Точные решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в слое с полиномами в правых частях уравнения и граничных условий Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алгазин Олег Дмитриевич
Цель работы найти точные решения краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гипер плоскостями. Процедура и методы исследования. Рассмотрены краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий. Применено преобразование Фурье для обобщённых функций медленного роста . Результаты проведённого исследования. Показано, что краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью имеют решение, которое является квазиполиномом, содержащим кроме степенных функций ещё гиперболические или тригонометрические функции. Это решение единственно в классе функций медленного роста, если параметр уравнения не является собственным значением. Приведён алгоритм построения этого решения и рассмотрены примеры. Теоретическая/практическая значимость заключается в получении точных решений краевых задач для одного из известных уравнений математической физики.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Алгазин Олег Дмитриевич
EXACT SOLUTIONS TO THE BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR THE HELMHOLTZ EQUATION IN A LAYER WITH POLYNOMIALS IN THE RIGHT-HAND SIDES OF THE EQUATION AND OF THE BOUNDARY CONDITIONS
Purpose. We have found exact solutions to boundary-value problems for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional infinite layer bounded by two hyperplanes. Methodology and Approach. The paper considers Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions. The Fourier transform of generalized functions of slow growth is applied. Results. It is shown that the Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side have a solution that is a quasi-polynomial containing, in addition to power functions, hyperbolic or trigonometric functions. This solution is unique in the class of functions of slow growth if the parameter of the equation is not an eigenvalue. An algorithm for constructing this solution is presented and examples are considered. Theoretical and Practical Implications. Exact solutions to boundary-value problems for one of the well-known equations of mathematical physics have been obtained.
Текст научной работы на тему «Точные решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в слое с полиномами в правых частях уравнения и граничных условий»
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В СЛОЕ С ПОЛИНОМАМИ В ПРАВЫХ ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)
105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, Российская Федерация
Аннотация. Цель работы — найти точные решения краевых задач для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью в многомерном бесконечном слое, ограниченном двумя гипер плоскостями.
Процедура и методы исследования. Рассмотрены краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий. Применено преобразование Фурье для обобщённых функций медленного роста.
Результаты проведённого исследования. Показано, что краевые задачи Дирихле и Дирихле-Неймана с полиномами в правых частях краевых условий для неоднородного уравнения Гельмгольца с полиномиальной правой частью имеют решение, которое является квазиполиномом, содержащим кроме степенных функций ещё гиперболические или тригонометрические функции. Это решение единственно в классе функций медленного роста, если параметр уравнения не является собственным значением. Приведён алгоритм построения этого решения и рассмотрены примеры.
Теоретическая/практическая значимость заключается в получении точных решений краевых задач для одного из известных уравнений математической физики. Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, задача Дирихле, задача Дирихле-Неймана, преобразование Фурье, обобщённые функции медленного роста
© ^ BY Алгазин О. Д., 2020.
EXACT SOLUTIONS TO THE BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR THE HELMHOLTZ EQUATION IN A LAYER WITH POLYNOMIALS IN THE RIGHT-HAND SIDES OF THE EQUATION AND OF THE BOUNDARY CONDITIONS
Bauman Moscow State Technical University
ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1,105005 Moscow, Russian Federation
Abstract. Purpose. We have found exact solutions to boundary-value problems for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side in a multidimensional infinite layer bounded by two hyperplanes.
Methodology and Approach. The paper considers Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions. The Fourier transform of generalized functions of slow growth is applied.
Results. It is shown that the Dirichlet and Dirichlet-Neumann boundary-value problems with polynomials in the right-hand sides of the boundary conditions for the inhomogeneous Helmholtz equation with the polynomial right-hand side have a solution that is a quasi-polynomial containing, in addition to power functions, hyperbolic or trigonometric functions. This solution is unique in the class of functions of slow growth if the parameter of the equation is not an eigenvalue. An algorithm for constructing this solution is presented and examples are considered.
Theoretical and Practical Implications. Exact solutions to boundary-value problems for one of
the well-known equations of mathematical physics have been obtained.
Keywords: Helmholtz equation, Dirichlet problem, Dirichlet-Neumann problem, Fourier
transform, generalized functions of slow growth.
К уравнению Гельмгольца приводят многие задачи математической физики, например, задачи, связанные с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, электромагнитными и т. д.), и задачи диффузии некоторых газов при наличии распада или цепных реакций. Также любое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводится к уравнению Гельмгольца [1].
В данной статье получены точные решения в виде квазиполиномов краевых задач Дирихле и Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца в слое в случае, когда правая часть уравнения Гельмгольца и правые части краевых условий являются полиномами. Если параметр уравнения Гельмгольца стремится к нулю, то уравнение Гельмгольца переходит в уравнение Пуассона, а квазиполиномиальные решения краевых задач переходят в полиномиальные решения краевых задач для уравнения Пуассона [2]. Таким же способом получены точные полиномиальные решения краевых задач для уравнения Трикоми в полосе [3; 4]. Поиску решений уравнений с частными производными в виде полиномов или квазиполиномов посвящены работы многих авторов 8.
1. Постановка задачи
Рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца в неограниченной области (слое) с полиномиальной правой частью:
Au(x,y)+vu(x,y) = P(x,y), ve M, x e M», 0 0, что
J MJu (x, y |(1 + |x|2 ) dx Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
j-2mli (t, y )dt = lim 2m ¡1 (t, y )eixtdt =
=xino J [t2m¡1 (,y)](x,y) = (-l)m lirn—Li (x,y).
Функции p2m(X, y) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по х функции:
Sh(x2 + X2 ) ^ (-i)m x2m
Li (x,y) =— . = У p2m (X,y)Ц;-г-,
то есть Li(x, y) является производящей функцией для p2m(X, y). Эти функции можно вычислить по рекуррентной формуле:
p2m (X,y) = -(2m — i)^p2m-2 (X,y), m = i,2. (i4)
Докажем эту формулу. Поскольку
является чётной аналитической функцией комплексного переменного 5, и её особые точки ±ink/a, k е N лежат на мнимой оси, то в круге |s| n (x2 + X2 )n = E >n E 1=0С™Х 2 =E»nx2mE» a2nCmx2n
P2m (X,7) = (—i)m (2m)!Elma2nCmX2n—2m
P0 (X,7) = E= f (X) = gO),
p2m—2 (X,7) = (—i)m—i (2m — 2)!E»=m_U2nCm—iX
—(2m — i)) ^ p2m—2 (X, 7) = X oX
= ( —i)m (2m)!E» a2n Cnm—iX2n—2m =
= (—i)m (2m)!E»=ma2nCnmX2n—2m = p2m (X,7),
что и требовалось доказать. Таким образом,
, . 7ch(X7) ash(Xy)ch(Xa) p2 ( , 7) = —X sh (Xa)+ X sh2 (Xa) ‘
, . 3 7 ch (X7) 3 7 2sh (X7) 67a ch (X7 )ch (Xa) p4 ( , 7) = —X3 sh (Xa)+ X2 sh (Xa) X2 sh2 (Xa) +
3ash(X7)ch(Xa) 6a2sh(X7)ch2(Xa) 3a2sh(X7) + X3 sh2 (Xa) + X2 sh3 (Xa) X2sh (Xa) ‘
При X, стремящемся к нулю, функции p2m(X, y) переходят в полиномы p2m(y) , которые рассмотрены в [2]. Например,
, . sh(X7) у limp0 (X,7) = lim . 7 = -,
limp2 (X,у) = —У (у2 — a2),
lim Ра (X, у ) = ry-(3 У 4 -10 у 2a2 + 7a4).
Выпишем несколько первых решений задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца:
Uk (У) = Ei!20]Cr-2mp2m (X,у). , . sh (Xy) . . sh (Xy)
Uo (У) = ¡НЙ , U1 (У) = x¡ЦЮ)
, ч „ sh (Xy) у ch (Xy) a sh (Xy )ch (Xa)
U2 (x, у ) = x2 —7-Ч—Г\ +- 2/\ .
sh (Xa) X sh (Xa) X sh2 (Xa)
При X, стремящемся к нулю, они переходят в полиномиальные решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа [2]:
limuo (x,у) = у, limui (x,у) = ^, limu2 (x,у) = -у2 + a2).
X^0 v J> a X^o v J> a X^o v J> 3ax ‘
Функции vk(x, y) = uk(x, a — y) являются решениями уравнения Гельмгольца, удовлетворяющими краевым условиям:
vk (x,o) = xk, vk (x,a) = o, x e M.
Пример 2. Рассмотрим задачу Дирихле для неоднородного уравнения Гельмгольца:
Au(x,у) — X2u(x,у) = x2у2, x o o,
0, V (х ,0) = и (х,0)- й (х ,0) = + Х6,
(\ / \ \ x a 2a 2x 8 x, a) = u (x, a) — и (x, a) =—I—I—I—.
‘ 1 ‘ 1 ‘ X2 X4 X4 X6
Решением этой задачи будет функция:
v (x, 7) = X4 U2 (x, a — 7 ) + X6 U0 (x, a — 7) +
Решением исходной задачи будет функция:
U (x, 7) = U (x, 7) + v (x, 7) =
x2 72 272 2×2 8 a2 x2sh (X7) a2 7 ch (X7) = —»X2 — «Xr — X6 + X2 sh (Xa) » X3 sh (Xa) +
a3 sh(X7)ch(Xa) + X3 sh2(Xa) +
sh (X7)(2×2 + 2a2 — 2×2 ch (Xa)) 27 ch (X7)(ch (Xa) — i) X 4sh (Xa) X 5sh (Xa)
2a sh (X7 )ch (Xa )(i — ch (Xa)) 8sh (X7 )(i — ch (Xa)) 2x 2ch (X7)
+ 2 (a — 7 )sh (X7) + 8ch (X7)
При X ^ 0 это решение переходит в полином:
lim U (x, 7) = — x2 74 ——a3x2 7 —— 76 +—a3 73 ——a5 7 , X^0 v » i2 i2 i80 36 45
который является решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона [2] Au (x, 7 ) = x2 72, —» 1
Рассмотрим теперь случай: n > i, x e Mn, (x,7)e Mn x(0,a). Если
то решением задачи Дирихле с краевым условием:
u(x,o) = o, u(x,a) = 1, x e M»
uo (x,у) = l» (|x|,у)* y(x) = JK„v(x-1)l» (|t|,у)dt = JM»l» (|t\,у)dt =
= lim I l» (Itl, у)eixtdt = limЛ I L (It|, у) l(x, у) = lim L» (Ix|, у) = x^o-1 M» м 1 x^o L VI 1 y/Jv x^o Vl 1 ‘
sh(Ix I2 +X2) sh(Xy) = lim —-— = —-—- .
sh((| x I2 +X2) sh(Xa) ‘
у (x) = xk, x e Ш», k — мультииндекс,
то решением задачи Дирихле с краевыми условиями:
u(x,o) = o, u(x,a) = xk, x e M»
uk (x,у) = JM» (x -1)k l» (|t|, у)dt,
(x -1)k =(x1 -11 )k1 ,„(x» -1″) , (15)
и этот интеграл будет отличен от нуля только для тех мономов полинома (15), которые содержат tj в чётных степенях. Поэтому
uk (x,У) = xk-2m J J2ml» (|t|, У)dt =
где C2m = Ck2m1 Ck2m2 . C2m , [k/2] = ([k1/2],[k2/2]. [k»/2]). Пользуясь свойствами преобразования Фурье [12], получим:
p2m (X,у) = J J2ml» (|t|,у)dt = lim J J2ml» (|t|,у)eixtdt =
= lim Л \t2ml» (It|,у)l(x,у) = (-1)|m| limd2xm x^o ^ ‘ x^o „u „ Lp J2
ISSN 2072-8387 j Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика f 2020 / № 1 где
dxlmidx2m2 . dxlm» Для x e Ш» имеем разложение:
Коэффициент при x в этом разложении равен:
p (y)(——- , m! = m . m ! 2m! m!
Функции у*(х, у) = ик(х, а — у) являются решениями уравнения Лапласа, удовлетворяющими краевым условиям:
ук (х,б) = хк, ук (х,а) = 0, х е Ж», к -мультииндекс.
4. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца
Заменяя в (8), (9) X на гц, ц > 0, получим задачу Дирихле:
Аы (х,у)+ц2 и (х, у) = 0, ц> 0, х е М», 0 1, к — мультииндекс, то решения находятся по тем же формулам, в которых теперь
хк = хк1 хк2. хк», C2m = C^1 C^2. C2m , [к / 2] = ([kl / 2], [к2 / 2]. [kn /2]),
p2m (У)= , | ‘ p2\m (У). 2m !m!
4.1. Единственность решения задачи Дирихле
Решение задачи Дирихле (16), (17) будет единственным в классе функций медленного роста (соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальные решения в классе функций медленного роста), если
0 п2/а2, ц2 =п2/а2 + Ь2, Ь2 > 0, то функции
(b1x1)sin(b2x2). .. sin (bnxn )sin
где Ь\, Ь2, . Ь„ — произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству Ь? + Ь| +. + Ь2 = Ь2, являются нетривиальными решениями медленного роста соответствующей однородной краевой задачи.
Докажем, что в случае 0 (x )sin
где коэффициенты Ь„(х) — функции медленного роста. Подставив эту функцию и(х, у) в уравнение (16), получим уравнения для коэффициентов Ь„(х):
Если 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
J\t\2 + X [ yVtl2 +X2)
J\t\2 + X2 ch [ a^|t|2 + X
Если ф(х) = 1, у(х) = 0, х е М, то решением задачи (19), (20) является функция:
Если ф(х) = 0, у(х) = 1, х е М, то решением задачи (19), (20) является функция:
Если ф(х) = хк, у(х) = 0, х е М, к еК, то решением задачи (19), (20) является функция:
ик (х,у) = ¿Ш01ск2тхк-2тР2т (Х, у),
где функции р2т(Х, у) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по х функции:
11 (х, у )= \/ П^ГТ^ = ^ т=0Р2т (Х, У Г
то есть Ь1(х, у) является производящей функцией для р2т(Х, у). Эти функции можно вычислить по рекуррентной формуле:
сЬ (Х(я — у)) 1 д / ч р0 (Х, у ) =-СЬ (Хя)-, р2т (Х, у ) = -(2т — 1) дХ Р2т-2 (Х, у ), Ш = 1,2,. .
, , , , х sh (Ха^ (Ху) и1 (х,у )=х ch (Ху)—•
и2 (х,у) = х2Л(Ху)-х2 ^(Ха)sh(Ху) + уsh(ХаЦ(Ху) + О^ЧМ -к У ‘ ch (Ха) Х Л (Ха) Х
у sh (Ху) а sh2 (Ха^ (Ху) Х Х Л2 (Ха)
При Х ^ 0 функции ик(х, у) переходят в полиномы, являющиеся решениями краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа [2]. Например,
limu0 (х, y) = 1, limu1 (х,y) = х, limu2 (х, y) = х2 + 2ay — y2. Если ф(х) = 0, у (х) = х1, х e M, l e N, то решением задачи является функция:
v (х, у )=EÜ,!0ci2m х1 -2>m (X, y),
где функции q2m(X, y) являются коэффициентами разложения в степенной ряд по x функции:
sh(х2 +X2 ) (-1)m х2m
л/х2 +X2ch(х2 +X2) ^m=0 (2m)! ‘
то есть К1(х, у) является производящей функцией для ^2ш(Х, у). Эти функции можно вычислить по рекуррентной формуле:
qо (Х,у)= \, Ч2т (Х,у) = -(2т-1)1^^т-2 (Х,у), т = 1,2. . (22) Х ch(Ха) Х оХ
, . х2sh (Xy) y ch (Xy) sh (Xy) a sh (Xa)sh (Xy) V2 (х, У )= X ch (Xa ) _ X2 ch (Xa) + X3ch (Xa )+ X2ch2 (Xa ) ‘
При X — 0 функции vi(x, y) переходят в полиномы, являющиеся решениями краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа [2]. Например,
lim v0 (x, y ) = y, lim v1 (x, y ) = xy, lim v2 (x, y ) = x2 y—+ a2 y.
Пример 3. Рассмотрим задачу Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения Гельмгольца:
Au (x, y)-X2u (x, y) = x2y2, -i 0,
u(x,0) = 0, uy (x,a) = 0, -i 0,
/ ч 2×2 8 / ч 2x 2a 4a
1 ‘ X4 X6 yy ‘ X2 X4
Решением исходной задачи будет функция:
/ ч x2 y2 2 y2 2×2 8 2 / ч u (x, y) =————-+—u2 (x, y) +
V n X2 X4 X4 X6 X4 П П
8 / ч 2a / \ 4a t ч + — u0 (x, y ) + — v2 (x, y )+»X^ v0 (x, y) =
= x2y2 2y2 2×2 8 2×2 ch(Xy) 2x2sh(Xa)sh(Xy) 2ysh(Xa)ch(Xy) = -_X2 «Xr-«Xr+ X4 X4 ch (Xa) + X5 ch (Xa) +
2a sh (Xy) 2 y sh (Xy) 2a sh2 (Xa )sh (Xy) 8ch((a — y )X) 2a x 2sh (Xy) + X5 X5 X5 ch2 (Xa) + X6 ch (aX ) + X 3ch (Xa)
2ay ch (Xy) 6a sh (Xy) 2a2 sh (Xa)sh (Xy) X4 ch(Xa) X5 ch(Xa ) X4 ch2(Xa)
При X — 0 эта функция переходит в полином:
/ ч 1 , 4 a3 , 1 6 a3 3 3a5
lim u (x, y) = — x2 y4—x2 y—y +—y—y,
X—0 12 3 180 9 10
который является решением краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Пуассона [2]:
Au(x,y) = x2y2, x 0 1
Аналогично случаю задачи Дирихле получаем, что решением задачи Дирихле-Неймана при 9(x) = xk, y(x) = 0, x e Mn, k = (ki, —, kn) — мультииндекс,
Uk (x, y ) = XÜ=!Ck2m xk-2m p2m (X, y ), где C2m = C^1 C^2 — C^’ , [k /2] = ([ki /2], [k2 /2], —, [kn /2]),
p2m ( y )= . . p2 m (X y )• |2m| !m!
При ф(х) = 0, y(x) = xk решением задачи Дирихле-Неймана будет функция:
^k (x, y ) = E [=0Ck2m xk-2>m (X, y ), ,2m (X, y ) = ^^ ^2, m| (X y )•
Функции p2\m\(X, y) и q2\m\(X, y) находятся по формулам (2i) и (22), соответственно.
6. Решение смешанной краевой задачи Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца в случае v = и2
Все формулы, полученные в разделе 5, сохраняются с заменой гиперболических функций на круговые и заменой знака минус на знак плюс в правой части рекуррентных формул (21), (22). А именно, решение задачи Дирихле-Неймана:
Au (x,y) + |2 u (x,y) = 0, |> 0, x e Mn, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Uk (x,у) = Em=0C2m-2mp2m (ц,7),
, ц^п/2а + nk/а, k e N.
Для ф(х) = 0, y(x) = xk, x е Ж, k е Nujo> решением задачи Дирихле-Неймана является функция:
n (x,у) = EmJCk2mxk-2mq2m (ц,у),
ц Эц J ц cos (ца )
, ц^п/2а + пк/а, k e N.
, . x2 sin (цу) у cos (цу) sin (цу) a sin (ца)sin(цу)
V2 ( x, у ) = г» — г +—г +—г ,
цcos(ца ) ц2 cos(ца) ц3cos(ца) ц2 cos2 (ца)
ц^п/2а + nk/а, k e N.
При ц, стремящемся к нулю, v2(x, y) переходит в полиномиальное решение задачи Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа:
lim v2 (x, у) = x2у — + а2у.
Если x e М», n > 1, k, m — мультииндексы, то решения находятся по тем же формулам, в которых теперь
xk = xk1 xk2 .xk» ,Ck2m = CI? Ck22m2 . Ck2nmn , [k/2] = ([k1/2],[k2/2]. [kn/2]),
, , (2m)! Iml! , x ¡ x (2m)! Iml! ¡ x p2m (ц, у )= I I, p2 m (ц, у), q2m (Ц, у )= I I, q2| m| (Ц, у).
6.1. Единственность решения задачи Дирихле-Неймана
Аналогично случаю задачи Дирихле показывается, что решение задачи Дирихле-Неймана (23), (24) будет единственным в классе функций медленного роста, если
0 п2 / 4a2, |2 = п2 / 4a2 + b2, b2 > 0, то функции i(bi x )sin (b2 X2 ). sin (b„x„ )s
где Ь1, Ь2. — произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству Ь2 + Ь| + . + Ь2 = Ь2, являются нетривиальными решениями соответствующей однородной краевой задачи.
Пример 4. Рассмотрим задачу Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения Гельмгольца:
Ди(х,у) + |12и(х,у) = х(2ДД)у3, хеМ3, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
6. Никольский С. М. Еще о краевой задаче с многочленами // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 286-288.
7. Карачик В. В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149-1170.
8. Волков Е. А. Критерий разрешимости краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на специальных треугольниках и прямоугольнике в алгебраических многочленах // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227.
9. Волков Е. А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Труды математического института им. В. А Стеклова. 2001. Т. 232. С. 102-114.
10. Hayman W. K., Shanidze Z. G. Polynomial solutions of partial differential equations // Methods and Applications of Analysis. 1999. Vol. 6. No. 1. P. 97-108.
11. Differential-symbol method of constructing the quasi-polynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation / Nytrebych Z. M., Il’kiv V. S., Pukach P. Ya., Malanchuk O. M. // Journal of Mathematical Sciences. 2019. Vol. 239. Iss. 1. P. 62-74.
12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.
1. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniya matematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1972. 736 p.
2. Algazin O. D. [Polynomial Solutions of the Boundary-Value Problems for the Poisson Equation in a Layer]. In: Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2017, no. 6, pp. 1-18.
3. Algazin O. D. [Dirichlet problem polynomial solutions for the Tricomi equation in a strip]. In: Matematika i matematicheskoe modelirovanie [Mathematics and Mathematical Modeling], 2018, no. 3, pp. 1-12.
4. Algazin O. D. [Polynomial solutions to the mixed Dirichlet-Neumann boundary-value problem for the Tricomi equation in a strip]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo universiteta. Seriya: Fizika-Matematika [Bulletin of the Moscow state regional University. Series: Physics-Mathematics], 2018, no. 3, pp. 8-21.
5. Nikol’skii S. M. [A Boundary-Value Problem for Polynomials]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 1999, vol. 227, pp. 223-236.
6. Nikol’skii S. M. [More on a Boundary-Value Problem with Polynomials]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 232, pp. 286-288.
7. Karachik V. V. [Construction of polynomial solutions to the Dirichlet problem for the polyharmonic equation in a ball]. In: Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 2014, vol. 54, no. 7, pp. 1149-1170.
8. Volkov E. A. [Criterion of Solvability for Boundary-Value Problems for the Laplace and Poisson Equations on Special Triangles and a Rectangle in Algebraic Polynomials]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 1999, vol. 227, pp. 122-136.
9. Volkov E. A. [On the Solvability, in the Class of Polynomials, of the Dirichlet Problem for the Laplace Equation on an Arbitrary Polygon]. In: Trudy matematicheskogo instituta im. V A. Steklova [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics], 2001, vol. 232, pp. 102-114.
10. Hayman W. K., Shanidze Z. G. Polynomial solutions of partial differential equations. In: Methods and Applications of Analysis, 1999, vol. 6, no. 1, pp. 97-108.
11. Nytrebych Z. M., Il’kiv V. S., Pukach P., Malanchuk O. M. Differential-symbol method of constructing the quasi-polynomial solutions of a two-point problem for a partial differential equation. In: Journal of Mathematical Sciences, 2019, vol. 239, iss. 1, pp. 62-74.
12. Vladimirov V. S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Алгазин Олег Дмитриевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики и математической физики Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана (национального исследовательского университета); e-mail: mopi66@yandex.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Oleg D. Algazin — PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor at the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University; e-mail: mopi66@yandex.ru
ПРАВИЛЬНАЯ ССЫЛКА НА СТАТЬЮ
Алгазин О. Д. Точные решения краевых задач для уравнения Гельмгольца в слое с полиномами в правых частях уравнения и граничных условий // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. 2020. № 1. С. 6-27. DOI: 10.18384/2310-7251-2020-1-6-27
Algazin O. D. Exact solutions to the boundary-value problems for the Helmholtz equation in a layer with polynomials in the right-hand sides of the equation and of the boundary conditions. In: Bulletin of the Moscow state regional University. Series: Physics-Mathematics, 2020, no. 1, pp. 6-27.