Задача коши для уравнения пуассона

Задача Коши для уравнения теплопроводности

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности отвечающее случаю . отсутствию источников. Задача Коши ставится так: найти функцию t), удовлетворяющую уравнению и начальному условию Задача Коши для уравнения теплопроводности Физический смысл задачи состоит в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по известной его температуре в момент времени . Считается, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, так что через нее тепло из стержня не уходит.

Предположи м, что достаточно гладкие функции, убываююте при х2 +t2 +00 настолько быстро, что сущ ествуют преобразования Фурье 2) законны операции дифференцирования Тогда, применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1) и условию (2), от задачи (1)-(2) перейдем к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (величина £ играет роль параметра). Решение задачи (5)-(6) имеет вид Ранее мы установили, что где преобразование Фурье функции .

Отсюда, полагая t = получаем Таким образом, в правой части равенства (7) стоит произведение преобразований Фурье функций Пользуясь теоремой о свертке, в силу которой равенство (7) можно представить в виде Левая часть формулы (8) есть преобразование Фурье (по аргументу х) искомой функции и(х, t) , так что формулу (8) можно переписать так: откуда, пользуясь выражением для свертки функций 4>(х) ие Л, имеем Полученная формула дает решение исходной задачи (1)-(2) и называется интегралом Пуассона.

В самом деле, можно доказать, что для любой непрерывной и ограниченной функции ipt), определяемая формулой (9), имеет производные любого порядка по х и по t при t > 0 и удовлетворяет уравнению (1) при t > 0 и Vx. Покажем, что функция удовлетворяет начальному условию . Положим Тогда так что откуда при получим так как Сформулируем следующий важный результат. Теорема 1. В классе ограниченных функций решение задачи Кош и (1)-(2) единственно и непрерывно зависит от начальной функции. Пример.

Найти решение задачи Коши Задача Коши для уравнения теплопроводности А Пользуясь формулой Пуассона (9), получаем Прообразуем интеграл в правой чести.

Имеем Сделаем замену переменного Тогда интефал в правой части последнего равенства примет вид Из формулы (и) (Здесь мы воспольэов опись тем, что получаем, что / Таким образом, решение поставленной задачи о предел и тся формулой Лелю видеть, что построен ноя функция u(x,f) удовлетворяет начальному условию (2′). Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что ата фуниция при удовлетворяет уравнение SautWtl. Из формулы Пуассона (9) следует, что тепло расоросграня ется вдоль стержня мгновенно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Действительно, пусть начальная температура ) положительна для и равна нулю вне этого отрезка. Тогда для последующего распределения температур получаем откуда видяо, что при сколь угодно малых t > 0 и сколь угодно больших |х| имеем tt(x,t) > 0. Это обьяс кяется неточностью теоретических предпосылок при выводе уравнения теплопроводности , не учитыва юших инерциальн ость движе ния молекул. Тем не менее, уравнение тепло про водности дает хорошее количественное согласование с опытом. Более точное описание процессов переноса тепла дается так называемыми уравнениями переноса. 2.1.

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности Функция входящая в формулу Пуассона (9), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Рассматриваемая как функция аргументов х, t, она удовлетворяет уравнению щ = а2ихх, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Фундаментальное решение имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Допустим, что начальное распределение ip(x) температур таково:

Тогда в силу (9) распределение температур и, в стержне будет иметь вид По теореме о среднем где имеем Переходя в последнем равенстве к пределу при е -* 0, получим Это означает, что функция G(x, t\ хо) представляет распределение температур в стержне в момент t > 0, если в начальный момент t = 0 в точке х = Хо имелся бесконечный пик температур (при е -* 0 функция 4>е<х) +оо), а в остальных точках стержня температура была равна нулю.

может быть приближенно реализовано следующим образом: в момент t = 0 к точке х = Хо стержня на очень короткий промежуток времени подносится узкое пламя очень высокой температуры (тепловой импульс плотности ср). Это начальное распределение температур описы вается так называемой 6 — функцией Дирака, обозначаемой символом 6(х — Хо).

Не являясь функцией в обычном смысле, б-функция определяется формально при помощи соотношений на любом интервале (а, Р), содержащем точку хо Основным свойством, определяющим б-функцию, является следующее: для всякой непрерывной функции f(x) Таким образом, фундаментальное решение G(x, t\xq) является решением уравнения теплопроводности в бесконечном стержне при начальном распределении температуры График функции G(x>t;xa) при в различных значениях t > Оимеетвид (рис. 1).

Кривые 1, 2, 3 соответствуют моментам времени • Рисунок показывает, каквыравнива-ется температура в стержне после теплового импульса. Решение Задача Коши для уравнения теплопроводности задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии можно рассматривать как результат суперпозиции температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов интенсивности у>(Л) в точке Л, приложенных в момент t = 0.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Максимова Екатерина Алексеевна

Рассмотрена система уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу . Получено решение задачи Коши для случая, когда характеристические числа матрицы-коэффициента комплексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (−1/2, 0).

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Максимова Екатерина Алексеевна

Solution of the Cauchy problem for system of Euler-Poisson-Darboux equations

The system of Euler-Poisson-Darboux equations is considered, the Cauchy problem is solved for the case, when characteristic numbers of matrix-coefficient are complex conjugate and having real part in the interval (−1/2, 0).

Текст научной работы на тему «Решение задачи Коши для системы уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: katyuha_mak@mail. ru

Рассмотрена система уравнений Эйлера—Пуассона—Дарбу. Получено решение задачи Коши для случая, когда характеристические числа матрицы-коэффициен-та комплексно-сопряжённые с действительной частью из интервала (—1/2, 0).

Ключевые слова: метод Римана, задача Коши, система уравнений Эйлера-Пуассона—Дарбу.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных

d2U d2U 2 GdU_ дх2 ду2 у ду ’

где U = (u\(x,y),U2(x,y))T—неизвестная вектор-функция, G — действительная 2 х 2-матрица.

В работе [1] построена матрица Римана и с её помощью получено решение задачи Коши для системы (1) в случае, когда спектр матрицы G принадлежит интервалу ( — 1/2,1/2). В [2] получено решение задачи Коши для случая, когда собственные значения матрицы G — комплексно-сопряжённые числа с действительной частью из интервала (0,1/2).

Цель данной работы — найти решение задачи Коши для случая, когда матрица G имеет комплексно-сопряжённые собственные значения Ai, А2 с действительной частью из интервала ( — 1/2, 0): + щ2, Х2 = l-Ч — Щ2, Mi G (—1/2,0), jj,2 ^ 0.

Задача Коши. Найти вектор-функцию U(х, у), удовлетворяющую следующим условиям:

Д = VМ1 (——Ль г) сов(р2 1п V) + у>(Льг) вт(/х21пУ)) +

E(ip(\\,r) cos(ц2 In V) + V>(Ai, г) sin(yU,2 In У)) J.

^(Льг) = 11е(2л( М1 +*М2^М1 +*М2 ;г^

^(Аьг) =1ш(2^1( М1 +*М2^М1 +*М2 ;г^_

Если £/(£. ) является решением системы уравнений (5), а Д(£, о, ??о)

матрица Римана этой системы уравнений, то, используя свойства матрицы Римана и векторный аналог тождества Грина [4], получаем

ад c)R 4ДС \ dry i-ц)

В равенстве (8) непосредственно переходить к пределу при е —> 0 нельзя, так как все внеинтегральные члены стремятся к бесконечности, а интеграл J±(e) не существует. Интегрируя по частям Ja(e), применяя формулу автотрансформации и переходя к пределу при е —> 0, получим решение задачи Коши (6), (7) для системы уравнений (5) в области Н, которое имеет вид

1 — Еф(Х1,1)) J cr_Ml (t) sin ^2 Inz/(t)dt+

+ (*7-0“2#,1_1 х J CTM1 (t) sin (^л2 In

— ^ (E(p(-M,l) + ifiV’(-Abl)) J crMl (t) cos In ^ (V + £

+ (K2ip(-\i,l) + К3ф(-Х1,1)) J crMl (t) cos In ) r(t)dt+

+ (К2ф(-Х1,1) — K3ip(-X1,l)) J crMl (t) sin In ^ r(t)dt

K3 = ( 1 + 2ц1)К1 — 2/j,2E, a(t) = (t — £)(ry — t),

on 1 i V / / л i\ v-V’n(Abl)

¥>(Abl) = 1 + у ———-, V’(Abl) — 4

^ (1 )„n! ’ rv 1J ‘ ^ (1 )„n! ’

y>n+i(Abl) = ((mi + n)2 — M2)^n(Ai,l) — 2/л2(a*i + п)фп(Abl),

VVi+i(Ai,l) = ((mi + n)2 — At2)V’n(Ai,l) + 2fj,2(fj,\ + n)y>n(Abl),

¥>i(Abl) = — М2, V’i(Abl) = 2/X1/X2-

Теорема. Если т(х) G С^3[0,1] и v(x) G С2(0,1), то задача Коши (2), (3) для уравнения (1) корректна по Адамару.

Замечание. Положив в (9) мi = 0, получим решение задачи Коши для случая мнимых собственных значений матрицы G.

1. Андреев А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / В сб.: Дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. тр. мат. кафедр пединститутов РСФСР. Вып. 16. Рязань: Рязан. гос. пед. инст., 1980. С. 9-14. [.Andreev A. A. On a class of systems of differential equations of hyperbolic type / In: Partial differential equations. Ryazan: Ryazan. Cos. Ped. Inst., 1980. Pp. 9-14].

2. Андреев А. А., Максимова E. А. Решение задачи Коши для одной системы гиперболического типа с сингулярными характеристиками / В сб.: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 11-17. [Andreev A. A, Maksimova Е. A. The solution of the Cauchy problem for one hyperbolic system with singular characteristics / In: Proceedings of the Eighth All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2011. Pp. 11-17].

3. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 549 с. [Gantmakher F. R. Theory of matrices. Moscow: Nauka. 549 pp.]

4. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1966. 164 с.; англ. пер.: Bitsadze А. V. Equations of the Mixed Type. New York: Pergamon Press, 1964. 160 pp.

Поступила в редакцию 21 /III/2011; в окончательном варианте — 23/VIII/2011.

SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM OF EULER-POISSON-DARBOUX EQUATIONS

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

The system of Euler-Poisson-Darboux equations is considered,, the Cauchy problem is solved for the case, when characteristic numbers of matrix-coefficient are complex conjugate and having real part in the interval (—1/2, 0).

Key words: Riemann method, the Cauchy problem, partial differential equations, Euler-Poisson-Darboux equation.

Original article submitted 21 /III/2011; revision submitted 23/VIII/2011.

Ekaterina A. Maksimova, Postgraduate Student, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.