Зачем решать уравнения в математике
Вот пример прямой задачи: сколько весит кусок сплава, на изготовление которого пошло 0,6 дм³ меди (уд. вес 8,9 кг / дм³) и 0,4 дм³ цинка (уд. вес 7,0 кг/ дм³)? При ее решении мы находим вес взятой меди (8,9 · 0,6 = 5,34 (кг)), затем вес цинка (7,0 · 0,4 = 2,8 (кг)) и, наконец, вес сплава (5,34 + 2,8 = 8,14 (кг)). Выполняемые действия и их последовательность диктуются самим условием задачи.
Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³ весит 8,14 кг. Найти объемные количества меди и цинка в этом сплаве. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально. Для рационализации вычислительного процесса и был создан метод уравнений, который является основным предметом изучения в алгебре. Суть этого метода такова.
1.Искомые величины получают особые наименования. Мы пользуемся для этой цели буквенными знаками (предпочтительно последними буквами латинского алфавита х, у, z, u, v). Условие задачи с помощью этих знаков и знаков действий (+, — и т. д.) «переводится на математический язык», т. е. связи между данными и искомыми величинами мы выражаем не словами и фразами разговорного языка, а математическими знаками. Каждая такая «математическая фраза» и есть уравнение.
2.После этого мы решаем уравнение, т. е. находим значения искомых неизвестных величин. Решение уравнения производится совершенно механически, по общим правилам. Нам не приходится больше учитывать особенности данной задачи; мы только должны применять раз навсегда установленные правила и приемы. (Выводом этих правил и занимается в первую очередь алгебра.)
Таким образом, уравнения нужны для того, чтобы механизировать труд вычислителя. После того как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически (в настоящее время сконструирован ряд таких автоматов). Вся трудность решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.
Что такое уравнение? Как решать уравнения?
Уравнение — одно из краеугольных понятий всей математики. Как школьной, так и высшей. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это очень простое понятие. Ниже сами убедитесь. 🙂 Так что же такое уравнение?
То, что это слово однокоренное со словами «равный», «равенство», возражений, думаю, ни у кого не вызывает.
Уравнение — это два математических выражения, соединённых между собой знаком «=» (равно).
Но… не каких попало. А таких, в которых (хотя бы в одном) содержится неизвестная величина. Или, по-другому, переменная величина. Или, сокращённо, просто «переменная». Которая обычно обозначается буквой «х».
Переменных может быть одна, может быть несколько. В школьной математике чаще всего рассматриваются уравнения с одной переменной. И мы тоже пока что будем рассматривать уравнения с одной переменной. С двумя переменными или более — в специальных уроках.
Что значит решить уравнение?
Переменная, входящая в уравнение, может принимать любые допустимые математикой значения. На то она и переменная. 🙂 При каких-то значениях переменной получается верное числовое равенство, а при каких-то — нет.
Решить уравнение означает найти ВСЕ такие значения переменной, при подстановке которых в исходное уравнение получается верное равенство. Или, более научно, верное тождество. Или доказать, что таких значений переменной не существует.
Что такое верное равенство? Это равенство, не вызывающее сомнений даже у человека, абсолютно не отягощённого глубокими математическими познаниями. Например, 5=5, 0=0, -10=-10. И так далее. 🙂
Значения переменной, при подстановке которых достигается это самое верное равенство, называются очень красиво и научно — корни уравнения.
Корень может быть один, может быть несколько. А может быть и бесконечно много корней — целый интервал или даже вообще вся числовая прямая от –∞ до +∞. Да, такое тоже бывает! Всё от конкретного уравнения зависит.)
А бывает и такое, что нельзя найти такие иксы, которые давали бы нам верное равенство. Принципиально нельзя. По определённым причинам. Нету таких иксов…
В таких случаях обычно говорят, что уравнение не имеет корней.
Для чего нужны уравнения?
Вопрос смешной. Для жизни! В школе, как правило, уравнения нужны для решения текстовых задач. Это, напоминаю, задачи на движение, на работу, на проценты и многие другие.
А во взрослой жизни без уравнений невозможны было бы ответить даже на самые обычные, но жизненно важные вопросы повседневности: какая будет погода завтра, выдержит ли заданную нагрузку здание. Или лифт. Или самолёт. Куда попадёт ракета… И не было бы сейчас среди нас ни синоптиков, ни инженеров, ни бухгалтеров, ни экономистов, ни программистов… За ненадобностью. Внушает?)
Почему это так? А потому, что уравнениями описываются почти все известные человеку природные явления и процессы. Изменение давления и температуры воздуха с высотой, закон всемирного тяготения, размножение бактерий, радиоактивный распад, химические реакции, электричество, спрос и предложение — в основе всего этого лежат математические уравнения! Простые, сложные — всякие. Какое явление или ситуация, такое и уравнение.)
Уравнения — очень мощный и универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.
А какие бывают уравнения?
Уравнений в математике несметное количество. Самых разных видов. Но всё многообразие уравнений можно условно разделить всего на 4 категории:
3. Дробные (или дробно-рациональные),
Разные категории уравнений требуют и разного подхода к их решению: линейные уравнения решаются одним способом, квадратные — другим, дробные — третьим, тригонометрические, логарифмические, показательные и прочие — тоже решаются своими методами.
Прочих уравнений, разумеется, больше всего, да…) Это и иррациональные, и тригонометрические, и показательные, и логарифмические, и многие другие уравнения. И даже дифференциальные уравнения (для студентов), где роль неизвестного играет не число, а функция. Или даже семейство функций. 🙂
В соответствующих уроках мы подробно разберём все эти типы уравнений. А здесь у нас — базовые приёмы и правила.
Называются эти правила — тождественные (или — равносильные) преобразования уравнений. Их всего два. И нигде их не обойти. Так что знакомимся!
Как решать уравнения? Тождественные (равносильные) преобразования уравнений.
Решение любого уравнения заключается в поэтапном преобразовании входящих в него выражений. Но преобразований не абы каких, а таких, чтобы от шага к шагу суть всего уравнения не менялась. Несмотря на то, что после каждого преобразования уравнение будет видоизменяться и, в конечном счёте, станет совсем не похоже на исходное.
Такие преобразования в математике называются равносильными или тождественными. Их довольно много, но среди всего многообразия тождественных преобразований уравнений выделяется два базовых. О них и пойдёт речь в этом уроке. Да-да, всего два! Но — крайне важных! И каждое из них заслуживает отдельного внимания.
Применение этих двух тождественных преобразований в том или ином порядке гарантирует успех в решении 99% уравнений математики. Заманчиво, правда?
Первое тождественное преобразование:
К обеим частям уравнения можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Суть уравнения от этого не изменится.
Это преобразование вы применяете всюду, наивно думая, что переносите какие-то члены из одной части уравнения в другую, меняя знаки. 🙂
Например, такое крутое уравнение:
Тут и думать нечего, перебрасываем тройку вправо, меняя минус на плюс:
А что же происходит в действительности? А на самом деле вы… прибавляете к обеим частям уравнения тройку!
Вот что у вас происходит:
И результат получается тем же самым:
Вот и всё. Слева остаётся чистый икс (чего мы, собственно, и добиваемся), а справа — что уж получится. Но самое главное то, что от прибавления тройки к обеим частям суть всего уравнения не изменилась!
Дело в том, что привычный нам перенос слагаемых из одной части в другую со сменой знака — это просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования.
И зачем нам так глубоко копать? В уравнениях — незачем. Переносите себе спокойно и не парьтесь. Только знаки менять не забывайте.) А вот в неравенствах привычка к переносу может и слегка обескуражить, да…
Это было первое тождественное преобразование. Переходим ко второму.
Второе тождественное преобразование:
Обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.
Это тождественное преобразование мы вы постоянно применяете, когда решаете что-нибудь совсем уж жуткое типа:
Тут каждому ясно, что х=3. А вот как вы получили этот ответ? Подобрали? Угадали?
Чтобы не подбирать и не гадать (мы с вами математики, а не гадалки), нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на четвёрку. Которая нам и мешает.
Эта палка с делением означает, что на четвёрку делятся обе части нашего уравнения. Через дроби эта процедура выглядит так:
Слева четвёрки благополучно сокращаются, остаётся икс в гордом одиночестве. А справа при делении 12 на 4 получается, понятное дело, тройка. 🙂
Звучит невероятно, но эти два (всего два!) простых преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики! Да-да, именно всех, я нисколько не преувеличиваю! От линейных и квадратных в школе до дифференциальных в ВУЗе.)
Ну что, посмотрим на тождественные преобразования уравнений в действии?
Применение тождественных преобразований к решению уравнений.
Начнём с первого тождественного преобразования. Переноса вправо-влево.
Пример для новичков:
Дело нехитрое. Это линейное уравнение. Работаем прямо по заклинанию: «С иксами влево, без иксов — вправо».
Эта мантра — универсальная инструкция по применению первого тождественного преобразования. Вот и смотрим на уравнение. Какое слагаемое с иксом у нас справа? Что? 2х? Не-а!) Справа у нас -2х (минус два икс)! Поэтому при переносе в левую часть минус поменяется на плюс:
1 — х +2х = 3
Полдела сделано, иксы собрали слева. Осталось все числа собрать справа. Слева в уравнении стоит единичка. Опять вопрос — с каким знаком? Ответ «с никаким» не катит.) Слева перед единицей и вправду ничего не написано. А это значит, что перед ней стоит знак «плюс». Так уж в математике повелось: ничего не написано — значит, плюс.)
И поэтому вправо единичка перенесётся уже с минусом:
-х + 2х = 3 — 1
Вот почти и всё. Слева приводим подобные, а справа — считаем. И получаем:
Это было совсем примитивное уравнение.
Теперь пример покруче, для старшеклассников:
Уравнение логарифмическое. Ну и что? Какая разница? Всё равно первым шагом делаем базовое тождественное преобразование («С иксами влево ….»). Для этого слагаемое с иксом (то есть, —log3x) переносим влево. Со сменой знака:
А числовое выражение (log34) переносим вправо. Также со сменой знака, разумеется:
Вот и всё. Справа получилась чистая формула. Кто дружит с логарифмами, тот в уме дорешает уравнение и получит:
Что? Хотите синусы? Пожалуйста, вот вам синусы:
И снова всё то же самое! Выполняем первое тождественное преобразование — переносим sin x влево (с минусом), а -0,25 переносим вправо (с плюсом):
Получили простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, решить которое (для знающих) также не составляет никакого труда.
Видите, насколько универсально первое равносильное преобразование! Встречается везде и всюду и не обойти его никак… Именно поэтому так важно уметь его делать на автомате и без ошибок.
Собственно, ошибиться здесь можно лишь в одном — забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательность никто не отменял, да…)
Ну что, продолжаем наши игры? Развлекаемся теперь со вторым преобразованием!)
Крутяк, прямо скажем.) Ладно, это эмоции…
Смотрим и соображаем: что нам мешает в этом уравнении? Что-что… Да семёрка мешает! Хорошо бы от неё избавиться. Да так, чтобы исходное уравнение не испортить.)
Но как? Перенести вправо? Ээээ… Стоп! Нельзя.) Семёрка с иксом умножением связана. Коэффициент, видите ли.) Нельзя её оторвать от икса и вправо перенести. Вот всё выражение 7х целиком — пожалуйста (вопрос — зачем?). А семёрку отдельно — никак нет.
Самое время про умножение/деление вспомнить! Нам ведь в ответе чистый икс нужен, не так ли? А семёрка — мешает. Вот и делим левую часть на семь. «Очищаем» икс от коэффициента. Так нам надо. Но тогда и правую часть тоже надо поделить на семь: этого уже математика требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 28 на 7 замечательно делится. Получится 4.
Или такое уравнение:
Что здесь нам мешает? Дробь 1/6, не так ли? Вот давайте и избавимся от неё. Безопасно для уравнения.) Как? Ну, можно поступить аналогично — поделить обе части на эту самую 1/6. Но в уме это не очень удобно. Кое-кто и запутается…
Но мы же не только делить, мы ещё и умножать умеем!) Вспоминаем из младших классов, после какого действия у нас пропадает дробь? Правильно! Дробь у нас пропадает при умножении на число, равное (или кратное) её знаменателю. Вот и умножим обе части нашего уравнения на 6. Слева всё равно чистый икс получится, а умножение правой части на 6 — не самая трудная работа.)
Вот и всё.) Умножение обеих частей уравнения на нужное число позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, запросто можно и ошибок наляпать. Короче дорога — меньше ошибок!
Теперь снова на машину времени и — в старшие классы:
Чтобы добраться до икса и тем самым решить это крутое тригонометрическое уравнение, нам надо сначала получить слева чистый косинус, безо всяких коэффициентов. А двойка мешает. 🙂 Вот и делим на 2 всю левую часть:
Но тогда и правую часть тоже придётся разделить на двойку: это уже МАТЕМАТИКЕ надо. Делим:
Получили справа табличное значение косинуса. И теперь уравнение решается за милую душу.)
Вот и вся премудрость. Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука полезная. И при этом не самая сложная. Перенос да умножение/деление. Однако далеко не у всех они получаются с первого раза и без ошибок, ох не у всех… Основные проблемы здесь две.
Проблема первая (для малоопытных):
Иногда ученик думает, что упрощение уравнений делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может уловить и понять это правило: в каких-то примерах начинают с домножения (или деления), в каких-то — с переноса. Где-то три раза переносят и ни разу не домножают…
Например, такое линейное уравнение:
С чего начинать? Можно начать с переноса:
А можно сначала поделить обе части на пятёрку, а затем уж переносить. Тогда сразу числа попроще станут:
Как видим, и так и сяк решать можно. И это — в примитивном примере! Вот и возникает у неопытных учеников вопрос: «Как правильно?»
По-всякому правильно! Кому как удобнее. 🙂 Универсального рецепта здесь нет и быть не может. Математика предлагает вам на выбор два вида преобразований уравнений. А порядок этих самых преобразований зависит исключительно от исходного уравнения, а также от личных предпочтений и привычек решающего.
Проблема вторая (для всех…ну… почти):
Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать скобки. Умножать и делить дроби. Работать со степенями… Короче, в наличии весь набор элементарных действий математики. Со всеми вытекающими…
Обе эти проблемы устраняются только одним способом — практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче. И в итоге не математика командует вами, а вы — математикой. 🙂
Что такое уравнение и в чем его смысл?
Смысл любого уравнения, невероятно прост: левая часть уравнения равна правой части уравнения (простите за тавтологию, но это очень важно)
При этом не имеет никакого значения, сколько у нас известных или неизвестных членов в левой или правой части, какие действия необходимо предпринять, чтобы сделать неизвестные члены известными — на общий смысл уравнения это никак не влияет.
Вообще любое уравнение — это математическая модель чашечных весов (рычажных, равноплечих, коромысловых — названий много), изобретенных в древнем Вавилоне 7000 лет назад или еще раньше. Более того, я даже думаю, что именно чашечные весы, использовавшиеся на древнейших базарах, и стали прообразом уравнений. И если смотреть на любое уравнение не как на непонятный набор цифр и букв, связанный двумя параллельными палочками, а как на чаши весов, то и со всем остальным проблем не будет:
Любое уравнение подобно уравновешенным чашам весов
Так уж получилось, что уравнений в нашей жизни с каждым днем все больше, а понимания, что такое уравнение и в чем его смысл — все меньше. Во всяком случае у меня сложилось такое впечатление при попытке объяснить старшей дочери смысл простейшего математического уравнения типа:
х + 2 = 8 (500.1)
Т.е. в школе конечно же объясняют, что в таких случаях чтобы найти х, нужно из правой части вычесть 2:
х = 8 — 2 (500.3)
Это, конечно же, абсолютно правильное действие, но почему нужно именно вычесть, а не, например, прибавить или разделить, в школьных учебниках объяснения нет. Просто есть правило, которое нужно тупо выучить:
При переносе члена уравнения из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
А как сие правило понимать школьнику 10 лет от роду и в чем его смысл, это вы уж сами думайте-решайте. Более того, выяснилось, что и мои близкие родственники тоже никогда не понимали смысла уравнений, а просто заучивали на память то, что требовалось (и вышеуказанное правило в частности), а уж потом применяли это, как бог на душу положит. Мне такое положение дел не понравилось, поэтому я и решил написать данную статью (растет младший, ему через несколько лет опять придется это объяснять, да и немногочисленным читателям моего сайта это тоже может пригодиться).
Сразу хочу сказать, что хоть я 10 лет учился в школе, но при этом никаких правил и определений, относящихся к техническим дисциплинам, никогда не учил. Т.е. если что-то понятно, то оно и так запомнится, а если что-то не понятно, то какой смысл его зубрить, не понимая смысла, если оно все равно забудется? А кроме того, если мне что-то не понятно, значит, оно мне и не надо (это я только недавно осознал, что если я чего-то не понимал в школе, то это была не моя вина, а вина преподавателей, учебников и вообще системы образования).
Такой подход обеспечивал мне массу свободного времени, которого в детстве так не хватает на всякие игры и развлечения. При этом я участвовал в различных олимпиадах по физике, химии, а одну районную по математике даже выиграл. Но время шло, количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, только увеличивалось и соответственно мои оценки снижались. На первом курсе института количество дисциплин, оперирующих абстрактными понятиями, составляло абсолютное большинство и я конечно же был полным троечником. Но потом, когда мне по ряду причин пришлось самому без помощи лекций и конспектов разбираться с сопроматом и я его как бы понял, дело пошло на лад и закончилось красным дипломом. Впрочем сейчас не об этом, а о том, что в связи с указанной спецификой мои понятия и определения могут значительно отличаться от преподаваемых в школе.
А теперь продолжим
Простейшие уравнения, аналогия с весами
Вообще-то детей приучают сравнивать различные предметы еще в дошкольном возрасте, когда они еще и говорить-то толком не умеют. Начинают как правило с геометрических сравнений. Например, показывают ребенку два кубика и ребенок должен определить, какой кубик больше, а какой меньше. А если они одинаковые, то это и есть равенство по размеру. Затем задача усложняется, ребенку показывают предметы различных форм, различных цветов и выбрать одинаковые предметы ребенку становится все сложнее. Однако мы не будем так сильно усложнять задачу, а остановимся лишь на одном виде равенства — денежно-весовом.
Когда чаши весов находятся на одном горизонтальном уровне (стрелки чашечных весов, показанные на рисунке 500.1 оранжевым и голубым цветом, совпадают, горизонтальный уровень показан черной жирной чертой), то это значит, что на правой чаше весов находится столько же груза, сколько на левой чаше. В простейшем случае это могут быть гири весом в 1 кг:
И тогда мы получаем простейшее уравнение 1 = 1. Впрочем уравнение это только для меня, в математике подобные выражения называют равенством, но суть от этого не меняется. Если мы с левой чаши весов уберем гирю и положим на нее что угодно, хоть яблоки, хоть гвозди, хоть красную икру и при этом чаши весов будут на одном горизонтальном уровне, то это будет по-прежнему означать, что 1 кг любого из указанных продуктов равен 1 кг гирьки, оставшейся на правой части весов. Остается лишь заплатить за этот килограмм согласно установленной продавцом цене. Другое дело, что вам может не нравиться цена, или возникли сомнения в точности весов — но это уже вопросы экономико-правовых отношений, к математике прямого отношения не имеющие.
Конечно же, в те далекие времена, когда появились чашечные весы, все было значительно проще. Во-первых, не было такой меры веса, как килограмм, а были денежные единицы, соответствующие мерам весов, например, таланты, шекели, фунты, гривны и пр. (кстати, меня давно удивляло, что есть фунт — денежная единица и фунт — мера веса, есть гривна — денежная единица, а когда-то гривна была мерой веса, и только недавно, когда я узнал, что талант — это не только денежная единица древних иудеев, упоминаемая в Ветхом завете, но и мера веса, принятая в древнем Вавилоне, все встало на свои места).
Точнее сначала были меры весов, как правило зерна злаковых культур, а уже потом появились деньги, этим мерам весов соответствующие. Например 60 зерен соответствовали одному шекелю (сиклю), 60 шекелей — одной мине, а 60 мин — одному таланту. Поэтому изначально весы использовались для того, чтобы проверить, не являются ли предлагаемые деньги фальшивыми, а уже потом появились гирьки, как эквивалент денег, обвесы и обсчеты, электронные весы и пластиковые карты, но сути дела это никак не меняет.
В те далекие времена продавцу не нужно было долго и подробно объяснять, сколько будет стоить тот или иной товар. Достаточно было положить на одну чашу весов продаваемый товар, а на вторую покупатель клал деньги — очень просто и наглядно и даже знание местного наречия не требуется, можно торговать в любой точке мира. Но вернемся к уравнениям.
Если рассматривать уравнение (500.1) с позиции весов, то оно означает, что на левой чаше весов находится неизвестное количество килограммов и еще 2 килограмма, а на правой чаше — 8 килограммов:
х + 2кг , = 8кг , (500.1.2)
Примечание: В данном случае нижнее подчеркивание символизирует дно чаш весов, при расчетах на бумаге эта линия может больше напоминать дно чаши весов. Более того, математики уже давно придумали специальные символы — скобки, так вот любые скобки можно рассматривать как борта чаш весов, во всяком случае на первом этапе постижения смысла уравнений. Тем не менее нижнее подчеркивание я для большей наглядности оставлю.
Итак, что нам нужно сделать, что узнать неизвестное количество килограммов? Правильно! Снять с левой и с правой части весов по 2 килограмма, тогда чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне, т.е.у нас будет по прежнему равенство:
х + 2кг , — 2кг = 8кг , — 2кг (500.2.2)
х , = 8кг — 2кг , (500.3.2)
х , = 6 кг , (500.4.2)
Часто математика оперирует не килограммами, а некими абстрактными безразмерными единицами и тогда запись решения уравнения (500.1) например в черновике будет выглядеть так:
х + 2 , = 8 , (500.1)
х + 2 , — 2 = 8 , — 2 (500.2)
х , = 8 — 2 , (500.3)
х = 6 (500.4)
Что и отражено на рисунке 500.2.
Примечание: Формально для еще более лучшего понимания после уравнения (500.2) должно следовать еще одно уравнение вида: х + 2 — 2 , = 8 — 2 , означающее, что действие завершилось и мы опять имеем дело с равновесными чашами весом. Однако на мой взгляд в такой совсем уж полной записи решения необходимости нет.
В чистовиках обычно используется сокращенная запись решения уравнения, причем сокращаются не только столь необходимые на мой взгляд на начальном этапе изучения уравнений символы чаш весов, но даже и целые уравнения. Так сокращенная запись решения уравнения (500.1) в чистовике согласно приводимым в учебниках примерам будет выглядеть так:
х + 2 = 8 (500.1.1)
х = 8 — 2 (500.3.1)
х = 6 (500.4)
В итоге, при использовании аналогии с весами мы составили дополнительное уравнение (500.2) по сравнению с предлагаемым учебниками то ли методом решения, то ли формой записи этого решения. На мой взгляд это уравнение, к тому же записанное приблизительно в такой форме, т.е. с символичным обозначением чаш весов — это и есть то недостающее звено, важное для понимания смысла уравнений.
Т.е. при решении уравнений мы ничего и никуда с обратным знаком не переносим, а выполняем одинаковые математические действия с левой и с правой частью уравнения.
Просто сейчас принято записывать решение уравнений в сокращенной форме, приведенной выше. За уравнением (500.1.1) сразу следует уравнение (500.3.1), отсюда и следует правило обратных знаков, которое впрочем многим проще запомнить, чем вникать в смысл уравнений.
Примечание: Против сокращенной формы записи я ничего не имею, более того. продвинутые пользователи могут эту форму еще более сокращать, однако делать это следует лишь после того, когда общий смысл уравнений уже четко усвоен.
А еще расширенная запись позволяет понять главные правила решения уравнений:
1. Если мы производим одинаковые математические действия с левой и правой частью уравнений, то равенство сохраняется.
2. Не важно, какая часть в рассматриваемом уравнении левая, а какая правая, мы можем свободно менять их местами.
Эти математические действия могут быть любыми. Мы можем вычитать одно и то же число из левой и из правой части, как показано выше. Мы можем прибавлять одно и то же число к левой и правой части уравнения, например:
х — 2 , = 8 , (500.5.1)
х — 2 , + 2 = 8 , + 2 (500.5.2)
х , = 8 + 2 , (500.5.3)
х = 10 (500.5.4)
Мы можем делить или умножать обе части на одно и то же число, например:
3х , = 12 , (500.6.1)
3х , : 3 = 12 , : 3 (500.6.2)
х , = 12 : 3 , (500.6.3)
х = 4 (500.6.4)
3х — 6 , = 12 , (500.7.1)
3х — 6 , + 6 = 12 , + 6 (500.7.2)
3х , = 18 , (500.7.3)
3х , : 3 = 18 , : 3 (500.7.4)
х = 6 (500.7.5)
Мы можем интегрировать или дифференцировать обе части. Мы можем делать все, что угодно с левой и правой частью, но если эти действия будут одинаковыми для левой и правой части, то равенство сохранится (чаши весов останутся на одном горизонтальном уровне).
Конечно же действия нужно выбирать такие, которые позволят максимально быстро и просто определить неизвестную величину.
С этой точки зрения классический метод обратного действия как бы более прост, но как быть, если ребенок еще не изучал отрицательные числа? А между тем составленное уравнение имеет следующий вид:
5 — х = 3 (500.8)
Т.е. при решении этого уравнения классическим методом один из возможных вариантов решения, дающий самую короткую запись, следующий:
— х = 3 — 5 (500.8.2)
— х = — 2 (500.8.3)
х = 2 (500.8.4)
И самое главное — как тут объяснить ребенку почему уравнение (500.8.3) тождественно уравнению (500.8.4)?
Это значит, что в данном случае даже при использовании классического метода экономить на записи нет никакого смысла и сначала нужно избавиться от неизвестной величины в левой части, имеющей отрицательный знак.
5 — х = 3 (500.8)
5 = 3 + х (500.8.5)
3 + х = 5 (500.8.6)
х = 5 — 3 (500.8.7)
х = 2 (500.8.4)
При этом полная запись будет выглядеть так:
5 — х , = 3 , (500.8)
5 — х , + х = 3 , + х (500.9.2)
5 , = 3 + х , (500.9.3)
3 + х , = 5 , (500.8.6)
3 + х , — 3 = 5 , — 3 (500.9.3)
х , = 5 — 3 , (500.8.7)
х = 2 (500.8.4)
Добавлю еще раз. Полная запись решения нужна не для учителей, а для лучшего понимания метода решения уравнений. А когда мы меняем местами левую и правую части уравнения, то это все равно что мы меняем взгляд на весы с точки зрения покупателя на точку зрения продавца, тем не менее равенство при этом сохраняется.
К сожалению, я так и не смог добиться от своей дочери полной записи решения даже в черновиках. У нее железный довод: «нас так не учили». А между тем сложность составляемых уравнений увеличивается, процент угадываний, какое действие нужно выполнить для определения неизвестной величины, уменьшается, оценки падают. Что с этим делать, не знаю.
Примечание: в современной математике принято различать равенства и уравнения, т.е. 1 = 1 — это просто численное равенство, а если в одной из частей равенства есть неизвестная, которую необходимо найти, то это уже уравнение. Как по мне, то такое дифференцирование значений не имеет большого смысла, а лишь усложняет восприятие материала. Я считаю, что любое равенство можно называть уравнением, а любое уравнение основано на равенстве. А кроме того, возникает вопрос х = 6, это уже равенство или это еще уравнение?
Простейшие уравнения, аналогия со временем
Конечно же, аналогия с весами при решении уравнений является далеко не единственной. Например, решение уравнений можно рассматривать и во временном аспекте. Тогда условие, описываемое уравнением (500.1), будет звучать так:
После того, как мы добавили к неизвестному количеству х еще 2 единицы, у нас стало 8 единиц (настоящее время). Однако нас по тем или иным причинам не интересует, сколько их стало, а интересует сколько их было в прошедшем времени. Соответственно, чтобы узнать, сколько у нас было этих самых единиц, нам нужно произвести обратное действие, т.е. от 8 отнять 2 (уравнение 500.3). Такой подход точно соответствует излагаемому в учебниках, но на мой взгляд, является не таким наглядным, как аналогия с весами. Впрочем мнения по этому поводу могут быть разные.
Пример решения уравнения со скобками
Эту статью я написал летом, когда дочь окончила 4 класс, но не прошло и полгода, как им в школе начали задавать решение уравнений следующего вида:
(97 + 75 : (50 — 5х)) · 3 = 300 (500.10)
Никто в классе решить это уравнение не смог, а между тем в его решении при применении предложенного мной способа нет ничего сложного, вот только полная форма записи будет занимать слишком много места:
(97 + 75 : (50 — 5х)) · 3 , : 3 = 300 , : 3 (500.10.2)
97 + 75 : (50 — 5х) , = 300 : 3 , (500.10.3)
97 + 75 : (50 — 5х) , = 100 , (500.10.4)
97 + 75 : (50 — 5х) , — 97 = 100 , — 97 (500.10.5)
75 : (50 — 5х) , = 100 — 97 , (500.10.6)
75 : (50 — 5х) , = 3 , (500.10.7)
75 : (50 — 5х) , · (50 — 5х) = 3 , · (50 — 5х) (500.10.8)
75 , = 3 · (50 — 5х) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 · (50 — 5х) , : 3 (500.10.10)
75 : 3 , = 50 — 5х , (500.10.11)
25 , = 50 — 5х , (500.10.12)
25 , + 5х = 50 — 5х , + 5х (500.10.13)
25 + 5х , = 50 , (500.10.14)
25 + 5х , — 25 = 50 , — 25 (500.10.15)
5х , = 50 — 25 , (500.10.16)
5х , = 25 , (500.10.17)
5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)
х , = 25 : 5 , (500.10.19)
х = 5 (500.10.20)
Однако на данном этапе в такой полной форме записи нет никакой необходимости. Раз уж мы добрались до двойных скобок, то не обязательно для математических операций в левой и правой части составлять отдельное уравнение, поэтому запись решения в черновике вполне может выглядеть так:
97 + 75 : (50 — 5х) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75 : (50 — 5х) , = 100 , (500.10.4)
97 + 75 : (50 — 5х) , — 97 = 100 — 97 , (500.10.5)
75 : (50 — 5х) , = 3 , (500.10.7)
75 : (50 — 5х) , · (50 — 5х) = 3 , · (50 — 5х) (500.10.8)
75 , = 3 · (50 — 5х) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 · (50 — 5х) , : 3 (500.10.10)
25 , = 50 — 5х , (500.10.12)
25 , + 5х = 50 — 5х , + 5х (500.10.13)
25 + 5х , = 50 , (500.10.14)
25 + 5х , — 25 = 50 , — 25 (500.10.15)
5х , = 25 , (500.10.17)
5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)
х = 5 (500.10.20)
Итого на данном этапе потребовалось записать 14 уравнений для решения исходного.
При этом запись решения уравнения в чистовике может выглядеть так:
97 + 75 : (50 — 5х) = 300 : 3 (500.10.3)
97 + 75 : (50 — 5х) = 100 (500.10.4)
75 : (50 — 5х) = 100 — 97 (500.10.6)
75 : (50 — 5х) = 3 (500.10.7)
75 = 3 · (50 — 5х) (500.10.9)
75 : 3 = 50 — 5х (500.10.11)
25 = 50 — 5х (500.10.12)
25 + 5х = 50 (500.10.14)
5х = 50 — 25 (500.10.16)
5х = 25 500.10.17)
х = 25 : 5 (500.10.19)
х = 5 (500.10.20)
Т.е. при сокращенной форме записи нам все равно придется составить 12 уравнений. Экономия в записи при этом минимальная, а вот с пониманием требуемых действий у пятиклассника действительно могут возникнуть проблемы.
P.S. Только когда дело дошло до двойных скобок, дочь заинтересовалась предложенным мной методом решения уравнений, но при этом в ее форме записи даже в черновике все равно уравнений в 2 раза меньше, потому что она пропускает итоговые уравнения типа (500.10.4), (500.10.7) и им подобные, а при записи сразу оставляет место для следующего математического действия. В итоге запись в ее черновике выглядела примерно так:
(97 + 75 : (50 — 5х)) · 3 , : 3 = 300 , : 3 (500.10.2)
97 + 75 : (50 — 5х) , — 97 = 100 , — 97 (500.10.5)
75 : (50 — 5х) , · (50 — 5х) = 3 , · (50 — 5х) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 · (50 — 5х) , : 3 (500.10.10)
25 , + 5х = 50 — 5х , + 5х (500.10.13)
25 + 5х , — 25 = 50 , — 25 (500.10.15)
5х , : 5 = 25 , : 5 (500.10.18)
х = 5 (500.10.20)
В итоге получилось всего 8 уравнений, что даже меньше, чем требуется при сокращенной записи решения. В принципе я не возражаю, вот только была бы от этого польза.
Вот собственно и все, что мне хотелось сказать по поводу решения простейших уравнений, содержащих одну неизвестную величину. Для решения уравнений, содержащих две неизвестных величины, потребуется больше знаний.
На этом пока все.
Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV
Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630
- Расчет конструкций . Уравнения, основные понятия
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).
http://abudnikov.ru/shkolnikam/uravneniya/chto-takoe-uravnenie-kak-reshat-uravneniya.html
http://doctorlom.com/item500.html