Решение уравнении (нахождение корней уравнения)
Решение уравнении ( нахождение корней уравнения )
Уравнение – это равенство двух выражений с переменными.
Решить уравнение –найти корни данного уравнения или доказать, что их нет.
1. Раскрыть скобки, если они имеются, применяя распределительное свойство
a ( b + c ) = a b +a c
( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d
2. Корни уравнения не изменятся, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменяя при этом его знак.
( Выражения с переменными собираем в одну сторону, числа в другую сторону, меняя знаки выражении и чисел при переходе через знак равенства.) Пример :
3 ( 2 + 1,5 x ) = 0,5 x + 24
6 + 4,5 х = 0,5 х + 24
4,5 х – 0,5 х = 24 – 6
Пример: вычислите координаты точек пересечения прямой 5 х + 7 у = 105 с осями координат.
Решение : 1) с осью ОХ точка ( 21 ; 0 )
у=0 ; 5 х + 7 *0 = 105 отсюда х = 21
2) с осью ОУ точка ( 0 ; 15 )
х=0; 5*0+7 у = 105 отсюда у = 15
Ответ: с осью ОХ точка ( 21 ; 0 ) и с осью ОУ точка ( 0 ; 15 ).
3. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и тоже число, не равное 0
Пример : ! *4
Решение рациональных уравнений.
Пример:
Пример :
ОДЗ х (х +1 ) = 0
разделим на – 1
х =0,5 не удовлетворяет условию ОДЗ.
Пример :
Разложим квадратные трехчлены на множители по формуле ,где — корни квадратного уравнения
дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
2x+2+6x – 24 — +4x — x+4=0 О. Д.З.
—+ 11x – 18 = 0
— 11x + 18 = 0
По теореме Виета
Отсюда корни данного уравнения 2 и 9.
Пример : Чему равно произведение корней уравнения
Решение: Произведение равно нулю, если один из множителей равен 0 .
и ; ОДЗ
ОДЗ удовлетворяют три корня и их произведение равно
преобразуем выражение
обозначим
Получаем квадратное уравнение , корни которого 4 и 1,5.
Отсюда 1)
2)
Ответ:
Решение биквадратных уравнений
Ответ : -0,5 ; 0,5 ; — 1 ; 1 .
Пример :
по теореме Виета
Отсюда
x – 2 = — 2 x – 2 = 2
Ответ : 2 ; -6 ; 1 ; -5 .
Метод группировки при решений уравнении:
х +3=0 или х – 2 = 0 или х +2 = 0
х = — 3 х = 2 х = — 2
Ответ : — 3 ; — 2 ; 2 .
Пример :
Произведение равно 0 , если один из
множителей равен 0. , решаем квадратное уравнение:
=0 По теореме Виета имеем
Решение систем уравнений
Опр. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Методы решение систем уравнений.
1) графический (строим графики уравнений системы, находим по графикам точки пересечения, координаты точек пересечения будут и решениями системы уравнений ).
строим отдельно графики прямых 2х+3у=5 и 3х – у = — 9
Строим графики данных функций в одной системе координат и находим координаты точек пересечения. В данном примере одна точка пересечения и его координаты равны х = — 2 и у = 3 .
2) метод подстановки ( выражаем одну переменную через другую в одном из уравнении подставляем во второе уравнение и решаем полученное уравнение относительно одной переменной, найденное значение переменной подставляем во второе уравнение и находим вторую переменную. и записываем ответ )
Пример : решить систему уравнений
— 5x +2 (7 – 3x)=+4y) – 2y=30
-5x +14 – 6x = 3 75 + 12y – 2y=30
-11x = 3 – 14 10y=30 — 75
— 11x = — 11 10y= — 25
x=1 y = 7 – 3 *1=4 y= — 2,5 x= 25+4*(- 2,5)=15
Ответ : х = 1 ; у = 4 Ответ: х = 15 ; у = — 2,5
3) метод сложения ( умножаем обе части первого уравнения на одно число , обе части другого уравнения на другое число, эти два числа таковы, что при умножении их получаются одинаковые переменные с противоположными коэффициентами )
Пример : решить систему уравнении
+
Ответ : а = 10 b = 5
Пример : решить систему уравнении
+ — 33у= — 165 у = 5
Ответ : х = — 10 у = 5
Пример : вычислите координаты точек пересечения прямых
2 х – 3 у = 7 и 5 х + 4 у =6
Решение: по условию координаты точек удовлетворяют обоим уравнениям, то есть являются решением системы данных уравнений.
Прямая y= k x + b проходит через точки А ( — 1 ; 3 ) и В ( 2 ; Напишите уравнение этой прямой.
Решение : подставляем в уравнение прямой значения координат заданных точек и получаем систему уравнении.
y = k x +b ; подставляем значения k и b, и получаем уравнение прямой :
Ответ:
Пример : решить систему уравнении
Далее решаем методом сложения
Подставляем в 1-ое уравнение
Находим координаты точек пересечения (-2;-1) , (-2;1) , (2;-1) , (2;1)
Отсюда решаем две системы уравнении.
Решая методом сложения получаем:
подставляя в первое уравнение получаем:
Это же уравнение можно решить методом подстановки.
пусть получаем
u-3(4-2u)=9 v=4 – 2*3= — 2
подставляя значения u и v получаем :
Ответ: .
Решение систем уравнений второй степени
Ответ : ( -3 ; -1 ) и ( 0,7 ; 5,5 )
Вычислите координаты точек пересечения парабол:
Чтобы вычислить точки пересечения парабол, надо решить систему уравнении
Отсюда точки пересечения парабол имеют соответствующие координаты.
Ответ:
Уравнения с параметрами:
Пример : Найдите все значения k , при которых уравнение имеет два корня.
Решение : Уравнение имеет два корня, если D>0 . Найдем
Ответ :
Пример 2: При каком значений m уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.
Решение: Вынесем за скобки х, получаем
Один из корней равен 0, тогда уравнение имеет один корень при D=0,т. е. 36 – 4m=0, m=9.
Уравнение имеет один корень равный -3.
Пример 3: При каких значениях p корни уравнения
принадлежат промежутку
Решение: Определяем значения p, при которых данное уравнение имеет два корня.
при любых значениях p
Отсюда
Тогда получаем систему неравенств отсюда , так как p меньший корень, а p+2 больший корень.
Ответ:
Пример 4: При каких значениях b уравнение , имеет два различных положительных корня?
Решение: уравнение имеет два корня, значит дискриминант больше 0.
Так как по условию корни положительные, то
Корни положительны, если b+1 2.
Учитель математики Мари–Куптинской средней школы
Предлагаемое учебное пособие позволяет подготовится к сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. Пособие содержит примеры решений уравнений и систем уравнений.
Пособие предназначено учащимся старших классов средней школы и учителям.
Мари – Купта, 2007 год.
1. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе.
2. Итоговая аттестация – 2007 . Предпрофильная подготовка. Под редакцией
Алгебра
План урока:
Иррациональные уравнения
Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.
Приведем примеры иррациональных ур-ний:
Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести
Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.
Простейшие иррациональные уравнения
Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:
где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.
Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:
Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии
n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:
Пример. Решите ур-ние
Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:
Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).
Пример. Найдите решение ур-ния
Решение. Возведем обе части в пятую степень:
х 2 – 14х – 32 = 0
Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324
Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.
Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Возводим обе части во вторую степень:
х – 2 = х 2 – 8х + 16
D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9
Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):
при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1
при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2
Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:
3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3
3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3
Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:
Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.
Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:
при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1
Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:
Уравнения с двумя квадратными корнями
Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Перенесем вправо один из корней:
Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:
Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:
Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:
(2х – 4) 2 = 13 – 3х
4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х
4х 2 – 13х + 3 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121
Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:
Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3
На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.
Введение новых переменных
Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние
Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.
Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:
х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0
Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид
Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:
D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64
Получили два значения t. Произведем обратную замену:
х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9
Возведем оба ур-ния в четвертую степень:
(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4
х = 1 или х = 6561
Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:
В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0
Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:
Его корни вычислим через дискриминант:
D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121
Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:
х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3
Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.
Замена иррационального уравнения системой
Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:
Исходное ур-ние примет вид
Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:
Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:
Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:
(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2
из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:
17 = u 3 + (5 – u) 2
17 = u 3 + u 2 – 10u + 25
u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0
Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа
подставим полученные значения в (4):
x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3
x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64
х = – 5 или х = 2 или х = – 70
Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим
Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:
Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:
Итак, все три числа прошли проверку.
Уравнения с «вложенными» радикалами
Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:
При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:
Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:
Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:
Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:
Возводим в квадрат и получаем:
х 2 + 40 = (х + 4) 2
х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16
И снова нелишней будет проверка полученного корня:
Иррациональные неравенства
По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:
Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.
Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида
Может быть справедливым только тогда, когда
То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во
при четном n можно заменить системой нер-в
Пример. При каких значениях x справедливо нер-во
Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:
х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)
Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во
чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.
Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.
Пример. Найдите решение нер-ва
Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:
x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0
D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81
Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:
Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.
Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.
Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид
Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.
Пример. Решите нер-во
Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):
И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:
D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.
стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:
f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);
g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).
Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.
Пример. Решите нер-во
Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим
х 2 – 10х + 21 > 0(1)
Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:
Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:
Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):
Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:
Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:
Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:
Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:
Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).
Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3
Практическое занятие .Нахождение корней уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Практическое занятие № 19.Нахождение корней уравнений. Равносильность уравнений. Преобразование уравнений.
Цель занятия :
Владение стандартными приемами находить корни, обобщать, систематизировать, видеть равносильность преобразования уравнений.
Образец решения:
Пример 1
Уравнения х 2 -4=0 и (х+2)*(2х-4)=0 — равносильны?
Решение:
Решим первое уравнение:х 2 -4=0 имеет корни х=±2, т.к. х 2 =4;
Решим второе уравнение (х+2)*(2х-4)=0, т.к. х+2=0, x=-2 или 2х-4=0, 2х=4, х=2.
Ответ: да, так как имеют одинаковые корни.
Пример 2
Проверить на равносильность уравнения: х 2 +1=0 и =0.
Решение:
х 2 +1=0 –не имеет корней в области действительных чисел R=(-∞; +∞)
и =0.-не имеет корней в области R=-∞; +∞
Ответ: равносильны, так как они не имеют корней.
Пример 3
Определить уравнение-следствие при решении уравнений x-2=3 и х 2 -25=0. Решение:
Уравнение x-2=3 имеет корень 5, уравнение х 2 -25=0 имеет корни ± 5. Так как корень уравнения x-2=3 является корнем уравнения х 2 -25=0, то уравнение х 2 -25=0 является следствием уравнения x-2=3.
Пример 4
Решить двумя способами уравнения и сделать вывод:
а) = х-1;б) =
х≥-11 , далее возведём обе части уравнения в квадрат:
х 2 -3х-10=0, решим его через дискриминант
х 1 =-2; х 2 =5.Оба корня принадлежат ОДЗ уравнения, но это не меняет сути дела и мы вынуждены выполнить проверку корней.
Проверка: при х 1 =-2, получим -2+11=-2-1 — неверное равенство, х 1 =-2 — посторонний корень;
при х 2 =5, получим 5+11=5-1 или 4=4 — верное равенство, 5 — корень исходного уравнения.
Ответ: 5
второй способ:
Исходное уравнение равносильно системе:
Решение системы исходного уравнения х2=5 . Ответ: 5
б ) =
Решений нет
Значит, ОДЗ уравнения пустое множество, уравнение решений не имеет
Ответ: корней нет
второй способ:
Исходное уравнение равносильно системе:
Системы решений не имеют, значит, и исходное уравнение тоже решений не имеет
Ответ: корней нет.
Вывод: При решении иррациональных уравнений – возведение обеих частей уравнения в четную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ, то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.
Пример 5
Решить уравнение: │2х-3│=5
Решение: Данное уравнение равносильно системам, на основании определения модуля:│ а│
Пример 6
Являются ли уравнения равносильными: 2 х -2 х-4 =15 и х+=7?
2 х -2 х-4 =15 – показательное уравнение
По свойству степеней:
2 х -2 х :2 4 =15, 2 х (1-=15; 2 х * =15 , 2 х =16, х=4 – корень уравнения х+=7 – иррациональное уравнение
ОДЗ:
25-х 2 ≥0
х ∈( -5; 5)
Данное уравнение равносильно системе:
2х 2 -14х+24=0 ,разделим все коэффициенты на 2
х1=4, х2=3- корни уравнения
Ответ: неравносильны, так как уравнения имеют не одинаковые корни.
1 вариант
1. Уравнения х 2 -9=0 и (х+3)*(3х-18)=0 — равносильны?
2.Решить 2-мя способами уравнение:
=х+2 и сделать вывод
3.Равносильны ли уравнения:
5 х+1 +5 х =750 и х 2 -9=0?
4.Решить уравнение:
sin4х=0 и вычислить полученный результат при k=0; ±2
5.Найти корень уравнения:
1.Уравнения х 2 -64=0 и (х+8)*(4х-32)=0 — равносильны?
2.Решить 2-мя способами уравнение:
и сделать вывод
3.Равносильны ли уравнения:
6 х+2 -6 х =35 и х 2 =0?
4.Решить уравнение:
cos6х=1 и вычислить полученный результат при k=0; ±12
http://100urokov.ru/predmety/urok-11-uravneniya-irracionalnye
http://infourok.ru/prakticheskoe-zanyatie-nahozhdenie-kornej-uravnenij-ravnosilnost-uravnenij-preobrazovanie-uravnenij-4374796.html