Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3 Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Меражова Шахло Бердиевна, Нуриддинов Жавлон Зафарович, Меражов Нурсаид Икром Угли, Хидиров Умиджон Бахронович
В этой статье показываем, какими способами можно решать задачи Коши , поставленные для уравнений волны . Студенты затрудняются при решении задач по уравнениям математической физики в многомерных случаях. Здесь мы рассматриваем способы решения задачи Коши для уравнения волны в двумерном и трехмерном случае, т.е., когда и . Мы анализируем использование формулы Пуассона и Кирхгофа в разных случаях начально заданных функций, также эти формулы заданы в полярной и сферической системе соответственно. Показали использование формулы (4), заданной в этой статье. Можно использовать эти формулы при решении задачи Коши для уравнения волны .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Меражова Шахло Бердиевна, Нуриддинов Жавлон Зафарович, Меражов Нурсаид Икром Угли, Хидиров Умиджон Бахронович
Текст научной работы на тему «Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3»
МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ п = 2 И п = 3 Меражова Ш.Б.1, Нуриддинов Ж.З.2, Меражов Н.И.3, Хидиров У.Б.4
1Меражова Шахло Бердиевна — старший преподаватель;
2Нуриддинов Жавлон Зафарович — старший преподаватель, кафедра математики; 3Меражов Нурсаид Икром угли — студент; 4Хидиров Умиджон Бахронович — магистр,
физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в этой статье показываем, какими способами можно решать задачи Коши, поставленные для уравнений волны. Студенты затрудняются при решении задач по уравнениям математической физики в многомерных случаях. Здесь мы рассматриваем способы решения задачи Коши для уравнения волны в двумерном и трехмерном случае, т.е., когда п = 2 и п = 3. Мы анализируем использование формулы Пуассона и Кирхгофа в разных случаях начально заданных функций, также эти формулы заданы в полярной и сферической системе соответственно. Показали использование формулы (4), заданной в этой статье. Можно использовать эти формулы при решении задачи Коши для уравнения волны.
Ключевые слова: уравнения с частными производными, уравнения волны, задача Коши, формула Пуассона, формула Кирхгофа, оператор Лапласа.
В этой статье показываем какими способами можно решать задачи Коши, поставленные для уравнений волны в случае п = 2 и п = 3 [1], [2], [3].
Из курса уравнения математической физики известно решение этих задач, представляемое в виде формул Пуассона и Кирхгофа соответственно.
Постановка задачи. Из класса С 2 (г > 0) С1^ > 0) надо найти такую функцию и(х, г) , которая при г > 0 удовлетворяет следующего уравнения волны; ии = а2 Аи + f (х, I) и следующие начальные условия :
и I=+о = мо(х), иг I=+о = м1(х), где /, м0, м1 — заданные функции.
Эта задача называется классической задачей Коши для уравнения волны. Решение задачи: Если для начально заданных функций выполняются следующие условия:
г е СЧг > 0), м0 е С2^), м1 е С1^1), п=1; /• е С2(Г > 0), м0 е С3(Яп), м1 е С), п=2,3,
тогда существует притом единственное решение задачи Коши и решения определяются при помощи следующих формул: при п = 1 формулой Даламбера;
1 1 х+аг 1 г х+а(г-т)
и(х, г) = — [и0(х + аг) + и0(х — аг)]+—-1 | f . (1)
при п = 2 формулой Пуассона:
-— а21 Аки0(х. х )+ —-а21 Аки.(х . х )+ —’-г(X-т)2к+1Ак/(х1. х ,т)г
(2к)! ^ (2к + 1)! ^ (2к + 1)! ^ ‘ М 1 п Г
где Л — оператор Лапласа, который применяется на функции и0, и1, / соответственно к = 0,1,2. раз. Когда начально заданные функции многочлены, тогда лучше использовать формулу (4).
Пример: ([31) Решите следующую задачу:
и„ = их + иу + и„ + ах + Ы
и(х, у, 2,0) = ху2 ut (х, у, 2,0) = ху + 2 Решение: и0 = ху2 применим оператор А столько раз, сколько нам нужно
^гайгпг лЛи0 = и0 = ху2 ; А1^ = Аи (х, у, 2) = и0хх + и0уу + и0„ = 0 + 0 + 0 = 0. В
следующих применениях оператора Лаплас получим ноль, поэтому здесь остановим применение.
Такие же вычисления выполняем для функций и1, / : А0и1 = и1 = ху + 2 ;
А1и1 = А2и1 =. = 0; А0/ = / = ах + Ы; А1 / = А2/ =. = 0. Вычисления вставим в формулу (4) и в итоге получаем решение задачи Коши:
и( х, у, 2, X) = ху2 + X (ху + 2) + г (X — г)(ах + Ыт)йт = хуг +1( ху + 2) +—1—.
0 2 6 При п = 2 и п = 3 для решение задачи Коши используем формулы Пуассона и Кирхгофа соответственно, но иногда для вычисление этих интегралов, лучше переход от Декартовой координатной системы в полярную и сферическую координатную систему. Поэтому приведём формулы Пуассона и Кирхгофа в полярной и сферической координатной системе соответственно: Формула Пуассона:
и(х,X) = -1- г г , /(к,г)к +г , ^ +
2га 0 к-х^-г^а2(X — г)2- \ к — х\2 2га ^ ^ д/а2t2- \ К — х \2
+ г и0(№ = ¡УУ(х + рС0фу + р1пф,т) рй(рйф +
2 га ¡\ Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.