Y kx уравнения асимптот гиперболы

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой \(y=\frac\), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac\) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=\frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь \(\color <\frac<1>>\) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Асимптоты графиков функций

Вертикальные асимптоты

Наклонные асимптоты

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

Поиск наклонных асимптот графиков функций

Вертикальные асимптоты

Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

Определение 1. Говорят, что x стремится к x₀ слева и обозначают

Говорят, что x стремится к x₀ справа и обозначают

Определение 2. Прямую

называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с справа, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (с, d) и выполнено соотношение выполнено соотношение

при x → c + 0

называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с слева, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (d, c) и выполнено соотношение выполнено соотношение

при x → c – 0

Пример 1. Прямая

является вертикальной асимптотой графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

Пример 2. Прямая

является вертикальной асимптотой графика функции

при x , стремящемся к 0 справа (рис. 2)

Наклонные асимптоты

Определение 3. Прямую

называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

Определение 4. Прямую

называют горизотальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

называют горизотальной асимптотой графика функции y f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Замечание . Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b, когда угловой коэффициент прямой k = 0 .

Пример 3. Прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции

как при x , стремящемся к , так и при x , стремящемся к (рис. 3)

Пример 4. Прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции

при x , стремящемся к (рис. 4)

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Поиск наклонных асимптот графиков функций

Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.

Первая операция. Вычислим предел предел

(1)

Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел предел

(2)

Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

делаем вывод о том, что прямая

является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .

Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).

Первая операция. Вычислим предел предел

(3)

Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел предел

(4)

Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

делаем вывод о том, что прямая

является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .

Пример 5. Найти асимптоты графика функции

(5)

и построить график этой функции.

Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.

Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем

Отсюда вытекает, что прямая

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

При получаем

Отсюда вытекает, что прямая

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

Итак, y’ > 0 при x > 0 , y’ при x y’ = 0 при x = 0 . Точка x = 0 – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку x = 0 меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 0 – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.

Теперь мы уже можем построить график функции (5):

Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот y = x и y =v– x , поскольку справедливо неравенство:

.

Y kx уравнения асимптот гиперболы

Прямые . называются асимптотами гиперболы.

Асимптоты определяют характер гиперболы при удалении от начала координат. Можно доказать, что если точка гиперболы неограниченно удаляется от начала координат, то расстояние от неё до одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты позволяют более точно изображать гиперболу. Для этого берут прямоугольник с вершинами (а, b), (а, —b), (—а, b), (—а, —b) и проводят прямые, продолжающие его диагонали. Уравнения этих прямых: . то есть это и есть асимптоты. Затем рисуют гиперболу, начиная от вершин и приближаясь к асимптоте по мере удаления от начала координат.

Пример 2. Преобразовать уравнение гиперболы . к каноническому виду. Найти полуоси, эксцентриситет, фокусы, уравнения асимптот и директрис. Сделать чертёж.

Решение. Группируем слагаемые, содержащие одну переменную:

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Сделаем замену переменных:

Геометрически эта замена представляет собой параллельный перенос (или сдвиг) координатных осей. Начало новой системы координат находится в точке x = 4, у = —1. В новой системе гипербола имеет каноническое уравнение: