Разностные схемы для уравнения теплопроводности
3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области <0 n i = y(xi, tn),
|
Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать, обозначая
| |
| |
Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (xi, tn), введем шаблон, изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (xi±1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Производную ¶u/¶t заменим в точке (xi, tn) разностным отношением y n t, i, а производную ¶ 2 u/¶ 2 x – второй разностной производной y n xx, i. Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией j n i, в качестве j n i можно взять одно из следующих выражений:
|
В результате получим разносное уравнение
|
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (xi, tn) с первым порядком по t и вторым порядком по h при условии, что разность j n i – f(xi, tn) имеет тот же порядок малости.
Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид
|
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями y 0 i = u0(xi), i = 0, 1,…, N. Если решение y n i, i = 0, 1,…, N, на слое n уже найдено, то решение yi n+1 на слое n+1 находится по явной формуле
|
а значения доопределяются из граничных
условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yi n+1 при заданных yi n требуется решать систему уравнений.
Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zi n = yi n – u(xi, tn) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) yi n = zi n + u(xi, tn), получим уравнение для погрешности
|
|
где – погрешность аппроксимации разностной
схемы (6) на решении задачи (1) – (3), y i n = O( t + h 2 ). Можно оценить решение zi n уравнения (8) через правую часть yi n и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по t и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии t £ 0,5h 2 , означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым.
|
т.е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид
yj n ( j ) = q n e ijh j , (10)
где i – мнимая единица, j – любое действительное число и q – число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e ijh j , получим
|
|
|
Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого j множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n®¥. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же |q| £ 1 для всех действительных j, то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.
Для уравнения (9) неравенство |q| £ 1 выполняется согласно (11) при всех j тогда и только тогда, когда g £ 0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия t £ 0,5h 2 . Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) возможно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид t/h 2 £ 0,5. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h = 10 -2 . Тогда шаг t не должен превосходить 0,5 * 10 -4 , и для того чтобы вычислить решение yj n при t = 1, надо взять число шагов по времени n = t -1 ³ 2 * 10 4 , т.е. провести не менее 2 * 10 4 вычислений по формулам (7).
3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (xi, tn), (xi ± 1 , tn+1), (xi, tn+1) и имеющая вид
|
Здесь j n i = f(xi, tn+1) + O( t + h 2 ). Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с n = 1. Однако, теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения y i n+1 по известным yi n требуется решить систему уравнений
|
где g = t /h 2 , Fi n = yi n + t j i n . Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.
Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения
|
имеющие вид (10). Тогда получим
|
следовательно, |q| £ 1 при любых j , t , h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т.е. устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг t слишком малым, можно взять, например, t = h = 10 -2 . Величина шагов сетки t , h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости.
Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема
для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке.
Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему
|
При s = 0 получим отсюда явную схему, при s = 1 – чисто неявную схему и при s = 0,5 – симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде yi n = u(xi, tn) + zi n , где u(xi, tn) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений
|
i = 1, 2,…, N – 1, n = 0, 1,…, K – 1,
Сеточная функция yi n , входящая в правую часть уравнения (16) и равная
(17)
называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции yi n по степеням h и t. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для yi n , по формуле Тейлора в точке (xi, tn + 0,5t). Учитывая разложения
|
|
Отсюда, проводя разложение в точке (xi, tn+1/2) и обозначая u = u (xi, tn+1/2), будем иметь
|
и, перегруппировывая слагаемые, получим, что
|
Учитывая уравнение (1) u’’ – u = – f и следствие из него u IV – u’’ = –f’’, окончательно можно записать, что
|
Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и четвертый – по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если
|
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и при j i n º 0 в виде (10), то получим
|
и |q| £ 1 при всех j, если
|
Отсюда видно, в частности, что все схемы с s ³ 0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (s = s*) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.
При s ¹ 0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения yi n+1 по заданным yi n требуется решать систему уравнений
|
где
Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при s ¹ 0 сводятся к неравенству
|1 + 2 s g | ³ 2 | s | g
и выполнены при s ³ – 1/(4g). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.
3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами
|
где r (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям
|
Дифференциальное выражение при каждом
фиксированном t аппроксимируем в точке (xi, t) так же, как и в стационарном случае, разностным отношением
|
где разностный коэффициент теплопроводности a(xi, t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации
|
Наиболее употребительны следующие выражения для a(xi, t):
|
Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид
|
Здесь в качестве t можно взять любое значение t Î [tn, tn+1], например t = tn + 0,5 t. Если в уравнении (24) t = tn + 0,5 t , s = 0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по t и по h. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй – по h.
При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с s = 0 и f(xi, t) º 0, т.е. схему
|
Предположим, что коэффициенты r (xi, t), a(xi, t) – постоянные, r (xi, t) º r = const, a(xi, t) º a = const. Тогда уравнение (25) можно записать в виде
|
или
Из п.2 известно, что последнее уравнение устойчиво при t ’ £ 0,5h 2 , т.е. при
|
Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(xi, t), r (xi, t), т.е. если при всех x, t выполнены неравенства
|
Если известно, что 0 0, то неравенство (27) будет выполнено при
|
Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2.
Если параметр s ³ 0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности
|
В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно yi n+2 , i = 1, 2,…, N – 1, имеет вид
|
где ai = 0,5 (k(y n i) + k(y n i-1)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй – по h. Решение yi n+1 , i = 1, 2,…, N – 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде
|
Часто используется нелинейная схема
|
Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой:
Здесь s – номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для yi n+1 выбирается yi n . Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) ³ c1 > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации. Значения yi (S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29).
Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений
|
из которой находятся промежуточные значения yi n+1/2 , i = 0, 1,…, N. Затем на втором этапе используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = yi n+1/2 , т.е. схема
Явная разностная схема для уравнения теплопроводности шаблон
11.2.1. Явная схема Эйлера
Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейному уравнениям.
Построение разностной схемы
Используем для решения уравнения теплопроводности шаблон, изображенный на рис. 11.6. Для дискретизации второй производной по пространственной координате необходимо использовать три последовательных узла, в то время как для разностной записи первой производной по времени достаточно двух узлов. Записывая на основании данного шаблона дискретное представление для (i, k) -го узла, получим разностное уравнение:
Приведем в разностной схеме (11.8) подобные слагаемые, перенеся в правую часть значения сеточной функции с индексом k (как часто говорят, с предыдущего слоя по времени), а в левую — с индексом k+i (т. е. со следующего временного слоя). Кроме этого, введем коэффициент с, который будет характеризовать отношение шагов разностной схемы по времени и пространству
Несколько забегая вперед, заметим, что значение
параметра с, называемого коэффициентом Куранта, имеет большое значение для анализа устойчивости разностной схемы. С учетом этих замечаний, разностная схема (11.8) запишется в виде:
Рис. 11.6. Шаблон аппроксимации явной схемы для уравнения теплопроводности
Множители для каждого из значений сеточной функции в узлах шаблона, соответствующие разностному уравнению (11.9), приведены рядом с каждой точкой шаблона на рис. 11.6. Фактически геометрия шаблона и эти множители задают построенную нами разностную схему.
Несложно убедиться в том, что для получения замкнутой системы разностных алгебраических уравнений систему (11.9) необходимо дополнить дискретным представлением начального и граничных условий (11.6) и (11.7). Тогда число неизвестных будет в точности равно числу уравнений, и процесс формирования разностной схемы будет окончательно завершен.
Важно подчеркнуть, что возможная нелинейность полученной системы алгебраических уравнений определяется зависимостями от температуры функций D(u) и ф (u) , т. е. как коэффициент диффузии, так и источник тепла могут быть функциями сеточной функции ui,k.
Если присмотреться к разностным уравнениям (11.9) повнимательнее, то можно сразу предложить несложный алгоритм реализации этой разностной схемы. Действительно, каждое неизвестное значение сеточной функции со следующего временного слоя, т. е. левая часть соотношения (11.9) явно выражается через три ее значения с предыдущего слоя (правая часть), которые уже известны. Таким образом, в случае уравнения теплопроводности нам очень повезло. Для расчета первого слоя по времени следует попросту подставить в (11.9) начальное условие (известные значения и с нулевого слоя в узлах сетки), для расчета второго слоя достаточно использовать вычисленный таким образом набор и с первого слоя и т. д. Из-за того что разностная схема сводится к такой явной подстановке, ее и называют явной, а благодаря пересчету значений с текущего слоя через ранее вычисленные слои — схемой бегущего счета.
Сделанные замечания относительно реализации явной схемы для уравнения диффузии тепла сразу определяют алгоритм ее программирования в Mathcad. Для решения задачи нужно аккуратно ввести в листинг соответствующие формулы при помощи элементов программирования.
Решение системы разностных уравнений (11.9) для модели без источников тепла, т.е. ф (x,T,t)=0 и постоянного коэффициента диффузии D=const приведено в листинге 11.1. В его первых трех строках заданы шаги по временной и пространственной переменным t и А , а также коэффициент диффузии о, равный единице. В следующих двух строках заданы начальные (нагретый центр области) и граничные (постоянная температура на краях) условия соответственно. Затем приводится возможное программное решение разностной схемы, причем функция пользователя v(t) задает вектор распределения искомой температуры в каждый момент времени (иными словами, на каждом слое), задаваемый целым числом t .
Листинг 11.1. Явная схема для линейного уравнения теплопроводности
Начальное распределение температуры вдоль расчетной области и решение для двух моментов времени показано на рис. 11.7 сплошной, пунктирной и штриховой линиями соответственно. Физически такое поведение вполне естественно — с течением времени тепло из более нагретой области перетекает в менее нагретую, а зона изначально высокой температуры остывает и размывается.
Рис. 11.7. Решение линейного уравнения теплопроводности (продолжение листинга 11.1)
Несколько забегая вперед, заметим, что показанное на рис. 11.7 решение и соответствует коэффициенту Куранта С =0.4. Попробуйте осуществить расчет с увеличенным временным шагом, чтобы коэффициент с был больше 1, и посмотрите, что из этого получится (такой расчет и его объяснение приведены ниже в разд. «Устойчивость»).
Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например, с нелинейным источником тепла ф (u)=10 3 (u-u 3 ) . Заметим, что в листинге 11.1 мы предусмотрительно определили коэффициент диффузии и источник тепла в виде пользовательских функций, зависящих от аргумента и, т. е. от температуры. Если бы мы собирались моделировать явную зависимость их от координат, то следовало бы ввести в пользовательскую функцию в качестве аргумента переменную х, как это сделано для источника тепла ф . Поэтому нет ничего проще замены определения этих функций с констант D(U)=1 и ф(х,u)=о на новые функции, которые станут описывать другие модели диффузии тепла. Начнем с того, что поменяем четвертую строку листинга 11.1 на ф(х,и)=ю3-(и-и3), не изменяя пока постоянного значения коэффициента диффузии.
С физической точки зрения, зависимость коэффициента диффузии и функции источника тепла от температуры означает, что эти параметры будут меняться от точки к точке среды, определяясь локальными значениями текущей температуры в этих точках. Ввод ненулевого источника тепла означает, что среда получает определенное количество тепла, тем большее, чем больше локальная температура. Можно догадаться, что введение такой зависимости может моделировать, в частности, горение среды.
Если осуществить расчеты с упомянутым источником (имеющим кубическую нелинейность), то получится очень интересное решение уравнения теплопроводности, имеющее профиль тепловых фронтов. С течением времени граница раздела высокой и низкой температуры распространяется в обе стороны от зоны первичного нагрева, оставаясь весьма четко выделенной (рис. 11.8).
Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять квадратичный коэффициент диффузии D(x,u)=u 2 (что с учетом его умножения на неизвестные функции создаст кубическую нелинейность уравнения), а также ф(х,u)=10 3 -u 3 -5 , то вы сможете наблюдать совсем иной режим горения среды. В отличие от рассмотренного эффекта распространения тепловых фронтов, горение оказывается локализованным в области первичного нагрева среды, причем температура в центре нагрева со временем возрастает до бесконечной величины (рис. 11.9). Такое решение описывает так называемый режим горения «с обострением».
Рис. 11.8. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником (тепловой фронт)
Рис. 11.9. Решение уравнения теплопроводности с нелинейным источником и коэффициентом диффузии (режим локализации горения)
Читателю предлагается поэкспериментировать с этим и другими нелинейными вариантами уравнения теплопроводности. Существенно, что такие интересные результаты удается получить лишь численно, а в Mathcad только с применением элементов программирования.
Как мы убедились, явная разностная схема Эйлера дает вполне разумные результаты и вполне может использоваться для практического моделирования задач, связанных с решением уравнений в частных производных. Однако теперь пришло время сказать об очень важной характеристике разностных схем, которая называется их устойчивостью. Не вдаваясь в детали, заметим, что производить расчеты можно только при помощи устойчивых разностных схем, а чтобы пояснить это понятие, обратимся вновь к листингу 11.1, реализующему явную схему для линейного уравнения диффузии.
Слегка изменим соотношение шагов по времени и пространственной координате, произведя расчеты сначала с t=0.0005 (эти результаты показаны на рис. 11.7 выше), а также с t=0.0010 и t=0.0015. Результат применения разностной схемы Эйлера для t=0.0010ю примерно тот же, что и для меньшего значения т, приведенного на рис. 11.7. А вот следующее (казалось бы, незначительное) увеличение шага по времени приводит к катастрофе (рис. 11.10).
Рис. 11.10. Численное решение уравнения теплопроводности при помощи явной схемы Эйлера (см. листинг 11.1 ниже с временным шагом t=0.0015)
Вместо ожидаемого решения получаются совершенно неожиданные профили температуры, которые быстро осциллируют вдоль пространственной координаты, причем амплитуда и число пиков этих осцилляции быстро увеличиваются от шага к шагу. Совершенно ясно, что полученное решение не имеет ничего общего с физикой моделируемого явления, а является следствием внутренних свойств самой разностной схемы, которые до этого были для нас скрыты.
Характерная «разболтка» решения как раз и является проявлением неустойчивости явной схемы Эйлера для выбранного соотношения шагов по времени и пространству. В теории численных методов показывается, что явная схема Эйлера для уравнения теплопроводности устойчива при значениях коэффициента Куранта, меньших 1, и неустойчива в противоположном случае. Иными словами, существует ограничение для выбора соотношения шагов, заключающееся в том, что для расчета на более частых пространственных сетках необходимо использовать также и малые шаги по времени.
Как несложно убедиться, для t=0.0005 коэффициент Куранта C=0.4, для t=0.0010 он все еще меньше единицы: C=0.8, а для t=0. 0015 решение уже больше единицы: C=1.2, в связи с чем схема становится неустойчивой (см. рис. 11.10).
Контрольная работа: Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа
Название: Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа Добавлен 23:16:39 16 апреля 2011 Похожие работы Просмотров: 16037 Комментариев: 20 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1 |
ti | |||||||||||
0 | 0 | 1.1180 | 1.5388 | 1.1180 | 0.3633 | 0 | 0.3633 | 1.1180 | 1.5388 | 1.1180 | 0 |
0.01 | 0 | 0.6169 | 0.9288 | 0.8621 | 0.6177 | 0.4905 | 0.6177 | 0.8621 | 0.9288 | 0.6169 | 0 |
0.02 | 0 | 0.3942 | 0.6480 | 0.7186 | 0.6800 | 0.6488 | 0.6800 | 0.7186 | 0.6480 | 0.3942 | 0 |
0.03 | 0 | 0.2887 | 0.5067 | 0.6253 | 0.6665 | 0.6733 | 0.6665 | 0.6253 | 0.5067 | 0.2887 | 0 |
0.04 | 0 | 0.2331 | 0.4258 | 0.5560 | 0.6251 | 0.6458 | 0.6251 | 0.5560 | 0.4258 | 0.2331 | 0 |
0.05 | 0 | 0.1995 | 0.3720 | 0.4996 | 0.5754 | 0.6002 | 0.5754 | 0.4996 | 0.3720 | 0.1995 | 0 |
0.06 | 0 | 0.1759 | 0.3315 | 0.4511 | 0.5253 | 0.5504 | 0.5253 | 0.4511 | 0.3315 | 0.1759 | 0 |
0.07 | 0 | 0.1574 | 0.2981 | 0.4082 | 0.4778 | 0.5015 | 0.4778 | 0.4082 | 0.2981 | 0.1574 | 0 |
0.08 | 0 | 0.1419 | 0.2693 | 0.3698 | 0.4338 | 0.4558 | 0.4338 | 0.3698 | 0.2697 | 0.1419 | 0 |
0.09 | 0 | 0.183 | 0.2437 | 0.3351 | 0.3936 | 0.4137 | 0.3936 | 0.3351 | 0.2437 | 0.1283 | 0 |
0.1 | 0 | 0.1161 | 0.2208 | 0.3038 | 0.3570 | 0.3753 | 0.3570 | 0.3038 | 0.2208 | 0.1161 | 0 |
Величины, полученные методом Кранка-Николсона, достаточно близки к
аналитическому решению u(x,t) = sin(πx)e -π2 t + sin(3πx)e -9π2 t , истинные значения для последнего представлены в таблице 2
Максимальная погрешность для данных параметров равна 0,005
Таблица 2 – точные значения u(х i , ti ), при t=0.1
xi | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1 |
t11 | |||||||||||
0.1 | 0 | 0.1153 | 0.2192 | 0.3016 | 0.3544 | 0.3726 | 0.3544 | 0.3016 | 0.2192 | 0.1153 | 0 |
Рисунок 5 –Решениеu= u(х i , ti ), для метода Кранка-Николсона
В зависимости от формы области, краевых условий, коэффициентов исходного уравнения метод конечных разностей имеет погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка относительно шага. В силу этого они успешно используются для разработки программных комплексов автоматизированного проектирования технических объектов.
В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в около граничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций.
Проблемой методов конечных разностей является высокая размерность результирующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в реальных задачах. Поэтому реализация методов конечных разностей в составе САПР требует разработки специальных способов хранения матрицы коэффициентов системы и методов решения последней.
1 Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.
2 Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание.— М. : Вильяме, 2001. — 720 с
3 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.
4 Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.
5 Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.
6 Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1976.
Листинг программы для расчета по методу Кранка-Николсона
http://sistemair.ru/dok/mathcad12/Glava_11/Index06.htm
http://www.bestreferat.ru/referat-213690.html