Задачи дифференциальные уравнения в экономике задачи

Задачи экономического содержания и дифференциальные уравнения, Монако Т.П., 2016

Задачи экономического содержания и дифференциальные уравнения, Монако Т.П., 2016.

Сборник задач предназначен для студентов высших учебных заведений. обучающихся по экономическим специальностям и изучающим математические дисциплины в соответствии с образовательными стандартами. Приведены разноуровневые экономические задачи, решение которых требует широкомасштабного использования аппарата дифференциальных уравнений. Представлен необходимый теоретический материал, позволяющий решать различные экономические проблемы методами дифференциальных уравнений. Некоторые параграфы содержат необходимый теоретический материал.
Данный задачник будет полезен студентам, аспирантам, преподавателям, а также все и всем желающим научиться применять математический инструментарий в экономических исследованиях и для успешного ведения бизнеса.

Уравнение инфляционного ожидания.
Согласно научным исследованиям на экономические процессы в условиях инфляции заметное влияние может оказывать настроение основной части населения относительно ожидаемого в будущем темпа роста цен. Так, если большая часть населения страны ожидает дальнейшего усиления роста цен, то она не станет вкладывать сбережения в банки, а будет покупать впрок товары повседневного спроса, менять деньги на твердую валюту. т.е. будет себя вести экономически разумно, и в результате темпы роста цен действительно будут увеличиваться.

Если же основная доля населения полагает, что в ближайшем будущем будет оживление в экономике и темпы инфляции снизятся, то люди будут больше покупать товаров длительного пользования и вкладывать деньги в банки (и, тем самым, инвестировать экономику страны), в результате. как правило, такое оживление в экономике действительно наступает.

Оглавление.
Предисловие.
§1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
1.1. Взаимосвязь функции спроса и эластичности.
1.2. Модель формирования равновесной цены на товар.
1.3. Модель естественного роста.
1.4. Задача об эффективности рекламы.
1.5. Уравнение инфляционного ожидания.
1.6. Задача о доходе и потреблении.
1.7. Закон логистического развития в инновационном менеджменте.
§2. Задачи экономического содержания, решаемые средствами дифференциальных уравнении.
ГЛОССАРИЙ.
Литература.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи экономического содержания и дифференциальные уравнения, Монако Т.П., 2016 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Примеры приложений к задачам экономики:

Еще раз о теории

Если в уравнении

f ( x, y ) = f₁( x ) f₂( y ), то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Его общий вид:

Предполагая, что f₂( y ) ¹ 0, преобразуем последнее уравнение:

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы .

Задача . Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x ( t ). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t :

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

из которого определим функцию x ( t ):

Здесь E = e –D . Такого вида функция называется логистической , а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что х (0) = х ₀ и положить х₀ = N/ a , где a > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

На рисунке 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях a . Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

2. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

При a₀ ¹ 0 его можно представить в виде:

Если правые части (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными, в противном случае – неоднородными.

Если в уравнении (1) a₀( x ) = a₀ и a₁( x ) = a₁, то есть эти функции являются константами, то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное уравнение

Перепишем его в виде: или . Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x . Интегрируя это равенство, получаем ln y = – ax + C, или y = e – ax + C , где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение e C = A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде:

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку ( x₁, y₁), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. С этим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой

Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x , равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (4) (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y ( x₁) = y₁, считая его начальным условием.

Если в уравнении (3) a = 0, то интегрирование приводит к решению y ( x ) = C, то есть к константе, которая при начальном условии (5) равна y₀. Таким образом решение y ( x ) сохраняет начальное значение y₀ при изменении x .

Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано уравнение

с начальным условием y (0) = y₀.

Введем новую неизвестную (считаем, что a ¹ 0). Теперь уравнение (7) примет вид или z ¢ + az = 0. Как было показано выше, решением последнего уравнения является функция z = z₀ e – ax , где . Возвращаясь к изначальной неизвестной, получаем решение уравнения (7) при заданном начальном условии:

. (8)

Если в уравнении (7) a = 0, то его решением при заданном начальном условии будет функция y ( x ) = bx + y₀.

Заметим, что решение (8) состоит из двух частей:

y_h = Ae – ax ‑ решения однородного уравнения y ¢ + ay = 0 и

y ₀ ( x ) = b / a ‑ решения, которое назовем равновесным и которое получается , если в уравнении (7) положить y ¢ = 0. Такое представление позволяет рассматривать решение (8) уравнения (7) как сумму равновесного или фиксированного значения y_e и отклонения или девиации y_h траектории y ( x ) от равновесного значения. Это отклонение возрастает экспоненциально с ростом x при a a > 0. В первом случае ( a неустойчивым, а во втором – устойчивым (асимптотически устойчивым).

Как показано на рисунках 1 и 2, отклонение y_h = ( y₀ – y_e ) e – ax от уровня равновесия уменьшается с ростом x при a > 0 и увеличивается с ростом x при a

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом.

Задача. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное количество товара, выставляемое на продажу при данной цене, называется предложением и будет обозначаться S( p ). Также каждый покупатель сообщает, сколько товара он собирается купить при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем будет называться спросом и обозначаться D( p ). Введем понятие избыточного спроса E( p ) как разности между спросом и предложением: E( p ) = D( p ) – S( p ). Если E( p ) ³ 0, цена растет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и предложения, то есть равенством D( p ) = S( p ) или E( p ) = 0. Если E( p ) £ 0, то есть имеет место избыточное предложение, происходит снижение цены, пока не наступит равновесие. Здесь уместно сделать самое простое возможное предположение, заключающееся в том, что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д.

Отсюда следует уравнение

Здесь k ‑ положительная константа, отражающая скорость процесса.

Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены:

Тогда, приняв начальное условие p (0) = p₀, будем иметь уравнение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое, как было показано выше, имеет решение

которое устойчиво, если b – d 0 и неустойчиво при b – d > 0. Но b ‑ тангенс угла наклона кривой спроса, а d ‑ тангенс угла наклона кривой предложения, и если выполняется условие b – d 0 (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены ) , рынок устойчив, то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой. Если b – d > 0, рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция.

3. Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде:

Здесь a ( x ) ‑ некоторая функция аргумента x . Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b ( x ) в правой части (9) равной нулю. Представив уравнение у ¢ + a ( x ) y = 0 в виде

после интегрирования получаем

. (10)

Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y (0) = 0.

Пример. Решить уравнение y ’ + 2 xy = 0 при начальном условии y (0) = 3.

a ( x ) = 2 x,

и начальное условие определяет A = 3. Искомое решение имеет вид

Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (10) A = A( x ), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x . Этот метод называется методом вариации произвольной постоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (9) при условии, что b ( x ) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (10) получаем :

; .

После подстановки этих выражений уравнение (9) принимает вид

откуда следует уравнение относительно функции :

Подставив это выражение в (10), получим общее решение уравнения (9):

. (11)

Пример. Решить уравнение при начальном условии y (1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F (см. формулу (1) из §1).)

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения получается из формулы (10):

. (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A( x ) есть некоторая функция аргумента x . Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим :

откуда следует, что A ¢ ( x ) = x 2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .

Дифференциальные модели в экономике, биологии и медицине

В этом параграфе мы разберем несколько классических моделей, предложенных за последние 200 лет в различных областях науки: экономике, биологии и медицине. Общим при построении этих моделей является использование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, которые несложно решить, прочитав §59 данного справочника.

п.1. Экономика. Равновесная цена в модели Вальраса

Начальные сведения о модели рыночного равновесия, кривых спроса и предложения – см. §18 справочника для 9 класса.
Рассмотрим поведение рыночной цены при небольшом отклонении от точки равновесия по методу, предложенному Леоном Вальрасом (1874 г.)
Пусть p — цена товара, D(p) — спрос на него, S(p) — предложение.
Пусть спрос и предложение на рынке уравновешены, равновесная цена равна $p_0$.
Если спрос начнет немного превышать предложение, то цена начнет расти: $$ \frac

=D(p)-S(p) $$ В точке равновесия: $$ \frac

|_=0,\ \ D(p_0)-S(p_0)=0 $$ Разложим каждую из функций с помощью дифференциала (см. §52 данного справочника) с точностью до линейного множителя: \begin D(p)\approx D(p_0)+D'(p_0)(p-p_0)\\ S(p)\approx S(p_0)+S'(p_0)(p-p_0) \end Тогда разность спроса и предложения: \begin D(p)-S(p)\approx D(p_0)+D'(p_0)(p-p_0)-S(p_0)-S'(p_0)(p-p_0)=\\ =\underbrace_<=0>+\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)(p-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)(p-p_0) \end Получаем уравнение с разделяющимися переменными: \begin \frac

=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)(p-p_0)\\ \frac

=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)dt \end Интегрируем: $$ \int \frac

=\ln(p-p_0),\ \ \int\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)dt=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t $$ Общее решение: $$ \ln(p-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t+C $$ Пусть при $t=0$ наблюдается неравновесная цена $p(0)\ne p_0$. Находим C: $$ \ln(p(0)-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)\cdot 0+C\Rightarrow C=\ln(p(0)-p_0) $$ Решение задачи Коши: \begin \ln(p-p_0)=\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t+\ln(p(0)-p_0)\\ e^<\ln(p-p_0)>=e^<\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t+\ln(p(0)-p_0)>\\ p-p_0=(p(0)-p_0)e^ <\left(D'(p_0)-S'(p_0)\right)t>\end

Например:
Пусть $D(p)=9-\frac<6>,\ S(p)=\frac<12>$
$\sqrt=y’x$ — ДУ первого порядка первой степени
Тогда равновесная цена $9-\frac<6>=\frac<12>\Rightarrow \frac<4>=9\Rightarrow p_0^2=36\Rightarrow p_0=6$

Значения производных: \begin D'(p)=0-\frac<2p><6>=-\frac p3,\ \ D'(p_0)=-2\\ S'(p)=\frac<2p><12>,\ \ S'(p_0)=1 \end Изменение цены со временем в этом случае: $$ p(t)=6+(p(0)-6)e^<(-2+1)t>=6+(p(0)-6)e^ <-t>$$ Построим графики для трех различных цен в начальный момент времени: $$ p(0)=\left\ <5;7;9\right\>$$ $p(0)=5:\ p(t)=6-e^<-t>$
$p(0)=7:\ p(t)=6+e^<-t>$
$p(0)=9:\ p(t)=6+3e^<-t>$

Все три кривые постепенно сходятся к равновесной цене $p_0=6$.

Устойчивое схождение к $p_0$ будет наблюдаться только при условии: $$ D'(p_0)-S'(p_0)\lt 0 $$ Т.е кривая спроса должна быть более крутой в своем спуске, чем кривая предложения на подъеме. Говорят, что эластичность спроса по цене в точке равновесия должна быть выше, чем эластичность предложения по цене.

Если степень при экспоненте будет положительной, $D'(p_0)-S'(p_0)\gt 0$ решение уходит на бесконечность. Говорят, что такое решение неустойчиво.
Если степень при экспоненте будет равна нулю, $D'(p_0)-S'(p_0)=0$, цена не будет меняться и останется неравновесной.

п.2. Биология. Логистическое уравнение Ферхюльста для роста популяции

Пусть $P(t)$ – численность популяции. Построим модель её изменения со временем.
Логично предположить, что прирост потомства в популяции пропорционален количеству особей, из чего получаем:

Закон Мальтуса (1798 г.): $$ \frac

=rP $$ $r$- удельный прирост популяции за единицу времени.

Решением этого уравнения будет $P(t)=P_0e^$ — уходящая в бесконечность экспонента. Что заставило Мальтуса заявить о грядущем перенаселении планеты и потребовать жестких мер по ограничению рождаемости.
Впрочем, в 1804 г. население Земли достигло первого миллиарда, а сегодня, несмотря на многие неприятности, на планете живет уже в 7 раз больше.
Введем в уравнение некий уменьшающий рост популяции фактор – естественный или искусственный – пропорциональный квадрату $P$.
Ферхюльст (1838 г.) предложил такую форму записи: $$ \frac

=rP\left(1-\frac PK\right) $$

Закон Ферхюльста (1838 г.): $$ \frac

=rP\left(1-\frac PK\right) $$ $r$- удельный прирост популяции за единицу времени.
$K$- максимальный размер популяции в условиях ограниченных ресурсов.

Решение уравнения Ферхюльста (логистическая кривая): $$ P(t)=\frac>-1)> $$

Например:
Пусть популяция растет со скоростью $r=0,1$ тыс/год
Начальное количество особей $P_0=1$ тыс
Максимальное количество, которое способна прокормить данная территория, $K=10$ тыс

Модель показывает, что через 70 лет популяция займет всю нишу, и её рост фактически прекратится.
На начальном этапе преобладает r-стратегия: бурное размножение и короткая продолжительность жизни.
Исчерпание ресурсов заставляет переходить на K-стратегию: низкий темп размножения и долгую жизнь.

Экспериментально рост популяции по кривой Ферхюльста был подтвержден в лабораторных условиях для мух-дрозофил. В естественных условиях для животных – и тем более, в рамках социума для людей – закономерность нарушается.

п.3. Медицина. Модель развития эпидемии SIR

Традиционной моделью, описывающей процесс развития эпидемии, является модель SIR (Susceptible/Infected/Recovered), предложенная У. Кермаком и А. Маккендриком в 1927 г.
Вся популяция в модели делится на три группы:

$S(t)$— восприимчивые к инфекции, здоровые на момент времени $t$;
$I(t)$— уже инфицированные;
$R(t)$— выздоровевшие, больше невосприимчивые к инфекции.

Популяция считается постоянной, т.е. $N=S(t)+I(t)+R(t)=const$.
Рождаемость и смертность не учитывается.
Получаем следующую систему дифференциальных уравнений: $$ \begin \frac

=-\beta\frac\\ \frac

=\beta\frac=-\gamma I(t)\\ \frac

=\gamma I(t) \end $$ где $\beta$ – скорость заражения, вероятность заболевания в случае контакта с инфицированным; $\gamma$ — скорость выздоровления, $\gamma=\frac1T;\ Τ$ – период болезни.
Начальные условия в момент времени $t=0$: $$ S(0)=S_0\geq 0,\ \ I(0)=I_0\geq 0,\ \ R(0)=R_0\geq 0 $$ Переход из одной группы в другую можно изобразить линейной схемой:

№	Переход одного человека из одной группы в другую	Скорость перехода
1	$$ (S;I)\rightarrow (S-1;\ I+1) $$	$$ \beta\frac $$
2	$$ (I;R)\rightarrow (I-1;\ R+1) $$	$$ \gamma I $$

Полученная система уравнений не является линейной и не имеет точного аналитического решения. Но её можно решить с использованием численных методов.
$$ \begin \frac<\triangle S(t)><\triangle t>=-\beta\frac\\ \frac<\triangle I(t)><\triangle t>=\beta\frac-\gamma I(t)\\ \frac<\triangle R(t)><\triangle t>=\gamma I(t) \end $$ Считаем $\triangle t=1$ – следующий шаг итерации. Тогда: $$ \begin S_-S_i=-\beta\frac\\ I_-I_i=\beta\fracI_i>-\gamma I_i\\ R_-R_i=\gamma I_ \end $$ Получаем следующий итеративный процесс: $$ \begin S_=\left(1-\beta\frac\right)S_i\\ I_=\left(1+\beta\frac>-\gamma \right)I_i\\ R_=\gamma I_+R_i \end $$ Знаний по информатике вам должно хватить, чтобы написать небольшой скрипт с циклом для этих уравнений и построить график.

Например:
Пусть общее количество населения N=10 тыс.чел.
В начальный момент инфицирован 1% населения: $$ S(0)=0,99N,\ \ I(0)=0,01N,\ \ R(0)=0 $$ Параметры: $\beta=0,128;\ \gamma=0,096$ в расчете на день (эти параметры были рассчитаны по фактическим данным для лихорадки Эбола в Сьерра-Леоне).
Результат моделирования в MATLAB:
Красная кривая – это количество болеющих в данный момент. Как мы видим, к концу года она стремится к 0. Пик приходится на 70-80 дней с начала эпидемии и составляет 413 чел. или 4,13% населения.
Зеленая кривая – количество переболевших, к концу года выходит на асимптоту в 4700 чел. или 47,0% населения.
Синяя кривая – количество так и не заболевших, к концу года спускается на асимптоту в 5300 чел. или 53,0% населения.

Чем больше больных у вас будет в начале эпидемии и чем больше параметр $\beta$, тем выше будет пик $I_$ для болеющих. Также, количество переболевших в конце эпидемии будет больше количества не заболевших.

Модель SIR – это начальный этап для исследований. На практике для моделирования эпидемий могут использоваться модели с десятками переходов и параметров, с постепенным усложнением по мере накопления данных.

источники:

http://ef.donnu-support.ru/pvd141048/Data/MdE/ModBM/Praktika/Rechen/Prilog/0A13(pril).htm

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/differencialnye-modeli-v-ekonomike-biologii-i-medicine/