Задача неймана для уравнения лапласа в кольце

Задача неймана для уравнения лапласа в кольце

На этой странице нашего сайта размещены учебно-методические пособия по уравнениям математической физики (классический курс) в форме презентаций, которые использовались при проведении дистанционных занятий со студентами МФТИ в марте-мае 2020 года во время самоизоляции, вызванной коронавирусной инфекцией.

Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам МФТИ в заданиях для самостоятельной работы и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.

Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам МФТИ, осваивающим классический курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов.

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с построением функции Грина оператора Штурма-Лиувилля.

Содержание

1. Оператор Штурма-Лиувилля
2. Задача Штурма-Лиувилля
3. Построение функции Грина оператора Штурма-Лиувилля
4. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению
5. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в круговых областях на плоскости.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
2. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в круге
3. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга
4. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце
5. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в круге. Необходимое условие разрешимости
6. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга. Необходимое условие разрешимости
7. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце. Необходимое условие разрешимости
8. Общий вид гармонических функций в круговых областях
9. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в сферически симметричных областях в пространстве.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве
2. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в сферически симметричных областях в пространстве
3. Оператор Лапласа в сферических координатах
4. Оператор Лапласа-Бельтрами
5. Сферические функции
6. Полиномы Лежандра
7. Присоединенные полиномы Лежандра
8. Общий вид сферических функций
9. Общий вид гармонических функций в сферически симметричных областях в пространстве
10. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие посвящено решению задач на построение методом отражений функций Грина задач Дирихле и решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве при помощи функции Грина.

Содержание

1. Определение функции Грина задачи Дирихле
2. Применение функции Грина для решения задачи Дирихле
3. Примеры решения задач. Метод отражений

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления объемного потенциала: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала.

Содержание

1. Определение объемного потенциала
2. Физический смысл объемного потенциала
3. Свойства объемного потенциала
4. Пример вычисления объемного потенциала для шара двумя способами: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала

Учебно-методическое пособие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие на тему «Потенциалы простого и двойного слоя»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления потенциалов простого и двойного слоя: по определению и при помощи использования свойств потенциалов простого и двойного слоя.

О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Карташов Эдуард Михайлович

Описан новый подход в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости . В основе метода лежит построение «усеченной» функции Грина , что является достаточным для записи аналитического решения задачи.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Карташов Эдуард Михайлович

A new approach in method of green’s functions to the solution of dirichlet and newmann boundary value problems for the laplace equation

A new approach to the application of method of Green»s functions in the Solution of D/r/chlet and Newmann Boundaгу Value Problems for the 2D Laplace equation.

Текст научной работы на тему «О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа»

О новом подходе в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова, Москва, 119571, Россия

Описан новый подход в методе функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. В основе метода лежит построение «усеченной» функции Грина, что является достаточным для записи аналитического решения задачи.

Ключевые слова: уравнение Лапласа на плоскости, задачи Дирихле и Неймана, функция Грина, интегральные записи аналитических решений.

Введение. Уравнения эллиптического типа, к которому относится уравнение Лапласа, играют важную роль в приложениях. К ним приводят задачи о потенциальном движении несжимаемой жидкости, потенциале электростатического поля, стационарных тепловых и диффузионных процессах, потенциальном поле тяготения, а также задачи аэромеханики, теории упругости, электромагнетизма, дифракции и др.

Для линейных эллиптических уравнений второго порядка и, в частности, для уравнения Лапласа задачи Дирихле и Неймана являются основными краевыми задачами. Они детально разобраны в многочисленных руководствах по математической физике, в монографиях по теории ньютоновского потенциала, публикациях, касающихся применения соответствующих интегральных соотношений к изучению конкретных физических процессов. Для нахождения точных решений указанных задач существуют различные аналитические подходы, в основе которых лежат: теория потенциала и метод интегральных уравнений, метод отражения, метод конформных отображений, метод разделения переменных, метод интегральных преобразований, основанный на теории спектральных задач, метод разложения искомого решения в соответствующие ряды, функции единичных источников и диполей 3. И как это ни странно, но в столь, казалось, завершенной области математической физики еще остались «математические резервы» для переосмысления основ некоторых развитых аналитических подходов, в частности, метода функций Грина при решении краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа на плоскости. Следствием последнего является существенное сокращение технических трудностей, связанных с нахождением

точных аналитических решений классических краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Последнее касается ряда областей, наиболее часто встречающихся в практических приложениях: бесконечная или полубесконечная полоса, полуплоскость или ее четверть, прямоугольник, круг или его внешность, части круга, кольцо, области в параболической, эллиптической и биполярной системах координат. Следует подчеркнуть, что двумерные задачи Дирихле и Неймана могут быть точно решены только для сравнительно простых областей [6]. Полученные в настоящей статье результаты позволяют предвидеть интересные перспективы в дальнейшем развитии аналитической теории краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Постановка задачи. Пусть Б — конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения М(х, у); Г — кусочно-гладкий контур, ограничивающий область Б; п — внешняя нормаль к Г, вектор, непрерывно меняющийся на Г. В области Б ищется гармоническая функция Т(х,у)е С2 (Б)пС0 (Б), §гаёЫ Т(Ы)е С0 (Б)х

х(( = Б + Г), удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри Б

а на границе Г граничным условиям вида (задача Дирихле)