Задача коши для квазилинейного уравнения первого порядка

Задача коши для квазилинейного уравнения первого порядка

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Об одном условии единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе неограниченных функций Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лысухо П. В.

Найдены условия единственности локально ограниченного обобщенного энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Лысухо П. В.

Текст научной работы на тему «Об одном условии единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе неограниченных функций»

ОБ ОДНОМ УСЛОВИИ ЕДИНСТВЕННОСТИ ЭНТРОПИЙНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КЛАССЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

The uniqueness conditions of the locally restricted generalized entropic solution of Cauchy problem for the quasilinear first-order equation are found.

Многие математические модели, возникающие в естествознании (например, в газовой и гидродинамике, в теории транспортных потоков и т.д.), приводят к квазилинейным уравнениям первого порядка (законам сохранения), описывающим процесс временной эволюции изучаемых явлений. Поэтому актуальна проблема построения классов корректности решений таких уравнений при условии, что начальное состояние неизвестных величин задано (что соответствует задаче Коши).

Итак, рассмотрим задачу Коши для квазилинейного уравнения первого порядка

ut + divx ф(и) = 0, (1)

где ф = (ф1, . , фи) е Cl(Rn), u = u(t, x), (t, x) е ПТ = (0, Т) xR*, с начальным условием

u(0, x) = uo (x) e ¿Гсо (Rn ). (2)

Предполагается, что производная ф’^) удовлетворяет следующему ограничению на

|ф’М 0, Ф(|u0(x)|) 1, справедлива оценка max ^(|uj(t, x)|), Ф^^, x)|) 1,

Оценим подынтегральную функцию.

Mu2) -ф^1 2C|x|u2 -u1|. (6)

Выберем функцию Р(5)е Cq(R), suppP(s) с [0,1], P(s)> 0, JP(s)ds = 1, и положим при

v е N, v(s) = vP(vs), 0V (t) = J 5V (s)ds. Ясно, что последовательность 5v (s) сходится к 5 —

мере Дирака в D'(R) при v ^ да; 0 1/ v и, следовательно, последовательность 0v(t) сходится поточечно при v ^ да к функции Хевисайда

Пусть R > 0 таково, что r = Re

2C% > 1. Рассмотрим функцию g (u ) е С°( R+) такую, что g(u) > 0, g’ (u) 0. Применив неравенство (5) к

пробной функции f получим после элементарных преобразований неравенство

I |u1 — u2 |(5v (t -10 ) — 5v (t -11 )) p(t, x)dtdx +

+ I [2Cx||u1 — u2| + sign(u1 — u 2 )x(ф(u1 )-ф(u2 ), x/|x|)]e 2Ct g ‘(|x|e 2Ct )v (t)dtdx > 0.

Заметим, что |x|e 1 с учетом (6)

КфК ) — ф(^), х/\х^ ) — ф(U2 )| 0, — можно переписать в виде

| 3(/)5У ^ — tl )Л 1, т e (0, T) Mj = м2 почти всюду в Пт. Таким образом, обобщенное энтропийное решение задачи (1), (2) единственно. Теорема доказана.

Отметим, что исследование именно неограниченных решений представляют не только теоретический, но и практический интерес, например — в динамике взрывных процессов.

1. Кружков С.Н. // Мат. сб. 1970. Т.81. №2. С.228-255.

2. Goritsky A.Yu., Panov E.Yu. // Russian J. of Math. Physics. 1999. Vol.6. №4. P.492-494.

3. Горицкий А.Ю., Панов Е.Ю. // Тр. МИ РАН им. В.А.Стеклова. 2002. Т.236. С.120-133.