Задача гиа на уравнение окружности

Задача гиа на уравнение окружности

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит, IJ — серединный перпендикуляр к AB.

Задание 25 № 341422

Окружности с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. Докажите, что от­рез­ки AB и IJ перпендикулярны.

Решение: IA и IB — радиусы окружности с центром в точке I => IA = IB => треугольник IAB — равнобедренный.

Проведем медиану IJ к стороне AB. Т.к. треугольник IAB — равнобедренный, то IJ также является высотой, проведённой AB => AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

В окружности с центром O проведены две равные хорды и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. Поскольку AO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Задача гиа на уравнение окружности

Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»

В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»

Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :

А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49

Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36

Ответ : О (-7; -1); R= 6

В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81

Ответ : О (6; -15); R= 9

Ответ : О (0; 9); R= V͞2

Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :

В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11

Задание № 2 ( проверка)

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,

если А( -4; 7), В ( 2; 5 )

Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,

если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)

Составьте уравнение окружности с центром в точке

А(-4; 2), которая касается оси ординат.

Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;

Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением

Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек

А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.

Разработка урока геометрии по теме: «Окружность на ОГЭ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Урок геометрии в 9 классе по теме:

«Окружность на ОГЭ» (обобщающее повторение)

Учитель математики высшей

Урок по теме: «Окружность» (обобщающее повторение)

Обобщить и систематизировать знания, умения, навыки по темам «Окружность».

— Продолжить работу по решению геометрических задач для подготовки к ОГЭ. — Рассмотреть методы решения заданий базового и повышенного уровней

сложности, связанных с окружностью.

Развивать умения учебно – познавательной деятельности:

— умение самостоятельно работать;

— умение выделять в материале главное;

— умение логически излагать мысли.

Способствовать воспитанию ответственности, настойчивости в достижении определённых результатов обучения.

Задача: повторить теорию по данной теме, решение задач различных уровней сложности

1. Организационный этап (домашнее задание).(2 мин)

2. Актуализация базовых знаний.

а) Повторение теоретического материала (тест)(5 мин)

б) Устная работа по решению простых задач(8 мин)

3. Решение задач первой части (по готовым чертежам)(12 мин)

4. Решение задач повышенного уровня. (10 мин)

5. Разноуровневая самостоятельная работа(5 мин)

6. Итоги урока.(2 мин)

7. Рефлексия.(1 мин)

1 этап урока – организационный.

Ученикам сообщается тема урока, цели и поясняется, что во время урока постепенно будет использоваться раздаточный материал, который находится на столах.

Последнее время мы с вами вплотную занимаемся подготовкой к ОГЭ, но проблемы до сих пор остаются, это подтверждают результаты последнего пробного ОГЭ. Сегодня на уроке мы повторим и проверим, как вы применяете геометрические знания на практике.

Итак, тема нашего урока «Подготовка к ОГЭ по теме «Окружность». Модуль «Геометрия»». Знания по этой теме вам понадобятся не только на экзамене, но и в 10, 11 классах, в специальных и высших учебных заведениях. Поэтому цель нашего урока: повторить и проверить геометрические знания и умения. А эпиграфом нашего урока будет восточная мудрость: «Приобретать знания – это храбрость, приумножать знания – это мудрость, а умело применять – великое искусство».

А начнем мы с теоретической разминки.

2 этап –Актуализация базовых знаний

а) повторение теоретического материала .

Учащимся предлагается выбрать правильный ответ (номер правильного ответа записываем в тетрадь). Проверь у «Соседа»

На доске ответы: 1 Баллы

Выберите не правильные утверждения

А1) . Вписанный угол равен

1) половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу

2) центральному углу, опирающемуся на ту же дугу

3) половине величины дуги, на которую он опирается

4) удвоенной величине дуги, на которую он опирается

А2) . 1.Все хорды одной окружности равны между собой.

2.Касательная к окружности параллельна радиусу, проведенному в точку касания.

3. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания

4. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

А3) 1. Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

2. Центр, описанной около треугольника окружности, всегда лежит внутри окружности.

3.Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

4. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

А4) Выберите верные утверждения :

1. Центр описанной около треугольника окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2. Все диаметры одной окружности равны между собой

3. Длина окружности вычисляется по формуле l = 2πr 2

4. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

А5) 1.Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу , равны между собой.

2. Диаметр окружности равен половине радиуса.

3. Градусная мера вписанного угла (вершина лежит на окружности) равна градусной мере дуги, на которую опирается.

4. Градусная мера центрального угла (вершина в центре окружности) равна градусной мере соответствующей дуги окружности

б) Устная работа по решению простейших задач .

1.Найти неизвестные углы

а) б) в)

Ответ. а)71, б)60, в) 90

2.Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду AB дли­ной 6. При этом угол OAB равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти. (ответ. 6)

3. В окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны диа­мет­ры AD и BC, угол OС D равен 30°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла O AB . (Ответ. 30)

4 . В угол C величиной 18° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах(152)

В

3 этап – Решение задач первой части (по готовым чертежам)

Добавить теоретическую часть (см. на доске рисунки с записями)

1) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

2) Угол, образованный касательной и хордой измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами: Ð BAC= 0,5 È AB .

3) Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: AD 2 = AB × AC.

4) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Ууащимся предлагаются задачи с готовыми чертежами. Решить нужно задачи №1,4, 6

1. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 38°. Найдите величину угла MОK. Ответ дайте в градусах.

(Ответ:76)

2. К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если AB = 12 см, AO = 13 см.(Ответ. 5)

3.АС и В D — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 38 0 . Найдите угол АО D . Ответ дайте в градусах. (ответ. 104)

4. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности(51)

5.Най­ди­те ∠ KOM , если из­вест­но, что гра­дус­ная мера дуги MN равна 124°, а гра­дус­ная мера дуги KN равна 180°. (Ответ. 56).

(Предложите два способа решения задачи)

4 этап — решение задач повышенного уровня.

Решаем у доски задачи 6.

6. Точка О- центр окружности, на которой лежат точки А,В и С. Известно, что угол АВС равен 75 0 и угол ОАВ равен 43 0 . Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.(презентация, сл 20-21)

Решение .

Центральный угол АОС опирается на ту же дугу, что и вписанный угол АВС, следовательно, ∠ АОС= 2 • ∠АВС= 2 • 75 = 150 0

Угол КОС в сумме с углом АОС дает 180 0 ( так как они смежные), следовательно, ∠КОС = 180 – 150 = 30 0

Угол ОКС — внешний угол треугольника АВК и равен сумме двух углов, не смежных с ним. ∠ОКС = 75 + 43 = 118 0 ,

тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠ ВСО = ∠ КСО= 180 – 118 – 30 = 32 0

7.На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС=75 и ВС= 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть В L 2 = КВ • ВС. КВ = КА + АС + ВС = 75 + 75 + 10 = 160. Следовательно, В L 2 = 160 • 10 = (40) 2 . В L =40

8. Радиус окружности с центром О равен 85, длина хорды АВ равна 80. Найдите расстояние от хорды АВ до параллельной ей касательной k

Решение. Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной. Хорда параллельна касательной, следовательно, АВ перпендикулярна МК. Нам нужно найти длину МК. МК= МО+ОК= МО+85. Найдем МО. Для этого рассмотрим треугольник АОВ.

АО=ОВ= R , то есть этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота ОМ является медианой, то есть АМ= МВ= 40. ОМ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОМ:

ОМ 2 = ОА 2 – АМ 2 = 85 2 – 40 2 = 7225 – 1600 = 5625= 75 2

ОМ = 75, ОК = 85+ 75= 160.

5 этап – разноуровневая самостоятельная работа (учащиеся должны сами выбрать из оставшихся в списке задач задачу для самостоятельного решения)

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 18 , AO = 82 .

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 35°. Найдите величину угла M O K . Ответ дайте в градусах.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠ NBA = 32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.(21)

1 уровень

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 18 , AO = 82 .

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора равен 80 см.

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 35°. Найдите величину угла M O K . Ответ дайте в градусах.

Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 32° = 64°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 64°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ OKM = ∠ OMK = (180° − ∠ KOM )/2 = (180° − 64°)/2 = 58°.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠ NBA = 32°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Угол NBA — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AN = 2 ∠ NBA = 2 · 32° = 64°. Диаметр AB делит окружность на две равные части, поэтому величина дуги ANB равна 180°. Откуда дуга NB = 180° − 64° = 116°. Угол NMB — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен 116°/2 = 58°.

Думаю, научившись бороться с трудностями при решении задач, вы сможете преодолевать любые жизненные преграды.

Итог урока: Давайте, ребята подумаем справились ли мы со своей задачей – вспомнить необходимую теорию и отработать её на практике? Достигли ли мы цели?

Домашнее задание . Решить не менее 10 задач №16 (РЕШУ ОГЭ),

(5 зад №16 + 2 зад. из второй части)

1. Результатом своей личной работы считаю, что я ..

А. Разобрался в теории.

В. Научился решать задачи.

С. Повторил весь ранее изученный материал.

2. Что вам не хватало на уроке при решении задач ?

А. Знаний. Б. Времени. С. Желания. Д. Решал нормально.

3. Доволен ли я сегодня собой?

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Решение задач

Вы­яс­ни­те, какие из дан­ных урав­не­ний яв­ля­ют­ся урав­не­ни­я­ми окруж­но­сти.

Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты цен­тра и ра­ди­ус каж­дой окруж­но­сти.

а)

б)

в)

г) ;

д)

Рас­смот­рим каж­дое урав­не­ние в от­дель­но­сти.

а) – окруж­ность,

б) – окруж­ность,

в)
Вы­де­лим пол­ный квад­рат:

урав­не­ние не яв­ля­ет­ся урав­не­ни­ем окруж­но­сти.

г) .
Вы­де­лим пол­ный квад­рат:
– окруж­ность,

д)
Вы­де­лим пол­ный квад­рат:
– окруж­ность,

На окруж­но­сти, за­дан­ной урав­не­ни­ем , най­ди­те точки

а) с абс­цис­сой –4; б) с ор­ди­на­той 3.

Ре­ше­ние: по­стро­им окруж­ность с цен­тром (0;0) ра­ди­у­са 5 (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

а) Ко­ор­ди­на­ты точек окруж­но­сти с абс­цис­сой –4 яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы:

По­лу­ча­ем точку и точку

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

б) Ко­ор­ди­на­ты точек окруж­но­сти с ор­ди­на­той 3 яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы:

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­лу­ча­ем точку и ту же самую точку

Ответ: .

За­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти ра­ди­у­са r с цен­тром в точке А, если

а)

б)

в)

г)

а) Окруж­ность
Ответ:

б) Окруж­ность .
Ответ:

в) Окруж­ность
Ответ:

г) Окруж­ность
Ответ:

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, про­хо­дя­щей через точку

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Най­дем ра­ди­ус, как рас­сто­я­ние ОВ:

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром О(0;0):

Для кон­тро­ля про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ют ли по­лу­чен­но­му урав­не­нию ко­ор­ди­на­ты точки В:

зна­чит, точка В лежит на окруж­но­сти.

Ответ:

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точку А(1;3), если из­вест­но, что центр окруж­но­сти лежит на оси абс­цисс, а ра­ди­ус равен 5.

Сколь­ко су­ще­ству­ет таких окруж­но­стей?

Дано: А(1;3) – точка окруж­но­сти,

Найти: урав­не­ние окруж­но­сти (С; r=5).

Ре­ше­ние: центр ис­ко­мой окруж­но­сти уда­лен от точки А(1;3) на рас­сто­я­ние 5, зна­чит, он лежит на окруж­но­сти с цен­тром в точке А(1;3) ра­ди­у­са 5, но он еще лежит и на оси Ох. По­стро­им окруж­ность (А(1;3); r=5) (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих нашим усло­ви­ям, на оси Ох две:

Для опре­де­ле­ния ко­ор­ди­нат этих точек со­ста­вим си­сте­му:

За­пи­шем урав­не­ния ис­ко­мых окруж­но­стей:

окруж­ность (

окруж­ность ( и по­стро­им эти окруж­но­сти (рис. 6):

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: две окруж­но­сти.

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через две за­дан­ные точки и В(0;9), если из­вест­но, что центр окруж­но­сти лежит на оси ор­ди­нат.

Дано: окруж­но­сти ;

oкруж­но­сти .

за­пи­сать урав­не­ние окруж­но­сти.

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти так как окруж­ность про­хо­дит через точки А и В, то их ко­ор­ди­на­ты удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию окруж­но­сти:

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния в урав­не­ние.

Ответ:

На­пи­ши­те урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке А(6;0), про­хо­дя­щей через точку В(-3;2).

Дано: А(6;0) – центр,

окруж­но­сти.

Найти: урав­не­ние окруж­но­сти.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

На­хо­дим ра­ди­ус как рас­сто­я­ние АВ:

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти:

Ответ:

Заключение

Итак, мы рас­смот­ре­ли серию задач по теме «Окруж­ность» и в каж­дой за­да­че ис­поль­зо­ва­ли урав­не­ние окруж­но­сти.

На сле­ду­ю­щем уроке мы вы­ве­дем урав­не­ние пря­мой.

Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»

В презентации к уроку геометрии для 9 класса представлены задачи по теме «Уравнение окружности».

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ»»

Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :

А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49

Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36

Ответ : О (-7; -1); R= 6

В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81

Ответ : О (6; -15); R= 9

Ответ : О (0; 9); R= V͞2

Составьте уравнение окружности, если известны координаты ее центра М и радиус R :

В) М ( 1; -1) , R = ; = V͞11

Задание № 2 ( проверка)

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).

Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок АВ,

если А( -4; 7), В ( 2; 5 )

Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок КР,

если К (-2; 3), Р ( 5; — 23)

Составьте уравнение окружности с центром в точке

А(-4; 2), которая касается оси ординат.

Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А( 1; -5 ), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

А) Х² + У² + 6х – 14у – 5 = 0;

Найдите координаты центра и радиус окружности ,заданной уравнением

Х² + У² — 18х +2у + 50 = 0. Определите положение точек

А(5; -1), В(2; 4) и С( 13; — 5 ) относительно этой окружности.