду уравнение кривой и построить ее x + 2у2 + 12y + 18 = 0?

Привести к каноническому виду уравнение кривой и построить ее x + 2у2 + 12y + 18 = 0.

Определить вид кривой второго порядка и построить ее : 9x ^ 2 + 25y ^ 2 — 225 = 0?

Определить вид кривой второго порядка и построить ее : 9x ^ 2 + 25y ^ 2 — 225 = 0.

Привести уравнение кривой второго порядка f(х ; у) = 0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах + Ву + С = 0?

Привести уравнение кривой второго порядка f(х ; у) = 0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах + Ву + С = 0.

Выполните графическую иллюстрацию полученного решения.

2x ^ 2 — 4x — y + 3 + 0 ; 2x — y — 1 = 0.

Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее?

Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее.

X ^ 2 — 3y ^ 2 + 8x + 18y — 20 = 0 помогите хотя бы выделить полные квадраты, ни в какую не идет(.

Привести уравнение кривой второго порядка f(х ; у) = 0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах + Ву + С = 0?

Привести уравнение кривой второго порядка f(х ; у) = 0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах + Ву + С = 0.

Построить график кривой и прямой.

2x ^ + 4x + y ^ — 2 = 0, 2x + y + 2 = 0.

Пожалуйста помогите решить : Установить какую кривую второго порядка определяет данное уравнение, привести его к нормальному виду и построить кривуюx ^ 2 — 4y ^ 2 + 10x + 24y — 7 = 0?

Пожалуйста помогите решить : Установить какую кривую второго порядка определяет данное уравнение, привести его к нормальному виду и построить кривую

x ^ 2 — 4y ^ 2 + 10x + 24y — 7 = 0.

Нужно определить вид кривой, её параметры, и построить график?

Нужно определить вид кривой, её параметры, и построить график!

Пожалуйста кто чем может, помогите.

Вопрос Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить график : 4 * x ^ 2 + 3 * y ^ 2 — 8 * x + 12y — 32 = 0?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.