Явление переноса газа уравнение переноса

— средняя скорость теплового движения; τ — среднее время между двумя столкновениями.

Пусть σ — эффективное сечение молекулы, т. е. полное поперечное сечение рассеяния, характеризующее столкновение между двумя молекулами (рис. 3.3.2).

Рис. 3.3.1. К нахождению средней длины свободного пробега молекул в газе

Рис. 3.3.2. Эффективное сечение молекулы

σ = πd 2 — площадь, в которую не может проникнуть центр любой другой молекулы. Здесь d = 2r — диаметр молекулы.

За одну секунду молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости. За ту же секунду молекула претерпевает в среднем столкновений:

Таким образом, при заданной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению Р. С ростом давления уменьшается, поскольку возрастает число молекул и их соударений. Например, при d = 3 А, Р = 1 атм, Т = 300 К, средняя длина свободного пробега = 10 -7 м, а среднее число столкновений = 10 10

3.3.2. Явления переноса в газах

Особые необратимые процессы, возникающие в термодинамически неравновесных системах, называются явлениями переноса. К ним относятся диффузия (перенос массы); теплопроводность (перенос энергии) и вязкость, или внутреннее трение (перенос импульса).

Диффузия от латинского diffusio — распространение, растекание — взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга

Общее уравнение явлений переноса. Явления переноса. Общее уравнение явлений переноса в газах.

Равновесное состояние газа в молекулярно-кинетической теории рассматривается как состояние полной хаотичности движения молекул, распределение которых по скоростям подчиняется закону Максвелла. Любое неравновесное состояние газа всегда связано с нарушением полной хаотичности движения молекул и отклонениями от максвелловского распределения их по скоростям. Именно отклонениями от закона Максвелла объясняется направленный перенос энергии, импульса и массы в газах. В каждом конкретном случае внешнего воздействия на газ, выведшего его из равновесия, необходимо найти распределение, заменяющее максвелловское, и лишь затем можно перейти к изучению закономерностей явлений переноса, вызываемого этим воздействием. Этот строгий путь исследования явлений переноса приводит к значительным математическим трудностям, которые до конца не преодолены до сих пор. Поэтому мы рассмотрим только основные закономерности явлений переноса и их приближенное качественное обоснование.

Ввиду хаотичности теплового движения молекул приближенно можно считать, что молекулы движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных осей. При этом вдоль каждой оси движется 1/3 всех молекул газа. Движение молекул вдоль каждой оси в обоих направлениях равновероятно. Поэтому в положительном направлении каждой из осей движется 1/6 часть общего числа молекул. Будем также считать, что все молекулы имеют одну и ту же скорость, равную их средней скорости .

Выберем площадку dS, расположенную перпендикулярно оси X. Тогда число частиц, проходящих через эту площадку за время dt

, (4.4.1)

где n – число частиц в единице объема.

В явлениях переноса каждая молекула при своем хаотическом движении переносит некоторую физическую величину. В случае теплопроводности переносимой величиной является кинетическая энергия молекулы, которая переносится оттуда, где она больше (выше температура), туда, где она меньше (ниже температура), в случае вязкого трения молекула переносит импульс, т. е. величину, равную произведению массы молекулы на гидродинамическую скорость направленного движения слоя газа или жидкости, и, наконец, в явлении диффузии переносимой величиной служит концентрация диффундирующей компоненты, рассчитанная на одну молекулу.

Будем считать, что переносимая величина , отнесенная к одной молекуле, изменяется только в направлении оси X. Значение этой величины изменяется при столкновениях молекул и сохраняется постоянной между соударениями, т. е. на длине свободного пробега . Расположим площадку dS, перпендикулярно оси X, в точке x (рис. 60).

Молекулы, пересекающие выделенную площадку слева направо, переносят через нее то значение величины , которое они имели после последнего столкновения перед площадкой, т. е. . Поток этой величины, согласно (4.4.1)

. (4.4.2)

Аналогично, поток величины справа налево

. (4.4.3)

Результирующий поток в направлении оси X

. (4.4.4)

Если бы переносимая величина была постоянна по всему объему, занимаемому газом (равновесие), то потоки этой величины через площадку слева направо и справа налево были бы одинаковы, и результирующий поток был бы равен нулю. Поэтому, чтобы выявить сущность явлений переноса, берется разность соответствующих потоков, которая определяет поток в направлении оси X.

Разложим функции , стоящие в квадратной скобке выражения (4.4.4), в ряд по степеням малой величины в точке x:

, (4.4.5)

. (4.4.6)

Подставим разложения (4.4.5–4.4.6) в (4.4.4). В результате будем иметь

. (4.4.7)

Соотношение (4.4.7) является общим уравнением переноса физической величины и имеет такой же вид, как и в строгой теории, кроме множителя 1/3, который в строгой теории имеет значение близкое к 1/3.

60. Теплопроводность. Уравнение теплопроводности. Основной закон теплопроводности – закон Фурье. Вычисление и экспериментальное определение коэффициента теплопроводности.

Явление теплопроводности наблюдается всегда, если в веществе имеется разность температур, обусловленная какими-либо внешними причинами. С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе тепла от горячего слоя к холодному и продолжающемуся до тех пор, пока температура во всем теле не выровняется. В молекулярно-кинетической же теории процесс теплопроводности объясняется тем, что молекулы из горячего слоя, где они имеют большую среднюю кинетическую энергию, проникая в холодную область, передают при столкновениях молекулам этой области часть их кинетической энергии.

Пусть изменение температуры вещества происходит вдоль оси X, в то время как в плоскости, перпендикулярной этой оси, температура постоянна. Опытным путем Ж. Фурье установил закон, согласно которому количество тепла, переносимое за время dt через площадку dS, перпендикулярную оси X, пропорционально величине площадки, времени переноса и градиенту dT/dx температуры:

, (4.5.1)

где – коэффициент теплопроводности, который, как видно из закона Ж. Фурье, имеет в системе СИ размерность Дж/(м∙с∙K) = Вт/(м∙K), и численно равен количеству тепла, переносимого в единицу времени через единичную площадку при градиенте температуры, равном единице. Знак “минус” означает, что тепло переносится от мест более горячих к более холодным.

Закон Ж. Фурье справедлив для веществ, находящихся в любых агрегатных состояниях.

Введем в рассмотрение плотность потока тепла

, (4.5.2)

т. е. величина q равна количеству тепла, проходимого через единичную площадку в единицу времени. С учетом (4.5.2) закон Фурье примет вид

. (4.5.3)

Если нагреть некоторую часть тела, то начнется необратимый процесс теплопроводности. При этом, если зафиксировать координату x в теле, то температура в этой точке будет, очевидно, изменяться со временем, достигая, в конце концов, равновесной температуры. Поэтому температура T является не только функцией координаты x, но и времени t, т. е. T = T(x, t). Тогда, как видно из (4.5.3), поток q будет зависеть от x и t, т. е. q = q(x, t). Процесс теплопроводности, при котором температура и поток являются функциями времени, называется нестационарным.

Выделим в теле, где происходит одномерный (вдоль оси X) нестационарный процесс теплопроводности, элементарный параллелепипед с площадью основания dS и высотой dx (рис. 61).

Количество тепла, входящее в параллелепипед за время dt через основание с координатой x,

, (4.5.4)

а уходящее через основание с координатой x+dx за то же время

. (4.5.5)

Такимобразом, тепло, поступившее в параллелепипед за время dt,

. (4.5.6)

С другой стороны это тепло можно выразить через теплоемкость тела:

, (4.5.7)

где dm и dT – масса и приращение температуры вещества, заключенного в параллелепипеде, соответственно; и – удельная теплоемкость и плотность вещества.

Разложим функцию q(x+dx, t) в ряд по степеням dx в точке x:

. (4.5.8)

Из выражений (4.5.6–4.5.8) находим

. (4.5.9)

Подставляя в последнее уравнение вместо q(x, t) его выражение (4.5.3), получим

. (4.5.10)

Если коэффициент теплопроводности не зависит от x (однородное вещество), то уравнение (4.5.10) примет вид:

. (4.5.11)

где – коэффициент температуропроводности.

Уравнения (4.5.10–4.5.11) носят название дифференциальных уравнений теплопроводности Ж. Фурье. Искомой функцией в этих уравнениях является распределение температуры T(x, t) по пространству и во времени.

Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества и имеет размерность . В нестационарных тепловых процессах коэффициент a характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность вещества проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности a есть мера теплоинерционных свойств вещества. В самом деле, из уравнения (4.5.11) следует, что изменение температуры в единицу времени для любой точки вещества пропорционально величине a. Поэтому при прочих одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того вещества, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Сама же величина a тем больше, чем больше тепла способно пропустить вещество в единицу времени через единичную площадку при единичном градиенте температуры (т. е. чем больше ) и чем меньше плотность и теплоемкость вещества. Из опыта известно (см. табл. 4.5.1), что газы имеют малый, а металлы большой коэффициент температуропроводности. Однако для тех и других веществ он является весьма малой величиной, что свидетельствует о медленности процесса теплопроводности.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 140 ; Нарушение авторских прав

Явления переноса в газах

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рассмотрим ряд процессов, которые возникают в газе, если равновесие было нарушено. При этом сделаем следующие предположения: нарушения равновесия невелики, и если существует внешнее воздействие на систему, то неравновесное состояние может длиться бесконечно долго, оно не изменяется, процессы в таком газе будут стационарными.

Явления переноса обусловлены стремлением системы достигнуть равновесного состояния. Время, которое будет потрачено на достижение равновесного состояния, называется временем релаксации.

Нарушение равновесия в газе ведет к переносу из одних частей системы в другие вещества, энергии, заряда, импульса либо какой о другой величины. Интенсивность процесса переноса таковой является поток этой величины. Потоком физической величины называется количество этой величины, проходящей в единицу времени через некоторую воображаемую поверхность. Причем поверхность может иметь любую форму, быть замкнутой или незамкнутой. Поток величины — скаляр, причем он считается положительным в зависимости от произвольного выбора.

Пусть G характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Это может быть энергия, импульс, концентрация и т.д. Если в равновесном состоянии G постоянно по объему, то при наличии градиента G имеется движение G в направлении его уменьшения. Пусть ось Ox направлена вдоль градиента G. Тогда полный поток $I_G$ в положительном направлении оси Ox в точке x имеет вид:

где $\left\langle \lambda \right\rangle$ — длина свободного пробега молекулы, $n_0$ концентрация частиц в веществе, $\left\langle v\right\rangle \ $- средняя скорость движения молекул.

Уравнение (1) является основным уравнением процессов переноса количества G.

Три вида процесса переноса

В молекулярной физике рассматривают три вида процесса переноса: диффузию, теплопроводность, вязкость.

В состоянии равновесия плотность каждой компоненты газа во всех точках системы одинакова. Перенос вещества (массы), который направлен на выравнивание концентрации газа, называют диффузией. Вообще говоря, диффузия может наблюдаться во всех состояниях вещества (и газах, и жидкостях, и твердых телах).

Готовые работы на аналогичную тему

Пусть молекулы в некотором объеме газа распределены неравномерно. Неравновесную концентрацию обозначим $n_1(x)$. В уравнении (1) G — характеристика переносимого вещества, следовательно, в нашем случае:

где $n_0$ — равновесная концентрация. Тогда уравнение (1) примет вид:

где $D=\frac<1><3>\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle $ — коэффициент диффузии. Уравнение (3) называется уравнением Фика. При постоянной температуре коэффициент диффузии обратно пропорционален давлению:

По сути, закон Фика описывает процесс самодиффузии. Мы имеем дело с молекулами одного газа. Если имеется два и более сортов молекул, процесс диффузии значительно усложняется.

Уравнение Фурье

В состоянии термодинамического равновесия температура T во всех точках системы одинакова. Если температура в какой-то точке газа отличается температуры в другой точке системы, в системе возникает движение теплоты в таких направлениях, чтобы сделать температуру всех частей системы одинаковой. Связанный с этим движением перенос тепла называют теплопроводностью. В случае с теплопроводностью мы имеем дела с переносом энергии и G уравнения (1), в этом случае средняя энергия кинетической энергии молекулы:

где $i$- число степеней свободы молекулы, k-постоянная Больцмана, T — термодинамическая температура, $R$ универсальная газовая постоянная, $c_<\mu V>$ молярная теплоемкость газа в изохорном процессе. При этом поток теплоты $I_q,\ $ если следовать уравнению (1) примет вид:

где $\chi =\frac<1><3>n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac>=\frac<1><3>n_0\cdot m\cdot \left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \frac>=\frac<1><3>\rho c_V\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle $,

$\rho $ — плотность газа,

$c_V$ — удельная теплоемкость газа при изохорном процессе,

$\chi $- коэффициент теплопроводности.

Уравнение (7) называется уравнением Фурье для теплопроводности (или законом Фурье). Теплопроводность не зависит от давления.

В равновесном состоянии разные части фазы газа покоятся друг относительно друга. При относительном движении фаз вещества друг относительно друга возникают силы трения или вязкость. Эти силы стремятся уменьшить скорость движения фаз. Явление вязкости объясняется тем, что в результате теплового движения молекулы газа перелетают из одного движущегося слоя в другой. Переносят свой импульс. В результате обмена импульсами молекулы, имеющие большую скорость тормозятся, а медленно движущееся молекулы, разгоняются. Соответственно выравнивается скорость движения слоев. Так, мы имеем дело с переносом импульса. В качестве G выступит выражение:

где $v$- скорость движения слоя газа. В этом случае уравнение (1) принимает вид:

\[I_v=-\frac<1><3>n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle m\frac<\partial v><\partial x>=-\eta \frac<\partial v><\partial x>=\tau =\frac><\triangle S>(9),\]

где $\eta =\frac<1><3>n_0\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle m=\frac<1><3>\rho \left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle $, $\rho $ — плотность газа, $\tau $ — сила трения, действующая на единицу трущихся поверхностей слоев газа, $\eta $ — динамическая вязкость. Выражение для динамической вязкости было получено Дж. Максвеллом. Динамическая вязкость не зависит от давления и $\eta \sim \sqrt,\ $ если не учитывать уменьшение поперечного сечения молекул с ростом температуры. Наряду с динамической вязкостью используют понятие кинематической вязкости $\nu $:

Задание: Идеальный газ находится в пространстве между двумя длинными коаксиальными цилиндрами$.\ $Средний радиус цилиндров R, $R_2-R_1=\triangle R$, причем $\Delta $R $

Выделим между имеющимися цилиндрами гипотетический цилиндрический слой газа радиуса R ($R_1 \[<\overrightarrow>_

=\left[\overrightarrow>\overrightarrow\right]\ \left(1.1\right).\]

Так как $<\overrightarrow>_

\bot \overrightarrow$, то

\[M_

=F_R\left(1.2\right).\]

Из основного уравнения, для потока вязкости:

\[-\eta \frac<\partial v><\partial x>=\frac><\triangle S>\ (1.3)\]

Запишем модуль силы трения между слоями газа:

\[\left|F_

\right|=\eta \frac<\partial v><\partial x>\triangle S(1.4)\]

Так как скорость вращения по условиям задачи небольшая, и зная площадь поверхность цилиндрического слоя (помним, что цилиндры длинные, площадями оснований пренебрегаем), запишем, что:

\[\left|F_

\right|=\eta \frac<\triangle R>2\pi RL\ \left(1.5\right).\]

Найдем момент сил трения из (1.2) и (1.5):

\[M_

=\eta \frac<\triangle R>2\pi RLR=2\pi \eta \frac<\triangle R>L\ \ \left(1.6\right).\]

Тогда момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра равен:

\[>’=\frac>=2\pi \eta \frac^3><\triangle R>\approx 2\pi \eta \frac<\triangle R>\ (1.7)\]

Ответ: Момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра равен $\approx 2\pi \eta \frac<\triangle R>$.

Задание: Пусть температура газа постоянна. Газ диффундирует. Как изменяется коэффициент диффузии с ростом давления?

Запишем выражение, определяющее коэффициент диффузии:

\[D=\frac<1><3>\left\langle v\right\rangle \left\langle \lambda \right\rangle \left(2.1\right)\]

Средняя скорость молекул идеального газа определяется формулой:

Из нее видно, что при постоянной температуре скорость постоянна.

\[\left\langle \lambda \right\rangle =\frac<1><\sqrt<2>n\pi d^2>=\frac<\sqrt<2>p\pi d^2>\sim \frac<1>

\to D\sim \frac<1>

\ \left(2.3\right).\]

Ответ: С ростом давления коэффициент диффузии уменьшается, при постоянной температуре обратно пропорционально давлению.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 18 12 2021

источники:

http://lektsii.com/2-17222.html

http://spravochnick.ru/fizika/molekulyarnaya_fizika/yavleniya_perenosa_v_gazah/

Читайте также:

Агранулоцитоз, этиология, патогенез, виды, картина крови, клинические проявления. Панмиелофтиз, картина крови.
Адиабатный процесс. Уравнение адиабаты идеального газа. Работа идеального газа при адиабатическом изменении его объема.
Алгоритм выявления признаков преднамеренного банкротства
Алкоголизм как форма проявления девиантного поведения
Аудиторская выборка как метод выявления существенных искажений в учете и отчетности.
Бактериальный шок: 1) определение, этиология, клинические проявления 2) наиболее характерные входные ворота 3) факторы прорыва 4) патологическая анатомия 5) причины смерти.
Бедность и нищета как социальные явления. Социальная защита малообеспеченных слоев населения
Бюджетная линия потребителя. Наклон бюджетной линии. Понятие бюджетного множества. Уравнение бюджетной линии.
В настоящее время в молодежной среде нашей страны наблюдается ряд негативных тенденций и явлений.
В случае выявления у ребенка инфекционного заболевания помещение, где находится больной, предметы и мебель подвергают обеззараживанию (дезинфекции).