Задача коши для разностных уравнений

Задача коши для разностных уравнений

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Разностные схемы для решения задачи Коши

Рассмотрим основные принципы конструирования разностных схем.

1. Производная [math]\left.<\left(\frac\right)\!>\right|_>[/math] аппроксимируется на заранее выбранном шаблоне [math](x_, x_,\ldots,x_)[/math] , а правая часть [math]f(x,y)[/math] обыкновенного дифференциального уравнения заменяется сеточным представлением [math]f(x_,\widehat_)[/math] в точке [math](x_,\widehat_)[/math] . Условно этот принцип называется аппроксимационным. С его помощью строятся одношаговые и многошаговые схемы в зависимости от шаблона, по которому аппроксимируется производная.

2. Дифференциальное уравнение заменяется разностным аналогом на одношаговом (двухточечном) шаблоне [math](x_,x_)[/math] (возможно использование дополнительных точек внутри шаблона) путем согласования с разложением функции [math]y=y(x)[/math] при [math]x=x_[/math] no формуле Тейлора относительно точки [math]x=x_[/math] . По этому принципу строятся одношаговые схемы, в частности семейство схем Рунге-Кутты.

3. Осуществляется интегрирование обеих частей дифференциального уравнения вдоль решения на выбранном шаблоне. При этом правая часть уравнения предварительно заменяется интерполяционным многочленом, степень которого должна соответствовать порядку точности схемы. Данный принцип называется интегрально-интерполяционным и используется для построения одношаговых и многошаговых явных и неявных схем, в том числе схем Адамса.

4. Разностные схемы строятся на основе подобия соотношений теории приближения конструкциям схем. С этой целью используются следствия из интегрально-дифференциальных сплайнов — параметрические соотношения, формулы аппроксимации производных, квадратурные формулы, записанные в общем случае на нерегулярном шаблоне. Данный принцип, который можно назвать принципом аналогий, далее будет применен для конструирования двух- и трехшаговых явных и неявных схем.

Принцип аппроксимаций

Рассмотрим проблему нахождения численного решения задачи Коши (6.9): [math]\frac= f(x,y),

y(x_0)=y_0[/math] . Для аппроксимации производной [math]\left.<\left(\frac\right)\!>\right|_>[/math] используем формулу (5.4), записанную на двухточечном шаблоне [math]H_<2,i>= (x_,x_)\colon[/math]

и формулу (5.10), записанную на трехточечном нерегулярном шаблоне [math]H_<3,i>= (x_, x_, x_)\colon[/math]

\delta_= \frac>>[/math] — параметр нерегулярности.

При [math]\delta_=1[/math] шаблон становится регулярным, а среднее слагаемое с входящим в него [math]y_[/math] — равным нулю. При этом формула (6.17) сводится к традиционной:

Аппроксимация формульных функций, входящих в правую часть (6.9), осуществляется путем перехода к их сеточному представлению.

Методика построения разностных схем с помощью аппроксимаций производной

1. Вводится в общем случае неравномерная сетка [math]\Omega_n= (x_0, x_1,\ldots, x_, x_,\ldots, x_)[/math] . Величина шага [math]h_=x_-x_[/math] выражается через узловые точки.

2. Для получения рассматриваемых здесь двух схем (одношаговой и двух-шаговой) выбирается соответственно двухточечный (одношаговый) и трехточечный (двухшаговый) шаблоны [math]H_<2,i>= (x_,x_)[/math] и [math]H_<3,i>= (x_,x_,x_)[/math] , на которых в точке [math]x_[/math] производится аппроксимация производной [math]\left.<\left(\frac \right)\!>\right|_>[/math] по формулам. (6.16), (6.17) соответственно в левой и центральной точках [math]x_[/math] . Далее заменяется правая часть уравнения (6.9) ее сеточным представлением, т.е. [math]f(x,y)\to f(x_,y_)[/math] , а вместо [math]y(x)[/math] рассматривается сеточная функция [math]\widehat_\approx y(x_)[/math] , которая определяется только в точках сетки.

3. Выполняется подстановка аппроксимаций (6.16), (6.17) и [math]f(x_,y_)[/math] в дифференциальное уравнение:

После отбрасывания остаточных слагаемых получаются разностные схемы: — явная схема Эйлера первого порядка (явный метод Эйлера):

– обобщенная на нерегулярный шаблон двухшаговая явная схема Эйлера второго порядка (где [math]\Delta \widehat_=\widehat_-\widehat_[/math] ):

Обозначим схему (6.20) символами 2Y2B (суть этого обозначения поясняется далее). Анализ остаточного слагаемого [math]\left(\frac^2><6>\delta_M_<3,i>\right)[/math] обобщенной схемы Эйлера указывает на то, что при условном выборе шаблона, когда достигается соотношение [math]\delta_\leqslant h_[/math] (то есть [math]h_\leqslant h_^2[/math] ) , порядок аппроксимации этой схемы повышается на единицу без увеличения количества точек шаблона. Этот прием повышения точности может быть использован при конструировании вложенных алгоритмов путем измельчения шага.

При [math]\delta_=1[/math] (регулярный шаблон) схема (6.20) соответствует методу Эйлера-Коши:

Для начала расчетов по формулам (6.20),(6.21) требуется иметь две «разгонные» точки [math]\widehat_<0>,\,\widehat_<1>[/math] . Первая определяется известным начальным условием [math]\widehat_0=y_0[/math] , а вторая может быть найдена с помощью другого метода, например, по формуле (6.19): [math]\widehat_1=y_0+h_1f(x_0,y_0)[/math] .

Приведем геометрическую интерпретацию явного метода Эйлера (6.19), которая показана на рис. 6.5.

Пусть известна точка [math](x_,\widehat_)[/math] на искомой интегральной кривой [math]y=y(x)[/math] . Через эту точку проведем к кривой [math]y=y(x)[/math] касательную [math]L[/math] , тангенс угла наклона которой равен [math]y'(x_)= f(x_, \widehat_)[/math] . Ее уравнение имеет вид

Следующая точка [math]\widehat_[/math] приближенного решения получается при [math]x=x_[/math] (в результате нахождения точки пересечения прямых [math]L[/math] и [math]x_=\text[/math] ): [math]\widehat_= \widehat_+ h_f(x_,\widehat_)[/math] . Это соотношение совпадает с формулой (6.19).

Схема (6.19) иногда называется схемой ломаных (рис. 6.6), так как очередное значение [math]\widehat_[/math] получается в результате проведения касательной к интегральной кривой в точке [math](x_,\widehat_)[/math] . После выполнения каждого шага метода Эйлера приближенное решение переходит с одной интегральной кривой на другую, что обусловлено погрешностью численного решения. Большая погрешность схемы связана с тем, что порядок этой схемы равен единице, и поэтому ломаная, определяемая по (6.19), довольно значительно отклоняется от точного решения [math]y=y(x)[/math] . В связи с этим данная схема используется, как правило, в качестве вспомогательной при конструировании схем повышенного порядка.

Для анализа устойчивости явного метода Эйлера применим формулу (6.19) при [math]h_=h[/math] к решению задачи (6.12). В результате разностное уравнение будет иметь вид [math]\widehat_= \widehat_+ h\,\mu\,\widehat_[/math] или [math]\widehat_-(1+h\,\mu)\widehat_=0[/math] . Корень соответствующего характеристического уравнения [math]\lambda_1=1+h\,\mu[/math] . Условие (6.13) принимает форму [math]|1+h\,\mu| . Отсюда следует, что область устойчивости представляется внутренней частью круга единичного радиуса с центром в точке [math](-1;0)[/math] (рис. 6.7). Если [math]\mu[/math] действительная константа, то можно указать интервал устойчивости [math]-2 , то есть [math]h\,\mu\in (-2;0)[/math] , а при [math]\mu имеем [math]0 . Поэтому явный метод Эйлера является ограниченно устойчивым с критическим шагом [math]h_<\text>=-\frac<2><\mu>[/math] .

Дадим геометрическую интерпретацию метода Эйлера-Коши (6.21) применительно к решению задачи (6.9) (рис. 6.8). Пусть известны две точки [math](x_,\widehat_),\, (x_, \widehat_)[/math] на искомой интегральной кривой [math]y=y(x)[/math] . Проведем через точку [math](x_,\widehat_)[/math] касательную [math]L[/math] , тангенс угла наклона которой равен [math]y'(x_)= f(x_,\widehat_)[/math] . После этого через точку [math](x_, \widehat_)[/math] проведем прямую [math]L_1[/math] , параллельную [math]L[/math] . Ее уравнение имеет вид [math]y=\widehat_+ f(x_,\widehat_)(x-x_)[/math] . Следующая точка [math]\widehat_[/math] , приближенного решения получается при [math]x=x_\colon[/math] [math]\widehat_= \widehat_+2h f(x_, \widehat_)[/math] . Это соотношение совпадает с формулой (6.21).

Замечание. Все описанные здесь и далее методы легко переносятся на системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6.7). Под [math]y[/math] и [math]f(x,y)[/math] следует подразумевать векторы [math]Y=(y_1,\ldots,y_n)^T[/math] и [math]F(x,Y)= \bigl(f_1(x,Y), \ldots, f_n(x,Y)\bigr)^T[/math] . Например, для системы двух дифференциальных уравнений

явный метод Эйлера (6.19) записывается в форме

Пример 6.3. Исследовать устойчивость явного метода Эйлера на примере решения уравнения [math]Ty’+y=1,[/math] [math]y(0)=y_0[/math] , где [math]T[/math] — действительное положительное число. Найти приближенное решение задачи Коши [math]0,\!1y’+y=1,

y(0)=0[/math] на отрезке [math][0;1][/math] явным методом Эйлера.

Точное решение задачи получено в примере 6.1: [math]y(x)=1-e^<-10x>[/math] , поскольку [math]T=0,\!1[/math] . Уравнение [math]Ty’+y=1[/math] перепишем в виде, аналогичном (6.12): [math]y’=-\frac<1>y+\frac<1>[/math] , поэтому [math]\mu=-\frac<1>[/math] , а критический шаг равен [math]h_<\text>=-\frac<2><\mu>=2T[/math] . Следовательно, при [math]h метод устойчив, а при 2T»>[math]h>2T[/math] неустойчив. На рис. 6.9 схематически изображены приближенные решения уравнения [math]Ty’+y=1,[/math] [math]y(0)=0[/math] , соответствующие устойчивому процессу и хорошей точности численного решения (рис.6.9,а), устойчивому процессу и плохой точности (рис.6.9,б), а также неустойчивому процессу и плохой точности (рис. 6.9,в).

Для уравнения [math]0,\!1y’+y=1[/math] постоянная времени [math]T=0,\!1[/math] , поэтому [math]h_<\text>==0,\!2[/math] . Решим задачу для значений шага [math]h=0,\!05; 0,\!2; 0,\!5[/math] . При [math]h=0,\!05[/math] метод является устойчивым, при [math]h=0,\!2[/math] находится на фанице устойчивости, а при [math]h=0,\!5[/math] является неустойчивым.

Переписав уравнение в виде [math]y’=10-10y[/math] , получим из (6.19) формулу для нахождения приближенного решения:

6.1>>\\\hline x_& \widehat_

(h=0,\!5)& y(x_)\\\hline 0,\!00& 0,\!000000& 0,\!000& 0,\!000& 0,\!000000 \\\hline 0,\!05& 0,\!500000& & & 0,\!393469 \\\hline 0,\!01& 0,\!750000& & & 0,\!632121 \\\hline 0,\!15& 0,\!875000& & & 0,\!776870 \\\hline 0,\!20& 0,\!937500& 2,\!000& & 0,\!864665 \\\hline 0,\!25& 0,\!968750& & & 0,\!917915 \\\hline 0,\!30& 0,\!984375& & & 0,\!950213 \\\hline 0,\!35& 0,\!992187& & & 0,\!969803 \\\hline 0,\!40& 0,\!996094& 0,\!000& & 0,\!981684 \\\hline 0,\!45& 0,\!998047& & & 0,\!988891 \\\hline 0,\!50& 0,\!999023& & 5,\!000& 0,\!993262 \\\hline 0,\!55& 0,\!999511& & & 0,\!995913 \\\hline 0,\!60& 0,\!999755& 2,\!000& & 0,\!997521 \\\hline 0,\!65& 0,\!999877& & & 0,\!998497 \\\hline 0,\!70& 0,\!999938& & & 0,\!999088 \\\hline 0,\!75& 0,\!999969& & & 0,\!999446 \\\hline 0,\!80& 0,\!999984& 0,\!000& & 0,\!999665 \\\hline 0,\!85& 0,\!999992& & & 0,\!999797 \\\hline 0,\!90& 0,\!999996& & & 0,\!999877 \\\hline 0,\!95& 0,\!999998& & & 0,\!999925 \\\hline 1,\!00& 0,\!999999& 2,\!000& -15,\!000& 0,\!999955 \\\hline \max\varepsilon_& 0,\!117879& 1,\!135335& 15,\!99995& \\\hline \end[/math]

Результаты расчетов, выполненных для различных значений [math]h[/math] , приведены в табл. 6.1. При [math]h=0,\!05[/math] приближенное решение достаточно близко к точному, при [math]h=0,\!2[/math] «пила» не сходится и не расходится, а при [math]h=0,\!5[/math] «пила», аппроксимирующая точное решение, расходится (рис. 6.9,в).

Замечание. Порядок точности метода, как правило, определяется порядком аппроксимации схем. Например, для схемы (6.19) первого порядка, записанной в виде, соответствующем исходному уравнению (6.9), получаем (первое слагаемое аппроксимирует производную):

то есть [math]y’_=f_+O(h_)[/math] . Здесь были использованы формула Тейлора и свойства, приведенные ранее.

Для двухшаговой схемы (6.21) аналогично получается второй порядок аппроксимации. Действительно, воспользуемся частным случаем формулы Тейлора (см. (В. 18)) при

Подставляя полученные соотношения в схему (6.21), записанную в виде [math]\frac-y_><2h>-f(x_,y_)=0[/math] , соответствующем дифференциальному уравнению (6.9), с учетом свойств, приведенных ранее, имеем

Также легко проверить, что и схема (6.20) на нерегулярном шаблоне имеет второй порядок при безусловной аппроксимации. Если же [math]h_\leqslant h_^2[/math] (условная аппроксимация), то этот порядок равен трем.

Интегрально-интерполяционный принцип

В данном подходе явные или неявные методы соответствующего порядка получаются путем интегрирования уравнения (6.9) вдоль решения [math]y(x)[/math] . Так, на двухточечном шаблоне

Функция [math]f(x,y(x))[/math] в (6.22) заменяется интерполяционным многочленом соответствующей степени [math]p[/math] ( [math]p=0[/math] для метода первого порядка, [math]p=1[/math] для метода второго порядка, [math]p=2[/math] для метода третьего порядка и т.д.). Подчеркнем, что замена [math]f(x,y)[/math] интерполяционным многочленом в (6.22) становится возможной благодаря тому, что [math]f(x,y)[/math] рассматривается не на всей плоскости [math](x,y)[/math] , а только вдоль интегральной кривой [math]y(x)[/math] . Для вычисления интеграла в правой части могут быть использованы известные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона) и др.

Примем [math]x_[/math] в качестве узловой точки многочлена [math]L_<0>(x)[/math] , то есть [math]L_0(x)= f(x_,\widehat_)[/math] . Тогда из (6.22) следует формула неявного метода Эйлера:

Принимая для интерполяционного многочлена [math]L_1(x)[/math] в качестве узловых точек [math]x_[/math] и [math]x_[/math] и используя квадратурную формулу трапеций (5.46), получаем неявную одношаговую схему второго порядка (метод трапеций):

где [math]f_= f(x_,\widehat_)[/math] . Формулы (6.23),(6.24) имеют вид (6.11) при [math]k=1[/math] . Подчеркнем, что свойство неявности схем (6.23),(6.24) обусловлено наличием искомой величины [math]\widehat_[/math] в левой и правой частях в общем случае нелинейных уравнений.

При реализации алгоритма решения задачи Коши неизвестное значение [math]\widehat_[/math] вычисляется одним из методов решения нелинейных уравнений. Применение метода Ньютона связано с записью уравнения в форме

и с дифференцированием функции [math]F(\widehat_)[/math] , что увеличивает время расчетов из-за возможной сложности производных или увеличивает погрешность в силу неточного задания правых частей.

Как правило, используется метод простых итераций:

Таким образом, уравнение (6.24) решается с помощью формулы (рекуррентного соотношения):

При применении методов Ньютона и простых итераций вначале задается или находится нулевое приближение решения по формуле [math]y_^<\,(0)>= \widehat_[/math] , (так называемый «постоянный» прогноз) или явным методом Эйлера (6.19): [math]\widehat_^<\,(0)>= \widehat_+ h_ f(x_, \widehat_)[/math] .

Итерации завершаются при выполнении условия окончания [math]\bigl|\widehat_^<\,(k+1)>-\widehat_^<\,(k)>\bigr| \leqslant \varepsilon[/math] , где [math]\varepsilon[/math] — малое положительное число.

Для сокращения описания и удобства ссылок получаемые здесь схемы обозначаются буквенно-цифровыми символами. Первая цифра в нем обозначает «шаговость» схемы, следующая за ней буква «Я» или буквы «НЯ» — явный или неявный характер, затем цифра указывает порядок точности схемы и за ней буква — возможную модификацию. Таким образом, схема (6.24) обозначается 1НЯ2, т.е. она является одношаговой, неявной и имеет второй порядок точности. Последняя буква указывается только для тех схем, которые имеют модификации.

Приведем геометрическую интерпретацию неявного метода Эйлера (6.23) (рис.6.10). Пусть известна точка [math](x_, \widehat_)[/math] на искомой интегральной кривой [math]y=y(x)[/math] . Через эту точку проведем прямую, тангенс угла наклона которой равен [math]y'(x_)= f(x_, \widehat_)[/math] , т.е. следующая точка [math]\widehat_[/math] приближенного решения берется на той кривой из семейства интегральных кривых, касательная к которой в точке [math](x_,\widehat_)[/math] проходит через точку [math](x_,\widehat_)[/math] . Поэтому [math]\frac<\widehat_-\widehat_>>= f(x_, \widehat_)[/math] . Полученное соотношение совпадает с формулой (6.23).

Исследуем устойчивость неявного метода Эйлера и метода трапеций. Применим формулу (6.23) при [math]h_=h[/math] к решению задачи (6.12). В результате получим разностное уравнение [math]\widehat_= \widehat_+h\cdot\mu\cdot \widehat_[/math] или [math]\widehat_(1-h\cdot\mu)-\widehat_=0[/math] . Корень характеристического уравнения [math]\lambda_1= \frac<1><1-h\cdot\mu>[/math] . Условие устойчивости (6.13) имеет вид [math]\left|\frac<1><1-h\cdot\mu>\right| или 1″>[math]|1-h\cdot\mu|>1[/math] . Область устойчивости представляется внешней частью круга единичного радиуса с центром в точке [math](1;0)[/math] . Из геометрической интерпретации (рис. 6.11) следует, что неявный метод Эйлера обладает свойством A-устойчивости (см. рис.6.4,а), поскольку выделенная на рис. 6.11 область включает левую полуплоскость.

Применим формулу (6.24) метода трапеций при [math]h_=h[/math] к решению задачи (6.12). Получим разностное уравнение

Корень характеристического уравнения [math]\lambda_1= \left(1+ \frac<2>\right)\,\colon \left(1-\frac<2>\right)[/math] . Условие устойчивости (6.13) принимает вид [math]\left|\left(1+ \frac<2>\right)\,\colon \left(1-\frac<2>\right)\right| или [math]|2+m\mu| . Полученное неравенство выполняется в области, изображенной на рис. 6.4,а, т.е. метод трапеций является A-устойчивым.

Продолжим рассмотрение интегрально-интерполяционного метода. Использование квадратурной формулы прямоугольников дает модифицированный метод Эйлера второго порядка:

Дадим геометрическую интерпретацию модифицированного метода Эйлера второго порядка (рис. 6.12). Пусть известна точка [math](x_,\widehat_)[/math] на искомой интегральной кривой [math]y=y(x)[/math] . Через эту точку проведем касательную [math]L[/math] , тангенс угла наклона которой равен [math]y'(x_)= f(x_,\widehat_)[/math] . При [math]x=x_+ \frac><2>[/math] получаем точку [math]\widehat_>\,\,2>[/math] . Далее проведем прямую [math]L_1[/math] с тангенсом угла наклона [math]f\! \left(x_+ \frac><2>, \widehat_>\,\,2>\right)[/math] , а затем прямую [math]L_2[/math] , параллельную [math]L_1[/math] и проходящую через точку [math](x_, \widehat_)[/math] . Ее уравнение имеет вид [math]y=\widehat_+ f\! \left(x_+ \frac><2>, \widehat_>\,\,2>\right)\!\cdot (x-x_)[/math] . Следующая точка [math]\widehat_[/math] приближенного решения находится при [math]x=x_[/math] (это соотношение совпадает с формулой (6.28)):

Исследуем устойчивость модифицированного метода Эйлера второго порядка. Применим формулы (6.28) при [math]h_=h[/math] к решению задачи (6.12). В результате получим разностное уравнение:

Корень соответствующего характеристического уравнения [math]\lambda_1= 1+h\mu+ \frac<(h\mu)^2><2>[/math] . Условие устойчивости (6.13) имеет вид [math]\left|1+h\mu+ \frac<(h\mu)^2><2>\right| . Если [math]\mu[/math] — действительное число, то, раскрывая модуль, получаем [math]-1 . Неравенство 0″>[math]2+h\mu+ \frac<(h\mu)^2><2>>0[/math] выполняется для любых [math]h\mu[/math] , а неравенство [math]h\mu+ \frac<(h\mu)^2> <2>, то есть [math]h\mu\cdot (2+h\mu) , справедливо при [math]-2 . Таким образом, интервал устойчивости [math]h\mu\in (-2;0)[/math] модифицированного метода Эйлера совпадает с интервалом устойчивости явного метода Эйлера (6.19).

Для использования регулярного трехточечного шаблона [math](x_,x_,x_)[/math] заменим (6.22) аналогичным выражением: [math]\textstyle<\int\limits_>^> dy= \int\limits_>^> f(x,y(x))dx>[/math] . Если функцию [math]f(x,y(x))[/math] , входящую в правую часть, заменить многочленом Лагранжа второй степени и применить формулу (5.47), то получается неявная схема парабол (Симпсона) четвертого порядка (2НЯ4):

Отметим, что схема парабол имеет четвертый, а не третий порядок точности из-за регулярности шаблона.

В соответствии с классификацией, схема (6.29) относится к классу неявных схем Адамса. Для получения других схем Адамса следует переписать (6.22) в форме

и заменить [math]y'(x)[/math] соответствующим интерполяционным полиномом, построенным на регулярном шаблоне с [math]h=\text[/math] .

В силу формулы (4.36) второго интерполяционного многочлена Ньютона получаем (где [math]\widehat= \frac>[/math] — фаза интерполяции)

Подставляя полученное выражение в правую часть (6.30) и учитывая, что [math]dx= h\cdot d\widehat[/math] , вычисляем [math]\textstyle<\int\limits_<0>^ <1>y'(\widehat)\cdot h\, d\widehat>[/math] , поскольку при [math]x=x_[/math] и [math]x=x_[/math] справедливо [math]\widehat=0[/math] и [math]\widehat=1[/math] соответственно. В результате имеем

или с учетом (6.9) общую формулу семейства явных схем Адамса:

где [math]\eta_= h\cdot f(x_, \widehat_)= h\cdot f_[/math] , а конечные разности вычисляются с помощью табл. 6.2. Подчеркнем, что здесь интерполяционный многочлен записан на шаблоне, не включающем точку [math]x_[/math] .

Если взять в правой части (6.31) два слагаемых, то получится явный метод Эйлера (6.19), если три слагаемых, то явный метод, описываемый формулой

а если четыре слагаемых, то явный метод вида

В результате имеем схемы Адамса-Бэшфорта

– второго порядка (2Я2В):

– третьего порядка (ЗЯЗА):

– четвертого порядка (4Я4):

Для начала расчетов по формуле (6.32) требуются две «разгонные» точки: [math]\widehat_<0>,\, \widehat_<1>[/math] , по формуле (6.33) — три «разгонные» точки: [math]\widehat_<0>,\, \widehat_<1>,\, \widehat_<2>[/math] , по формуле (6.34) — четыре «разгонные» точки: [math]\widehat_<0>,\, \widehat_<1>,\, \widehat_<2>,\, \widehat_<3>[/math] . Их необходимо вычислить с порядком точности не меньше порядка точности схемы. Далее схема (6.32) обобщается на нерегулярный шаблон.

Если для построения интерполяционного многочлена использовать шаблоны, включающие точку [math]x_[/math] , то получится следующая формула семейства неявных схем Адамса :

где [math]\eta_= h\cdot f(x_, \widehat_)= h\cdot f_[/math] , а конечные разности вычисляются с помощью табл. 6.3.

Если взять в правой части (6.35) два слагаемых, то получится неявный метод Эйлера (6.23), если три слагаемых, — метод трапеций (6.24):

если четыре слагаемых, — неявный метод, описываемый соотношением (и т.д.)

– первого порядка (6.23);

– второго порядка (6.24);

– третьего порядка (2НЯЗ):

– четвертого порядка (ЗНЯ4):

Для расчетов по формуле (6.36) требуются две «разгонные» точки: [math]\widehat_<0>,\, \widehat_<1>[/math] , по формуле (6.37) — три «разгонные» точки: [math]\widehat_<0>,\, \widehat_<1>,\, \widehat_<2>[/math] . Их необходимо вычислить с порядком точности не меньше порядка точности схемы. Чтобы найти искомое значение [math]\widehat_[/math] с помощью формул (6.36),(6.37), так же как в неявном методе Эйлера и методе трапеций, требуется решить в общем случае нелинейное уравнение.

Замечание. Аналогичные методы могут быть получены из интегрального уравнения вида [math]\textstyle<\int\limits_>^> dy= \int\limits_>^> f(x,y(x))\,dx,

k \geqslant 2>[/math] .

Пример 6.4. Найти приближенное решение задачи Коши [math]\beginy’=z-1,&y(0)=1,\\ z’=-y-2z,&z(0)=-1\end[/math] на отрезке [math][0;1][/math] с шагом [math]h=0,\!1[/math] методами Эйлера (неявным и модифицированным), Адамса-Бэшфорта третьего порядка и трапеций.

Путем прямой подстановки в систему легко убедиться в том, что точное решение задачи имеет вид

Используя соотношения (6.23),(6.24),(6.28),(6.33), выписываем формулы для нахождения приближенного решения указанными методами (при этом применяется векторная форма записи).

Для неявного метода Эйлера из (6.23) имеем

Разрешая эту систему относительно [math]\widehat_,\, \widehat_[/math] , окончательно получаем

Соотношения (6.28) для модифицированного метода Эйлера принимают вид

Для метода Адамса-Бэшфорта третьего порядка из (6.33) находим

Для определения «разгонных» точек [math](x_0,\widehat_0,\widehat_0),\, (x_1,\widehat_1, \widehat_1),\, (x_2,\widehat_2,\widehat_2)[/math] воспользуемся модифицированным методом Эйлера. Точка [math](x_0,\widehat_0,\widehat_0)[/math] определяется начальными условиями [math](0;1;-1)[/math] .

Выпишем соотношения для метода трапеций (6.24) и разрешим их относительно неизвестных:

откуда путем разрешения системы относительно [math]\widehat_,\, \widehat_[/math] получаем

6.4>>\\\hline x_& \begin\text\\ \text\end & \begin\text\\ \text\end & \begin\text\\ \text \end & \begin\text\\ \text\end & \begin\text\\ \text\end\\\hline 0,\!0&1,\!00000&1,\!00000&1,\!00000&1,\!00000&1,\!00000\\\hline 0,\!1&0,\!80992&0,\!80500&0,\!80499&0,\!80499&0,\!80500\\\hline 0,\!2&0,\!62960&0,\!61997&0,\!61991&0,\!61991&0,\!61994\\\hline 0,\!3&0,\!45885&0,\!44479&0,\!44469&0,\!44464&0,\!44470\\\hline 0,\!4&0,\!29740&0,\!27924&0,\!27908&0,\!279000&0,\!27909\\\hline 0,\!5&0,\!14500&0,\!12309&0,\!12285&0,\!12273&0,\!12286\\\hline 0,\!6&0,\!00131&-0,\!02397&-0,\!02428&-0,\!02444&-0,\!02428\\\hline 0,\!7&-0,\!13397&-0,\!16224&-0,\!16265&-0,\!16284&-0,\!16263\\\hline 0,\!8&-0,\!26119&-0,\!29208&-0,\!29257&-0,\!29279&-0,\!29255\\\hline 0,\!9&-0,\!38072&-0,\!41384&-0,\!41441&-0,\!41465&-0,\!41438\\\hline 1,\!0&-0,\!49287&-0,\!52787&-0,\!52853&-0,\!52879&-0,\!52848\\\hline \max \varepsilon_&0,\!03720415&0,\!00067291&0,\!00005942&0,\!00033550&-\\\hline \end[/math]

6.5>>\\\hline x_& \begin\text\\ \text\end & \begin\text\\ \text\end & \begin\text\\ \text \end & \begin\text\\ \text\end & \begin\text\\ \text\end\\\hline 0,\!0&-1,\!00000&-1,\!00000&-1,\!00000&-1,\!00000&-1,\!00000\\\hline 0,\!1&-0,\!90083&-0,\!90000&-0,\!90023&-0,\!90023&-0,\!90016\\\hline 0,\!2&-0,\!80316&-0,\!80095&-0,\!80132&-0,\!80132&-0,\!80121\\\hline 0,\!3&-0,\!70753&-0,\!70357&-0,\!70402&-0,\!70401&-0,\!70388\\\hline 0,\!4&-0,\!61440&-0,\!60844&-0,\!60893&-0,\!60890&-0,\!60877\\\hline 0,\!5&-0,\!52408&-0,\!51601&-0,\!51650&-0,\!51645&-0,\!51632\\\hline 0,\!6&-0,\!43684&-0,\!42663&-0,\!42709&-0,\!42702&-0,\!42691\\\hline 0,\!7&-0,\!35287&-0,\!34054&-0,\!34095&-0,\!34087&-0,\!34078\\\hline 0,\!8&-0,\!27229&-0,\!25794&-0,\!25828&-0,\!25818&-0,\!25812 1\\\hline 0,\!9&-0,\!19518&-0,\!17894&-0,\!17920&-0,\!17908&-017905\\\hline 1,\!0&-0,\!12158&-0,\!10357&-0,\!10378&-0,\!10364&-0,\!10364\\\hline \max \varepsilon_& 0,\!01958133& 0,\!00032586& 0,\!00012145&0,\!00003005&-\\\hline \end[/math]

Результаты проведенных расчетов даны в табл. 6.4 для [math]\widehat_,\, y(x)[/math] и табл. 6.5 для [math]\widehat_,\, z(x)[/math] соответственно. Из их анализа вытекает, что наиболее точно величину [math]\widehat_[/math] можно рассчитать методом Адамса-Бэшфорта, а величину [math]\widehat_[/math] — методом трапеций.

Пример 6.5. Исследовать устойчивость метода Адамса-Бэшфорта третьего порядка на примере решения задачи Коши

\mu=-1[/math] и [math]\mu=-100[/math] .

Точное решение задачи: [math]y(x)=x^3[/math] . При [math]\mu=-1

\left(h\mu=-\frac<1> <8>\right)[/math] дифференциальное уравнение имеет вид [math]y’=x^3-y+3x^2[/math] , а при [math]\mu=-100

Формула (6.33) при [math]h=1\!\!\not<\phantom<|>>\,8[/math] принимает форму

Положим [math]f_0=y’\! \left(-\frac<1><4>\right)=0,\!1875;

\widehat_0=y_0=-0,\!15625; f_1= y’\! \left(-\frac<1><8>\right)= 0,\!046875;[/math] [math]\widehat_1= y_0=-0,\!001953121;[/math] [math]f_2=y'(0)=0;[/math] [math]\widehat_2=0[/math] , т.е. используем в качестве «разгонных» точек значения, соответствующие точному решению. Результаты нахождения приближенного решения задачи Коши приведены в табл. 6.6.

6.6>>\\\hline i& \widehat_

(h\mu=-100\!\!\not<\phantom<|>>\,8)& \text \\\hline 0& -0,\!01562500& 0,\!00000000& -0,\!01562500& 0,\!00000000 \\\hline 1& -0,\!001953125& 0,\!00000000& -0,\!001953125& 0,\!00000000 \\\hline 2& 0,\!0000000& 0,\!00000000& 0,\!00000000& 0,\!00000000 \\\hline 3& 0,\!00195317& 0,\!00000004& 0,\!00195317& 0,\!00000004 \\\hline 4& 0,\!01562501& 0,\!00000001& 0,\!01562409& 0,\!00000091 \\\hline 5& 0,\!05273429& 0,\!00000009& 0,\!05275568& 0,\!00002130 \\\hline 6& 0,\!12499996& 0,\!00000004& 0,\!12449656& 0,\!00050437 \\\hline 7& 0,\!24414058& 0,\!00000005& 0,\!25408001& 0,\!00993938 \\\hline 8& 0,\!42187492& 0,\!00000008& 0,\!18516620& 0,\!23670880 \\\hline 9& 0,\!66992193& 0,\!00000005& 6,\!27264466& 5,\!60272278 \\\hline \end[/math]

Из анализа решения, приведенного в табл. 6.6, видно, что в случае [math]h\mu=-100\!\!\not<\phantom<|>>\,8[/math] процесс не является устойчивым. Дадим обоснование этому факту.

Запишем формулу (6.33) в виде (6.14):

то есть [math]\alpha_0=1,

Составим уравнение (6.15) при каждом значении [math]h\mu[/math] .

При [math]h\mu=-\frac<1><8>[/math] все корни уравнения [math]\xi^3-\frac<73><96>\xi^2-\frac<16><96>\xi+ \frac<5><96>=0[/math] лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат, поэтому процесс устойчив.

При [math]h\mu=-\frac<100><8>[/math] один корень уравнения [math]\xi^3+ \frac<2204><96>\xi^2-\frac<1600><96>\xi+ \frac<500><96>=0[/math] , равный [math]\frac<1><3>\cdot \frac<2204><96>[/math] , очевидно не лежит внутри указанного круга. Поэтому процесс неустойчив. Эти выводы подтверждают результаты численного эксперимента. Ошибка вычисления значении [math]\widehat_[/math] при [math]h\mu=-\frac<100><8>[/math] возрастает (см. правую колонку табл. 6.6).

Принцип согласования с разложением по формуле Тейлора

Рассмотрим задачу Коши (6.9) в общем случае на неравномерной сетке [math]\Omega_[/math] . Для получения формулы нахождения последующего значения [math]\widehat_[/math] на шаблоне [math](x_, x_)[/math] разложим решение [math]y(x)[/math] при [math]x=x_[/math] относительно точки [math]x_[/math] по формуле Тейлора на промежутке [math]x_ \leqslant x \leqslant x_\colon[/math]

Входящие в правую часть производные можно определить, дифференцируя уравнение (6.9) требуемое число раз:

Если функция [math]f(x,y)[/math] имеет p-е непрерывные производные по обоим аргументам, то в разложении (6.38) можно учесть слагаемые до [math]O(h_^)[/math] . Чем больше членов разложения используется для вычисления, тем точнее будет приближение и тем выше порядок схемы. Однако рассчитывать производные путем дифференцирования правой части уравнения (6.9) невыгодно. Поэтому Рунге и Кутта независимо друг от друга предложили более удобную и рациональную форму представления численного решения, при использовании которой дифференцировать функцию [math]f(x,y)[/math] не требуется.

В общем случае методы Рунге-Кутты имеют следующую структуру (где [math][/math] ):

где [math]s[/math] — число стадий (этапов), [math]K_[/math] — значения коэффициентов схемы Рунге-Кутты, вычисленные на основе правой части уравнения (6.9), [math]c_,

\ell= \overline<2,s>;[/math] [math]m=\overline<1,s-1>;[/math] [math]b_k,

k=\overline<1,s>[/math] . Первый индекс в обозначениях коэффициентов является порядковым номером, а второй соответствует индексу точки [math]x_[/math] — началу отрезка [math][x_,x_][/math] , на котором производится расчет.

В некоторых методах кроме вычисления приближенного решения [math]\widehat_[/math] определяется еще дополнительное значение [math]\widetilde_[/math] по формуле

порядок которого, как правило, на единицу больше или меньше обеспечиваемого выражением для [math]\widehat_[/math] . Величина [math]|\widehat_-\widetilde_|[/math] служит для учета погрешности и управления величиной шага.

Коэффициенты схемы подбираются так, чтобы выражение для [math]\widehat_[/math] согласовывалось с формулой Тейлора (6.38) вплоть до членов степени [math]h_^

[/math] , где степень [math]p[/math] меняется в зависимости от метода и соответствует порядку схемы.

Наибольшее распространение в вычислительной практике нашел метод Рунге-Кутты четвертого порядка :

Схема (6.41) является четырехчленной, первый коэффициент [math]K_<1,i>[/math] относится к точке [math]x_[/math] , второй и третий — к средней точке [math]x_+ \frac><2>[/math] четвертый — к точке [math]x_[/math] . Для этой схемы выбираются следующие параметры, входящие в (6.39):

Приведем геометрическую интерпретацию метода Рунге-Кутты четвертого порядка (рис. 6.13). Пусть известна точка [math](x_,\widehat_)[/math] на искомой интегральной кривой [math]y=y(x)[/math] . Прямая [math]AE[/math] , проходящая через точку [math](x_, \widehat_)[/math] и определяющая величину [math]\widehat_[/math] , имеет угловой коэффициент. Этот коэффициент рассчитывается по угловым коэффициентам касательных в точках [math]A,B,C,D[/math] , проведенным к проходящим через эти точки интегральным кривым (штриховые линии). При этом коэффициент [math]K_<1,i>[/math] рассчитывается в точке [math]A[/math] , коэффициент [math]K_<2,i>[/math] — в точке [math]C[/math] , коэффициент [math]K_<3,i>[/math] — в точке [math]B[/math] , а коэффициент [math]K_<4,i>[/math] — в точке [math]D[/math] .

1. Схемы Рунге-Кутты легко обобщаются на системы дифференциальных уравнений. Так, применительно к системе двух уравнений

схема Рунге-Кутты четвертого порядка имеет вид [math](i=\overline<0,n-1>)[/math]

2. Соотношения модифицированного метода Эйлера (6.28) можно записать в форме схемы Рунге-Кутты:

Покажем, что эта схема второго порядка. Разложение (6.38) с учетом равенства [math]y»= f_x+ f_\cdot f_[/math] , где [math]f_= f(x_,y_)[/math] , частные производные [math]f_x, f_y[/math] и вторая производная [math]y»[/math] вычисляются в точке [math](x_, y_)[/math] , принимает вид

Разложение функции [math]f(x,y)[/math] относительно точки [math](x_,y_)[/math] можно записать следующим образом:

где частные производные [math]f_x,f_y[/math] вычисляются в точке [math](x_,y_)[/math] . Тогда при [math]x=x_+\frac><2>,

Следовательно, формулу (6.43) можно переписать в виде

Сравнивая последнее соотношение с (6.44), можно сделать вывод о том, что схема модифицированного метода Эйлера согласуется с разложением по формуле Тейлора вплоть до членов степени [math]h_^2[/math] и поэтому является методом Рунге-Кутты второго порядка.

3. Коэффициенты семейства методов Рунге-Кутты (6.39),(6.40) удобно записывать в виде табл. 6.7. Табл. 6.8 соответствует классическому методу Рунге-Кутты четвертого порядка (6.41), а в табл. 6.9 приведены коэффициенты другого метода четвертого порядка (правило [math]3\!\!\not<\phantom<|>>\,8[/math] ). Табл. 6.10 соответствует методу Рунге–Кутты (6.43) второго порядка, табл. 6.11 и 6.12 — методам третьего порядка. В табл. 6.13 даны коэффициенты метода Фельберга четвертого порядка, где формула для [math]\widetilde_[/math] имеет пятый порядок, а в табл. 6.14 — семистадийного метода Батчера шестого порядка. В табл. 6.15 приведены коэффициенты метода Рунге-Кутты-Мерсона четвертого порядка, где формула для [math]\widetilde_[/math] имеет пятый порядок для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и третий порядок для нелинейных систем. Параметры метода Рунге-Кутты-Дормана-Принса пятого порядка приведены в табл. 6.16. Метод Фвльберга седьмого порядка и метод Дормана-Принса восьмого порядка изложены.

4. Для s-стадийных методов Рунге-Кутты справедливо следующее условие устойчивости, определяемое для задачи (6.12):

Если [math]\mu[/math] — действительное число, можно указать интервалы устойчивости: [math]h\mu\in (-2;0)[/math] при [math]s=1,\!2;

h\mu\in(-2,\!51;0)[/math] при [math]s=3;

h\mu\in (-2,\!78;0)[/math] при [math]s=4[/math] и т.д.

Пример 6.6. Для задачи Коши [math]y’=x+y,

x\in[0;0,\!2][/math] выполнить два шага методом Рунге-Кутты второго порядка (6.43) и один (первый шаг) методом четвертого порядка (6.41). Шаг интефирования принять постоянным и равным 0,1. Сравнить оба численных решения с точным [math]y(x)= 2e^x-x-1[/math] .

В данной задаче [math]x_0=0,

y_0=1[/math] . Применим схему (6.43).

Первый шаг [math](i=0)[/math] . В соответствии с постановкой задачи принимается [math]h_1=0,\!1[/math] . Вычислим

Тогда [math]\widehat_1= \widehat_0+ h_1K_<2,0>= 1+0,!1\cdot 1,!1= 1,\!11[/math] .

Второй шаг [math](i=1)[/math] . Так как шаг постоянный, то [math]h_2=0,!1[/math] , a [math]x_1=0,\!1[/math] и, следовательно,

Тогда [math]\widehat_2= \widehat_1+ h_2K_<2,1>= 1,\!11+ 0,\!1\cdot 1,\!316= 1,\!2416[/math] . Точное решение: [math]y(x_2)= 1,\!2428055[/math] . Отличие приближенного решения от точного составляет [math]0,\!096\%[/math] .

Выполним теперь первый шаг методом четвертого порядка по формуле (6.41), записанной при [math]i=0\colon[/math]

При этом вычислим [math]K_<1,0>= x_0+ y_0=0+1=1[/math] ;

Точное решение: [math]y(0,\!1)= 1,\!1103418[/math] .

Сопоставляя точное решения [math]y(x_1)[/math] в точке [math]x_1[/math] с результатами [math]\widehat_1[/math] , полученными по схемам второго и четвертого порядка, можно увидеть, что для схемы четвертого порядка результат [math]\widehat_1[/math] совпадает с точным решением в семи цифрах, а для схемы второго порядка — в трех знаках.

В заключение данного раздела отметим преимущества и недостатки одношаговых и многошаговых схем:

1. Одношаговые схемы позволяют достаточно легко строить алгоритмы с переменным шагом и заданной точностью, что необходимо при расчете функций в областях их больших изменений. Однако они имеют недостаток — приближенные значения искомой функции, рассчитанные на предьщущих шагах, в этих схемах не используются.

2. В многошаговых схемах, напротив, учитываются значения искомой функции, рассчитанные на предыдущих шагах интегрирования, что повышает порядок точности этих схем без использования дополнительных точек на отрезке [math][x_,x_][/math] . Однако эти схемы требуют усложнения расчетных алгоритмов при реализации переменного шага.

Замечание. В явных одношаговых методах обеспечить заданную точность на каждом очередном шаге из текущей точки [math](x_, \widehat_)[/math] можно по следующей методике.

1. Задать начальную величину шага [math]h^<(0)>= x_^<(0)>-x_[/math] и рассчитать значение [math]\widehat_^<(0)>[/math] в точке [math]x_^<(0)>[/math] .

2. Вычислить величину [math]\widehat_^<(1)>[/math] в точке [math]x_^<(0)>[/math] с половинным значением шага [math]h^<(1)>= \frac<1><2>h^<(0)>[/math] (до достижения точки [math]x_^<(0)>[/math] выполняются два шага).

3. Если [math]\bigl|\widehat_^<(1)>-\widehat_^<(0)>\bigr| , то перейти к нахождению приближенного решения в точке [math]x_^<(0)>= x_^<(0)>+ h^<(0)>[/math] . Иначе осуществить еще одно дробление шага, т.е. вычислить [math]h^<(2)>= \frac<1><2>h^<(1)>[/math] , и найти [math]\widehat_^<(2)>[/math] в точке [math]x_^<(1)>= x_+ h^<(1)>[/math] .

4. Сравнить решения, полученные с шагом [math]h^<(1)>[/math] и [math]h^<(2)>[/math] в точке [math]x_^<(1)>[/math] . Если желаемая точность достигнута, расчеты продолжить с шагом [math]h^<(1)>[/math] , а если нет, то процесс дробления шага продолжить до достижения заданной точности.

Принцип аналогий

Данный метод следует из обобщения интегрально-интерполяционного принципа. Он основан на применении интерполяционных интегрально-дифференциальных сплайн-функций, преобразования которых — параметрические соотношения, аппроксимационные формулы для производных и квадратурные формулы — используются для получения разностных схем решения задачи Коши. Приведем некоторые из этих соотношений, соответствующих задаче аппроксимации некоторой произвольной функции [math]\Phi(x)[/math] многочленами второй степени:

а) параметрическое соотношение, связывающее интерполируемую функцию [math]\Phi(x_)[/math] и ее производную [math]\overline_= \Pho'(x_)\colon[/math]

б) формула аппроксимации первой производной в точке [math]x_[/math] на трехточечном нерегулярном шаблоне [math](x_, x_,x_)\colon[/math]

s,\,p[/math] — целые числа [math]\left(H_^= h_(s+ p\cdot \delta_),

в) квадратурная формула экстраполяционного типа, имеющая четвертый порядок:

Эта формула при [math]h_= h=\text[/math] упрощается:

г) двухинтервальная (трехточечная) обобщенная на нерегулярный шаблон квадратурная формула парабол четвертого порядка на отрезке [math][x_,x_][/math] , выражающая сумму «удельных» значений интегралов через линейную комбинацию значений [math]\Phi_, \Phi_, \Phi_\colon[/math]

д) одноинтервальная (трехточечная) функциональная квадратурная формула четвертого порядка на отрезке [math][x_,x_][/math]

которая при [math]h_= h=\text[/math] преобразуется к более простому виду:

Анализ остаточного слагаемого, получающегося при оценке погрешности квадратурной формулы (6.50) (см. мажоранту в скобках справа от данной формулы), указывает на то, что при сгущающейся вправо сетке (условная аппроксимация интеграла) порядок точности формулы может быть повышен на единицу без увеличения количества точек шаблона. Действительно, при [math]\delta_ легко получить приближенное условие повышения порядка: [math]h_ \leqslant h_^2[/math] . Таким образом, в данном случае порядок повышается за счет значительного уменьшения шага, такого, что [math]h_[/math] не превышает квадрата шага [math]h_[/math] . Этот факт может быть использован при решении задачи Коши на нерегулярном шаблоне;

е) две одноинтервальные (двухточечные) квадратурные формулы функционально-дифференциального типа:

ж) интегрально-функциональное параметрическое соотношение, осуществляющее связь интегралов и производных:

Дискретные явные или неявные схемы для решения задачи (6.9) получаются из приведенных соотношений либо посредством аппроксимации производной, либо путем соответствующей замены одних параметров, относящихся к параметрическому соотношению или к квадратурной формуле, на другие параметры. Этот способ построения схем называется способом аналогий .

Так, заменяя в (6.46) [math]\Delta\Phi_[/math] на [math]\Delta y_[/math] , а [math]\overline_[/math] на [math]f_

(k=i,i-1)[/math] и разрешая относительно [math]\widehat_[/math] , получаем двухшаговую явную схему второго порядка (2Я2А):

которая при [math]h_= h= \text[/math] преобразуется к виду [math]\widehat_= 2\widehat_-\widehat_+ h(f_-f_)[/math] .

Комбинация схем (6.54) и (6.24) дает обобщенную на нерегулярный шаблон схему Адамса—Бэшфорта (2Я2В):

которая при [math]h_= h= \text[/math] преобразуется к виду (6.32): [math]\widehat_= \widehat_+ \frac<2>(3f_-f_)[/math] .

Аппроксимационная формула (6.47) определяет неявную двухшаговую схему второго порядка (2НЯ2):

которая при [math]h_= h= \text[/math] принимает вид

Замечание. Схема (6.57) является одним из методов Гира , получаемых на основе формул дифференцирования назад, связывающих значение производной в точке [math]x_[/math] со значениями функции в предыдущих точках [math]x_,\ldots, x_[/math] (см. рис.6.2). Схема (6.57) является схемой второго порядка, а неявный метод Эйлера — схемой первого порядка. Приведем более точные многошаговые схемы, записанные на регулярных шаблонах:

– схема третьего порядка:

– схема четвертого порядка:

– схема пятого порядка:

– схема шестого порядка:

Известно, что схема (6.58) является A(α)-устойчивой с [math]\alpha\cong 68^<\circ>[/math] .

Все рассматриваемые ниже схемы получаются из квадратурных формул (6.48)-(6.52), в которых вместо разности первообразных [math]F_-F_= I_^[/math] подставляется [math]\Delta \widehat_[/math] , а вместо [math]\Phi_(k=i-2,i-1,i)[/math] и [math]\Phi’_[/math] подставляются [math]f_[/math] и [math]f’_[/math] . При этом порядки точности схем на отрезке [math][a,b][/math] соответствуют порядкам точности вычисления интегралов на всем отрезке интегрирования.

Преобразуя таким образом квадратурную формулу (6.48), получаем явную трехшаговую схему третьего порядка (ЗЯЗ):

При [math]h_= h= \text[/math] она является традиционной, получающейся интегрально-интерполяционным методом (6.33):

Из обобщенной формулы (6.49) следует первая двухшаговая неявная схема третьего порядка (2НЯЗА), которая при [math]h_= h= \text[/math] преобразуется к виду (6.29)

Одноинтервальная (трехточечная) квадратурная формула (6.50) определяет вторую двухшаговую неявную схему третьего порядка (2НЯЗБ)

Эта схема в соответствии с вышеприведенной оценкой точности интеграла при [math]\delta_ \leqslant h_[/math] имеет не третий, а четвертый порядок точности. При [math]h=\text[/math] эта схема преобразуется к виду (6.36):

И наконец, последние приводимые здесь схемы следуют из квадратурных формул (6.51), (6.52) (неявные одношаговые схемы) и параметрического соотношения (6.53) (неявная двухшаговая схема):

где [math]f’=f_+f_\cdot f[/math] . Эти схемы обозначаются 1НЯЗА, 1НЯЗБ, 2НЯЗД соответственно.

При [math]h_= h= \text[/math] последняя схема преобразуется к виду

Для применения разностных схем, полученных с помощью четырех различных подходов, можно использовать общую методику.

Методика решения задачи Коши методами сеток

1. В соответствии с требуемой точностью решения задачи Коши выбрать численный метод (схему) определенного порядка аппроксимации и типа (явный или неявный, одношаговый или многошаговый).

2. Задать сетку [math]\Omega_[/math] или выбрать ее параметр ( [math]h[/math] , если сетка равномерная; [math]h_,

i=\overline<0,n-1>[/math] , если сетка неравномерная). Если выбранный метод является ограниченно устойчивым, то для задания параметра сетки оценить величину критического шага.

3. Если выбранный метод многошаговый, найти требуемое число «разгонных» точек.

4. Найти приближенное решение задачи Коши во всех точках сетки [math]\Omega_[/math] . Если выбран явный метод, каждая следующая точка [math]\widehat_[/math] рассчитывается по явной формуле, а если неявный, то с помощью решения в общем случае нелинейного алгебраического уравнения (6.11) одним из численных методов.

5. Оценить достигнутую точность. В случае невыполнения требований повторить расчеты, меняя значение шага или используя более точный метод.