Задача неймана для уравнения лапласа в сфере

Задача Неймана для обобщенного уравнения Лапласа Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Масаева О.Х.

Доказано существование и единственность решения задачи Неймана для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной в верхней полуплоскости.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Масаева О.Х.

THE NEUMANN PROBLEM FOR THE GENERALIZED LAPLACE EQUATION

The existence and uniqueness of the solution of the Neumann problem is proved for the generalized Laplace equation with a fractional derivative in the upper half-plane.

Текст научной работы на тему «Задача Неймана для обобщенного уравнения Лапласа»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 83-90. ISSN 2079-6641

ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Институт прикладной математики и автоматизации, 360000, Кабардино-Балкарская республика, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89a E-mail: olesya.masaeva@yandex.ru

Доказано существование и единственность решения задачи Неймана для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной в верхней полуплоскости.

Ключевые слова: задача Неймана, оператор Римана-Лиувилля, интегральное преобразование с функцией Райта, обобщенное уравнение Лапласа

© Масаева О.Х., 2018

THE NEUMANN PROBLEM FOR THE GENERALIZED LAPLACE EQUATION

Institute of Applied Mathematics and Automation, 360000, Kabardino-Balkarian Republic, Nalchik, st. Shortanova,89a E-mail: olesya.masaeva@yandex.ru

The existence and uniqueness of the solution of the Neumann problem is proved for the generalized Laplace equation with a fractional derivative in the upper half-plane.

Key words: Neumann problem, Riemann-Liouville operator, integral transformation with Wright function, generalized Laplace equation.

© Masaeva О. Kh., 2018

G(% — x,y)= O(ya—1), ß ^ 0. (12)

Так как — x,y) = y-2ßr f e ^E2а,з а (— ßr) dt + ^ lnßy а, то

— х, у) = О (уа—11п в Уа), в ^ У > 0. (13)

Таким образом, из оценок (12) и (13) следует оценка (7).

Лемма 2. Функция О(% — х,у) удовлетворяет уравнению (1), т. е.

Охх($ — х, у) = —О^О^ — х, у). (14)

Доказательство. Внеся в правой части формулы (8) операцию дифференцирования дважды по х под знак интеграла, имеем

О»« — х,й = V/и—в^а— ^Га) ■ (15)

Далее учитывая формулу дробного дифференцирования функции типа Миттаг-Леффлера [6, с. 15], получаем О^у3а—1Е2а,з а(—= у2а—^2а,2 а(—(^—р), и

(t2y2а ч s t2y2а \

—U—xj^) = y а—1E2 а, а Г ,

y а 1 y3 а 1 р у 12y2 а

В результате замены переменной ,2 = 5 получ

1 1 х у а —1 y—а—1 г

D*yD*yG(i — x,y) = У — 2 — I te—ß,3 а(—)dt. (16)

Из формул (15) и (16) видим, что имеет место (14). □ Лемма 3. Справедлива оценка

lG»« — x,y)IS ß\(11y+ß2—\) , (17)

где д — сколь угодно малое положительное число. Доказательство. Из формулы (15) с учетом (10) имеем

у—О—! I—* (л_—е. — _(_,Л *,__^ уа—1

G» = — J e ЧГС5) » E2а а(«)) dt — Ц — x|2 Г( а)

Отсюда следует, что

— x,y) = -^^ J , a(-i)di. (18)

Пусть далее Gxx( = 2T(x) f E2a, a+1(-s2)ds. (21)

Доказательство. Применяя композицию DO0-операторов Римана-Лиувилля к интегралу в правой части формулы (5), имеем

D0ay-1D0> = 1 / т(§ )D0ay-1D0ayG(^ — x,y)d§, (22)

Л0°у—1Л0оуе(| — х, у) = (¡—е—ггуаЕ2а, а+1 —) ¿г. Пусть е — некоторое фиксированное положительное число, тогда

Day-1D?yU = 1 ( / +1+1 I Т(§^D«^ — x,y)d§.

Сделав замену £ — x = yan, имеем

ПD 0y-1D 0yU = ( / + / ) Т(X +Г^ 7 a,a+1 (- ^ )dtdП +

Из равенства (23) следует, что limD® ^и = ^^^^^ linj / IЬЕ2а, а+1 (-)dtdП.

/ ПП 1 е?Е2а, а+1 ^—»г)= ] ! Е2а, а+1 (—= у Е2а,а+1(—52)(1 — е уа’)*5, 0 0 0 0 0

Лемма 5. Справедливо равенство $Е2а, а+1(—£2)*у = 2.

Доказательство. В результате замены 5 = + а имеем

У Е2а, а+l(-s2)ds = а 11а-1Е2 а, а+l(-t2 а)dt. о о

Отсюда, так как (см. [6, с. 84]) Аа,1- аsint = tаE2а,а+1(-t2cc), имеем

J Е2а, а+1(-s2)ds = а J1А а,:1- а sin tdt.

По формуле (3) получаем

у 1a а ,1- а sin tdt = J sin tBа,1- а 1 dt. (24)

По формуле (4) имеем Ба,1—а 1 = а, и /Е2 а,а+1 (—= / ^= п. □

0 0 Перейдем к доказательству теоермы 1.

Доказательство. С помощью оценки (7) заключаем, что

|и(^у)| 0. Из лемм 4 и 5 следует, что и(х,у) удовлетворяет условию (2). Поэтому функция и(х,у), представимая в виде (5), в области П является регулярным решением задачи (1), (2). □

3. Единственность решения

Теорема 2. Пусть wx, y1- аDgw е C(Ö) и пусть

lim и*■ D0«-1w = 0, limDg-1w■ Dg-1Dgw = 0. (25)

Ixl^TO y y^TO У У У

Тогда решение задачи (1), (2) единственно с точностью до слагаемого Сцо). Доказательство. Установим, что однородная задача (1), (2) имеет только решение

и(х,у) = СГ(-), где С -произвольная постоянная. Так как

D0«—1u ■ Lu = (uxD0«—1u)x — uxD0«—1ux + (D0«—1u ■ Dg—1Dgu)y — Dgu ■ Dg—1Dgi

C учетом условий (25) из (26) получаем lim lim / /

Dg—1Dgu>dxdy = 0. Отсюда, в силу положительности оператора дробного

интегрирования [8], получаем ux = 0, Dgu = 0 или u(x,y) = u(y) + c, т. е. u(x,y) = Cц^у,

C- некоторая постоянная. □

[1] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его применение свободные произведения, Физматлит, М., 2003, 272 с. [Nahushev A. M., Drobnoe ischislenie i ego primenenie svobodnye proizvedeniya, Fizmatlit, M., 2003, 272 pp.]

[2] Псху А. B., «Аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка», Современные методы в теории краевых задач, Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XIII», 2002, С. 127. [Pskhu A. B., «Analog formuly SHvarca dlya sistemy Koshi-Rimana drobnogo poryadka», Sovremennye metody v teorii kraevyh zadach, Materialy Voronezhskoj vesennej matematicheskoj shkoly «Pontryaginskie chteniya — XIII», 2002, S. 127].

[3] Масаева О. Х., «Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной», Челябинский физико-математический журнал, 2:3 (2017), 312-322. [Masaeva O. H., «Zadacha Dirihle dlya obobshchennogo uravneniya Laplasa s drobnoj proizvodnoj», CHelyabinskij fiziko-matematicheskij zhurnal, 2:3 (2017), 312-322].

[4] Масаева О. Х., «Единственность решения задачи Дирихле для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части», Известия КБНЦ РАН, (68)-2:6 (2015), 127-130. [Masaeva O. H., «Edinstvennost’ resheniya zadachi Dirihie dlya urav-neniya s fraktal’nym operatorom Laplasa v glavnoj chasti», Izvestiya KBNC RAN, (68)-2:6 (2015), 127-130].

[5] Wright E. M., «On the coefficients of power series having exponential singularities», J. London Math. Soc., 8:29 (1933.), 71-79.

[6] Псху А. В., Уравнения в частных производных дробного порядка, Наука, М., 2005, 199 с. [Pskhu A. V., Uravneniya v chastnyh proizvodnyh drobnogo poryadka, Nauka, M., 2005, 199 pp.]

[7] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, Наука, М., 1966, 672 с. [Dzhrbashyan M. M., Integral’nye preo-brazovaniya i predstavleniya funkcij v kompleksnoj oblasti, Nauka, M., 1966, 672 pp.]

[8] Нахушев А. М., «О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа», Дифференц. уравнения, 34:1 (1998), 101-109. [Nahushev A. M., «O polozhitel’nosti operatorov nepreryvnogo i diskretnogo differencirovaniya i inte-grirovaniya ves’ma vazhnyh v drobnom ischislenii i v teorii uravnenij smeshannogo tipa», Differenc. uravneniya, 34:1 (1998), 101-109].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение свободные произведения. М.: Физматлит, 2003. 272 c.

[2] Псху А. B. Аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка // Современные методы в теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения — XIII 2002. С. 127.

[3] Масаева О. Х. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с дробной производной // Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2. № 3. С. 312322.

[4] Масаева О. Х. Единственность решения задачи Дирихле для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части // Известия КБНЦ РАН. 2015. Т. (68)-2. №6. С. 127-130.

[5] Wright E. M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London Math. Soc. 1933. vol. 8. no. 29. pp. 71-79.

[6] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199

[7] Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 c.

[8] Нахушев А. М. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 101-109.

Для цитирования: Масаева О. Х. Задача Неймана для обобщенного уравнения Лапласа // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). C. 83-90. DOI: 10.18454/2079-66412018-23-3-83-90

For citation: Masaeva O. Kh. The Neumann problem for the generalized Laplace equation, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 23: 3, 83-90. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-23-3-8390

Поступила в редакцию / Original article submitted: 08.06.2018

Краевые задачи для уравнения Лапласа

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Ноября 2011 в 18:30, курсовая работа

Краткое описание

Рассмотрение понятия краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Как частный случай — уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа). Для уравнения Лапласа краевая задача I рода — задача Дирихле; краевая задача II рода — задача Неймана. Краевое условие III рода — смешанная краевая задача. Рассматриваются также задача Дирихле в пространств/на плоскости, решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Неймана (второй краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге, решение задачи Дирихле для кольца.

Содержание

Введение
Понятие краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Уравнение Лапласа и понятие гармонической функции.
Корректность краевой задачи.
Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле в пространстве
Задача Дирихле на плоскости
Задача Неймана
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение задачи Дирихле (первой краевой задачи) для уравнения Лапласа в круге.
Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге.
Примеры.
Решение задачи Дирихле для кольца.

Вложенные файлы: 1 файл

Понятие краевой з.doc

Вещественнозначная функция класса называется гармонической в области , если она удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области.

При гармонические функции сводятся к линейным функциям и потому их теория интереса не представляет. Поэтому в дальнейшем будем считать .

Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность , не обязательно связную, и пусть ограничивает область , конечную или бесконечную. В обоих случаях предполагается, что сама поверхность конечна. Будем изучать поведение решений однородного уравнения Лапласа в подобных областях.

Функция называется гармонической в конечной области , если она в обладает непрерывными частными производными до второго порядка включительно (т.е. дважды непрерывно дифференцируема) и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа.

Будем говорить, что функция гармоническая в бесконечной области, если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии от начала, дважды

непрерывно дифференцируема, удовлетворяет однородному уравнению Лапласа и на бесконечности имеет порядок, такой что для достаточно больших имеет место неравенство ,

где размерность пространства, а некоторая постоянная. В случае двумерной области ( = 2) условие означает, что гармоническая в бесконечной области функция

ограничена на бесконечности.

Определение гармонической функции относится только к случаю открытой области

(т. е. открытого связного множества); если говорят о функции, гармонической в замкнутой области, то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широкой открытой области.

Говорят, что функция является гармонической (или гармонична) в замкнутой области , если она

1) непрерывна в этой области,

2) гармонична во всех внутренних точках области,

3) когда область бесконечна, стремится к нулю при стремлении точки к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области.

Определение гармонической функции не накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе области.

Функция двух переменных не является гармонической ни в какой области, так как она не удовлетворяет однородному уравнению Лапласа

Функция гармонична в любой конечной области.

В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Таким образом, возникает следующая краевая задача: найти регулярное в области решение уравнения, удовлетворяющее на границе краевому условию:

где производная по некоторому направлению (n— направление внешней нормали к ); заданные непрерывные на функции; причем всюду на .

Краевые задачи могут ставиться не только для уравнения Лапласа, но и для любых уравнений эллиптического типа.

В зависимости от вида граничного условия различают три основных вида граничной (краевой) задачи:

1. , когда ( — граница) — первая краевая задача или задача

2. , когда — вторая краевая задача или задача Неймана,

3. , когда — третья или смешанная краевая задача.

Здесь — непрерывные функции, определенные на граничной поверхности , а

означает производную, взятую в точке поверхности по направлению внешней нормали

К этим видам краевой задачи приводит изучение широкого круга стационарных физических процессов и явлений.

Если область, в которой ищется решение уравнения, ограничена, то краевая задача называется внутренней. Если же эта область является частью пространства, лежащей вне некоторой ограниченной области, то краевая задача называется внешней.

Характерной чертой уравнений эллиптического типа, существенно отличающей их от уравнений других типов, является то, что их решения полностью определяются заданием одного краевого условия. Простейшим из таких заданий является задание на контуре значения самой функции или ее нормальной производной, что и составляет содержание классических краевых задач, называемых обыкновенно, так же как и для уравнения Лапласа, первой и второй краевыми задачами или задачей Дирихле и задачей Неймана.

Задачу математической физики называют поставленной корректно, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.

Условия, обеспечивающие корректность постановки той или иной краевой задачи, несколько различаются для разного типа задач. Но существует основная группа условий, входящих во все эти формулировки. Она сводится к следующему.

Функция, дающая решение краевой задачи (поставленной для уравнения в частных производных второго порядка) должна:

1) быть непрерывна в области, в которой ставится задача, вплоть до границы области;

2) внутри области иметь непрерывные вторые производные и удовлетворять заданному уравнению (например, уравнению Лапласа);

3) на границе области удовлетворять заданному краевому условию;

4) если область трехмерна и бесконечна, то при перемещении к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области, стремиться к нулю.

Решения краевых задач, поставленных в трехмерных областях, удовлетворяющие перечисленным условиям, будем называть регулярными.

Решения корректно поставленных краевых задач для любого уравнения эллиптического типа всегда оказываются не менее гладкими (в смысле существования у них определенного числа непрерывных производных), чем определяющие их функции (коэффициенты уравнения и данные задачи).

Обычно во всех внутренних точках изучаемой области они даже дифференцируемы неограниченное число раз. Это свойство решений граничных задач тесно связано с тем, что к граничным задачам приводит изучение установившихся (стационарных) физических процессов.

Первая и вторая краевые задачи для уравнения Лапласа.

Краевая задача для уравнения (1) состоит в нахождении функции

класса удовлетворяющей в области этому уравнению и граничному (краевому)

условию на вида:

, где — заданные непрерывные функции на , причем , ,

Выделяют следующие типы краевых условий :

Краевое условие I рода ,

, когда ищется гармоническая функция, принимающая на границе области

заданные непрерывные значения;

Краевое условие II рода

, когда ищется гармоническая функция такая, что ее нормальная производная принимает на заданные непрерывные значения;

Краевое условие III рода

, когда ищется гармоническая функция , удовлетворяющая на границе линейному соотношению , . Данное условие называют смешанной краевой задачей, когда на различных частях границы заданы условия разного рода.

Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II и III рода.

Для уравнения Лапласа краевая задача I рода называется задачей Дирихле;

краевая задача II рода называется задачей Неймана.

Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (1) и во внешности ограниченной области G (внешние краевые задачи). Отличие состоит в том, что, помимо граничного условия на S, задаются еще условия на бесконечности.

Задача Дирихле в пространстве формулируется так:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности уравнению Лапласа и принимающую на границе заданные значения:

То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при некоторых весьма общих предположениях относительно и ), можно считать очевидным по физическим соображениям. Действительно, если каждая точка границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре (которая может быть разной в разных точках границы), то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных значениях. Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным.

Задача Дирихле может быть поставлена и в двух измерениях. Если зависит только от двух пространственных координат, например и , то уравнение Лапласа (1)

принимает более простой вид:

Задача Дирихле на плоскости формулируется так:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой кривой уравнению Лапласа и принимающую на границе заданные значения:

Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, которые можно пояснить на примере тела, распределение температуры в котором стационарно.

Первый тип задачи относится к стационарному распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости с теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки поддерживается при определенной температуре .

Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы можно было пренебречь изменением температуры по ее толщине. Тогда температура и будет функцией только и .

Второй тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси , направляющая лежит в плоскости , а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре .

Здесь тоже остается постоянной на любой прямой, параллельной оси , проходящей в цилиндре, так что .

Заметим, что задача Дирихле решается очень просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция зависит только от одной из координат. В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решениями являются линейные функции (стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно). Задача Дирихле имеет в этом случае решение , где , , .

Задача Неймана состоит в следующем:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) уравнению Лапласа и на границе условию:

где производная по направлению внешней нормали к , а функция, заданная

Задача неймана для уравнения лапласа в сфере

На этой странице нашего сайта размещены учебно-методические пособия по уравнениям математической физики (классический курс) в форме презентаций, которые использовались при проведении дистанционных занятий со студентами МФТИ в марте-мае 2020 года во время самоизоляции, вызванной коронавирусной инфекцией.

Каждое из учебно-методических пособий содержит теоретические сведения и примеры решения типовых задач по изучаемому разделу уравнений математической физики. Практически все разобранные в учебно-методических пособиях задачи ранее предлагались для решения студентам МФТИ в заданиях для самостоятельной работы и на письменных экзаменационных контрольных работах. В справочной форме приводится необходимая для решения задач теория.

Мы надеемся, что эти учебные материалы будут полезными не только студентам МФТИ, осваивающим классический курс уравнений математической физики, но и студентам других ВУЗов.

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие посвящено решению задач, связанных с построением функции Грина оператора Штурма-Лиувилля.

Содержание

1. Оператор Штурма-Лиувилля
2. Задача Штурма-Лиувилля
3. Построение функции Грина оператора Штурма-Лиувилля
4. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению
5. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина оператора Штурма-Лиувилля»

Дистанционное занятие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в круговых областях на плоскости.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости
2. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в круге
3. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга
4. Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце
5. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в круге. Необходимое условие разрешимости
6. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона вне круга. Необходимое условие разрешимости
7. Задача Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в кольце. Необходимое условие разрешимости
8. Общий вид гармонических функций в круговых областях
9. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Уравнения Лапласа и Пуассона в круговых областях»

Дистанционное занятие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие посвящено решению задач Дирихле и Неймана в сферически симметричных областях в пространстве.

Содержание

1. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве
2. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в сферически симметричных областях в пространстве
3. Оператор Лапласа в сферических координатах
4. Оператор Лапласа-Бельтрами
5. Сферические функции
6. Полиномы Лежандра
7. Присоединенные полиномы Лежандра
8. Общий вид сферических функций
9. Общий вид гармонических функций в сферически симметричных областях в пространстве
10. Примеры решения задач

Учебно-методическое пособие на тему «Сферические функции»

Дистанционное занятие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие посвящено решению задач на построение методом отражений функций Грина задач Дирихле и решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в пространстве при помощи функции Грина.

Содержание

1. Определение функции Грина задачи Дирихле
2. Применение функции Грина для решения задачи Дирихле
3. Примеры решения задач. Метод отражений

Учебно-методическое пособие на тему «Функция Грина задачи Дирихле»

Дистанционное занятие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления объемного потенциала: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала.

Содержание

1. Определение объемного потенциала
2. Физический смысл объемного потенциала
3. Свойства объемного потенциала
4. Пример вычисления объемного потенциала для шара двумя способами: по определению и при помощи использования свойств объемного потенциала

Учебно-методическое пособие на тему «Объемный потенциал»

Дистанционное занятие на тему «Потенциалы простого и двойного слоя»

Дистанционное занятие посвящено двум способам вычисления потенциалов простого и двойного слоя: по определению и при помощи использования свойств потенциалов простого и двойного слоя.