Задачи егэ с составлением уравнений

Текстовые задачи на уравнения и системы.

Здесь Вы сможете потренироваться в решении текстовых задач ЕГЭ по математике, для которых, как правило, требуется составить и решить уравнение или систему уравнений, реже — неравенство или сиcтему неравенств. В демонстрационном варианте профильного уровня ЕГЭ 2022 года эти задачи могут встретиться под номером 8.

Рекомендую начинать решение таких задач с краткой записи их условия. И ни в коем случае не спешите смотреть ответы и решения раньше, чем успеете сами подумать о них. Возможны разные способы решения, и не факт, что Ваш способ намного хуже моего.

Задачи с участием водного транспорта.

Такие задачи очень часто сводятся к решению квадратного уравнения. Повторите его.

Задача 1

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Cкорость яхты в неподвижной воде обозначим символом v.
Плот движется со скоростью течения реки (2 км/ч), поэтому легко вычислить, за сколько времени плот прошел 24 км: 24/2 = 12 часов.
Яхта отправилась на час позже, значит она была в пути 12 — 1 = 11 часов. За это время она проследовала из пункта A в пункт В по течению реки со скоростью v + 2 км/ч, затратив на это 120/(v + 2) часов, и обратно — против течения со скоростью v — 2 км/ч, затратив на возвращение 120/(v — 2) часов.
Приравнивая сумму времен на путь туда и обратно общему времени в пути, составляем уравнение и решаем его.

Отрицательный корень уравнения в качестве скорости яхты не имеет смысла, поэтому v = 22 км/ч.

Ответ: 22

Задача 2

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Обозначим символом v км/ч собственную скорость лодки. Тогда скорость лодки по течению реки составляет v + 1 км/ч, на обратном пути v — 1 км/ч.
Расстояние между пунктами нам известно. Определим время в пути по течению реки 30/(v + 1) часов и время в пути против течения 30/(v — 1) часов. Сложив эти времена, можем узнать общее время движения лодки.
С другой стороны, нам известны начальный и конечный моменты всей поезки, можем определить её длительность. Всего поездка длилась 18 — 10 = 8 часов. Из них 2 часа 30 минут = 2,5 часа лодка была на стоянке в пункте В, значит всего в движении 8 — 2,5 = 5,5 часов.
Приравнивая эти времена, составляем уравнение и решаем его. Так как в уравнении присутствуют дроби, то число 5,5 тоже удобнее записать в виде обыкновенной дроби 11/2.

Отрицательный корень уравнения в качестве скорости лодки не имеет смысла, поэтому v = 11 км/ч.

Ответ: 11

Задача 3

Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим символом v км/ч скорость баржи в направлении от А к В. Тогда скорость баржи в обратном направлении равна v + 3 км/ч. От А к В баржа двигалась 390/v часов, обратно двигалась 390/(v + 3) часов и еще 9 часов стояла, всего на обратный путь ушло 390/(v + 3) + 9 часов. По условию время в пути туда равно времени на обратный путь, поэтому можем приравнять времена, составить и решить уравнение.

Отрицательный корень уравнения в качестве скорости баржи не имеет смысла, поэтому v = 10 км/ч.

Ответ: 10

Замечание: На озере нет скорости течения воды в одном направлении.

В следующей задаче появляется дополнительное «действующее лицо» — время года, поэтому становится удобнее решать не уравнением, а системой уравнений.

Задача 4

Весной катер идёт против течения реки в 1 2 /₃ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1 /₂ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Обозначим символом v собственную скорость катера (км/ч), символом x — скорость течения реки весной (км/ч). Тогда скорость течения реки летом составляет (x — 1) км/ч. Имеем
весной: катер идёт против течения со скоростью (v — x), по течению со скоростью (v + x). По условию первая скорость в 1 2 /₃ раза меньше, т.е.
(v + x)/(v — x) = 1 2 /₃ ;
летом: катер идёт против течения со скоростью (v — (x — 1)), по течению со скоростью (v + (x — 1)). По условию первая скорость в 1 1 /₂ раза меньше, т.е.
(v + (x — 1))/(v — (x — 1)) = 1 1 /₂ .
Объединяем уравнения в систему и решаем её:

Ответ: 5

Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?

Задачи на проценты с уравнениями и без них.

Следующую задачу можно отнести к задачам на сплавы и растворы, а можно считать такой же обычной задачей на проценты, как простые текстовые задачи на проценты. В этот раздел, как я полагаю, она отнесена не за математическую трудность, а за «трудность» понятий «виноград» и «изюм». Не так ли?

Задача 5

Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Для получения изюма виноград сушат, т.е. удаляют из него влагу. Влага нам не нужна, нужно остальное!
Способ I.
Этого остального в изюме 100% — 5% = 95%, т.е. 20·0,95 = 19 кг. (95% = 0,95. Часть от числа находим умножением.)
В винограде остального было столько же, 19 кг. (Оно не исчезало и не прирастало при сушке.) По условию задачи остальное в винограде составляло 100% — 90% = 10%. Таким образом 10% = 0,1 составляют 19 кг. Число по его части находим делением: 19/0,1 = 190 кг.
Для получения 20 килограммов изюма потребуется 190 килограммов винограда.
Способ II.
Обозначим вес винограда за x кг. Определим количество не влаги (остального) в винограде: x — x·0,9. Определим количество не влаги (остального) в изюме: 20 — 20·0,05. Это равные количества, поэтому можно составить уравнение
x — x·0,9 = 20 — 20·0,05.
Решаем уравнение: x·(1 — 0,9) = 20 — 1; x·0,1 = 19; x = 19/0,1 = 190.

Ответ: 190

И еще одна простая задача на проценты, подобная тем, которые мы решали в разделе «Простые текстовые задачи».

Задача 6

В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

В 2008 году проживало 100% или 40000 человек, в 2009 году — на 8% больше, т.е. 108%, или 40000·1,08 = 43200 человек.
В 2009 году проживало 100% или 43200 человек, в 2010 году — на 9% больше, т.е. 109%, или 43200·1,09 = 47088 человек.

Ответ: 47088

А теперь сравните следующую и предыдущую задачи. Похожи?

Задача 7

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

При открытии торгов в понедельник акции стоили 100% или А рублей, до начала торгов во вторник — на х% больше, т.е. (100 + х)% или А·(100 + х)/100 рублей.
При открытии торгов во вторник акции стоили 100% или А·(100 + х)/100 рублей, по окончании торгов во вторник — на х% меньше, т.е. (100 — х)% или (А·(100 + х)/100)·(100 — х)/100 рублей.
С другой стороны,
при открытии торгов в понедельник акции стоили 100% или А рублей, по окончании торгов во вторник — на 4% меньше, т.е. 96% или А·0,96 рублей.
Составляем уравнение для стоимости акций на конец дня вторника:
(А·(100 + х)/100)·(100 — х)/100 = А·0,96.
Обе части уравнения разделим на А и умножим на 100 2 , получим:
(100 + х)·(100 — х) = 9600.
Таким образом, в уравнении величина А «сократилась», т.е. она не была дана в условии потому, что не влияет на результат решения. Нам А понадобилась только для того, чтобы рассуждать аналогично предыдущей простой задаче.
Итак, решаем уравнение:
100 2 — х 2 = 9600;
х 2 = 10000 — 9600 = 400;
х = 20 (%).

Ответ: 20

Задача 8

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Определим какая часть уставного капитала внесена каждым учредителем. Митя — 14% = 0,14. Антон — 42000/200000 = 0,21. Гоша — 0,12. Борис — 1 − (0,14 + 0,21 + 0,12) = 0,53.
Прибыль делится пропорционально внесенному капиталу. Следовательно, если Борис внес 0,53 части от 200000, то он должен получить также 0,53 части от 1000000. Часть от числа находим умножением 1000000×0,53 = 530000 (рублей).

Ответ: 530000

Задачи на системы линейных уравнений.

Задача 9

Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 20% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Обозначим за х кг массу первого сплава, за y кг массу второго. Соединив сплавы вместе, получили х + y = 225 кг третьего сплава.
При получении третьего сплава также объединили весь никель. В первом сплаве его было х·0,05 кг, во втором было y·0,20 кг, в третьем стало х·0,05 + y·0,20, что по условию задачи составляет 15% от 225 кг, т.е. 225·0,15 кг = 33,75 кг. Таким образом, х·0,05 + y·0,20 = 33,75.Получили два уравнения объединяем их в систему и решаем её.

Определили массы обоих сплавов х = 75 кг и y = 150 кг. В ответе требуется записать их разность (на сколько масса первого меньше массы второго), т.е. 150 — 75 = 75 (кг).

Ответ: 75

Одна из главных трудностей при алгебраическом решении текстовых задач состоит в выборе неизвестной величины или величин, которые будут обозначены буквами. Я советую начинать либо с того, что спрашивается в вопросе задачи, либо с того, что содержится в основной формуле, которая описывает процесс. Например, решение задачи на движение основано на применении правила «расстояние = скорость × время». Значит либо расстояние = x, либо время = t, либо скорость = v, смотря что дано, а что неизвестно. При этом, можно получить алгебраические уравнения разного вида. Ведь и «скорость = расстояние : время» и «время = расстояние : скорость». Собственно это варианты одной и той же физической формулы. И от того, в каком варианте вы её раньше вспомните, будет зависеть, как вы введёте обозначения и какие получите уравнения. Здесь не может быть правильного или неправильного начала решения задачи, начните как-нибудь, важно, чтобы было правильным окончание. Однако, решение может оказаться оптимальным и неоптимальным. Вы можете получить слишком громоздкие и сложные уравнения. В этом случае стоит попробовать вернуться к началу задачи и ввести другое обозначение.

Системы уравнений имеет смысл составлять тогда, когда в задаче идет речь о двух или нескольких объектах, на которые одновременно действуют два или несколько факторов, накладывается два или несколько совместимых условий и т.п. Таких ситуаций много в быту, в технике и, особенно много, в экономике. Те из вас, кто собирается продолжать образование, еще не раз столкнутся с системами из разного количества уравнений с разным количеством неизвестных. На экзамене, как правило, вы будете составлять и решать системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Задачи на объезд, обгон и встречное движение.

Когда мы решаем на уроке математики задачи на движение, мы редко вспоминаем о том, что все формулы относятся к описанию движения материальной точки. Происходит это потому, что движущийся объект, как правило, очень мал по сравнению с расстоянием, которое он проходит. Например, поезд, который следует из Москвы в Тюмень всего лишь точка на карте России. Но поезд, который едет по железной дороге в то время, когда мы стоим на переезде и ждем его, вовсе не точка. Его проезд вдоль закрытого шлагбаума занимает порой значительное время. Можно ли в этом случае применять те же формулы? Давайте заглянем в учебник физики, раздел механика. Ответ: можно, если не требуется учитывать вращение или деформирование движущегося объекта. Как применять? Записать их для некоторой точки этого объекта, чаще всего, для центра тяжести. Однако это необязательно, можно выбрать любую точку, которая неподвижна относительно самого объекта.

Итак, чтобы решать задачи на поступательное движение с протяженным объектом, ставим на нём точку в удобном месте, затем чертим схему, на которой отмечаем положение этой точки в заданные моменты времени. И не забываем перейти к одинаковым единицам измерения.

В следующих задачах с поездами, точку я ставила в самом начале — «на носу» поезда. Схему рисовала на нижней линии, а выше рисунки, которые её поясняют.

Задача 10

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

1) Время дано в секундах, длину проезда нужно найти в метрах, поэтому выразим скорость в м/c. Умножим на 1000, чтобы перейти от километров к метрам, и дважды разделим на 60, чтобы перевести часы в минуты, а минуты в секунды: 80 км/ч = 80·1000/60/60 = 800/36 м/с.
2) Ставим красную точку «на носу» поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение этой точки, когда поезд только начал движение мимо столба, и положение этой точки через 36 секунд, когда поезд проехал мимо столба.

3) По схеме видно, что точка прошла расстояние AB. Известно время (36 с), известна скорость (800/36 м/с), можем найти это расстояние.
AB = (800/36)·36 = 800 (м).
4) Из рисунка видно, что это расстояние совпадает с длиной поезда.

Ответ: 800

Замечание: иногда лучше не производить до конца деление в промежуточных выкладках, потому что в конце дробь может легко сократиться, как это получилось здесь с числом 36.

Задача 11

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.

Решение

1) Время дано в минутах, длину проезда нужно найти в метрах, поэтому выразим скорость в м/мин: 60 км/ч = 60·1000/60 м/мин = 1000 м/мин.
2) Ставим красную точку «на носу» поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение этой точки, когда поезд начал движение мимо лесополосы, и положение этой точки через минуту, когда поезд только что проехал её полностью.

3) По схеме видно, что точка прошла расстояние AС. Известно время (1 мин), известна скорость (1000 м/мин), можем найти это расстояние: AC = 1000·1 = 1000 (м).
4) Из рисунка видно, что это расстояние состоит из двух частей — отрезок AВ равен длине поезда и отрезок ВС равен длине лесополосы.
Находим AВ = AC − BC = 1000 − 400 = 600 (м).

Ответ: 600

Задача 12

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Решение

1) Время дано в минутах, ответ нужно дать в метрах, поэтому выражаем обе скорости в м/мин: 90 км/ч = 90·1000/60 = 1500 м/мин; 30 км/ч = 30·1000/60 = 500 м/мин.
2) Ставим красную точку «на носу» пассажирского поезда, и фиолетовую точку «на носу» товарного поезда. Чертим схему, на которой отмечаем положение обеих точек в момент, когда пассажирский поезд догнал товарный, и их положение через минуту, когда пассажирский поезд закончил обгон товарного.

3) По схеме видно, что красная точка прошла расстояние AD за 1 минуту со скоростью 1500 м/мин, следовательно AD = 1500·1 = 1500 (м). Аналогично, фиолетовая точка прошла расстояние BС за 1 минуту со скоростью 500 м/мин, следовательно BC = 500·1 = 500 (м).
4) Из рисунка видно, что AD = AB + ВС + CD, где отрезок AВ равен длине пассажирского поезда, отрезок СD равен длине товарного поезда.
Находим длину пассажирского поезда AВ = AD − BC − CD = 1500 − 500 − 600 = 400 (м).

Ответ: 400

Задача 13

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 300

Для тех из вас, кто знает, что такое относительная скорость, и не боится элементов физики в математических задачах, напоминаю, что существует приём, позволяющий заметно упростить решение задач на объезд, обгон и встречное движение. Нужно один объект «остановить», а скорость другого увеличить на величину скорости первого, если они движутся навстречу друг другу, или, соответственно, уменьшить, если оба движутся в одном направлении. Ниже приведено решение задач 12 и 13 этим способом.

Решение способом II для задачи 12.
Рассмотрим движение пассажирского поезда относительно товарного. Тогда товарный поезд «стоит», а пассажирский едет со скоростью 90 — 30 = 60 км/ч = 1000 м/мин. С этой скоростью за 1 минуту он проезжает расстояние 1000 м, равное длине товарного поезда плюс его собственная длина. (См. картинку к задаче 11 про лесополосу, в качестве которой теперь выступает «стоящий» товарный поезд.) Следовательно, его собственная длина = 1000 — 600 = 400 м.

Ответ: 400.

Решение способом II для задачи 13.
Рассмотрим движение скорого поезда относительно пассажирского. Тогда пассажирский поезд «стоит», а скорый едет со скоростью 65 + 35 = 100 км/ч = 100×1000/3600 = 1000/36 м/c. С этой скоростью за 36 секунд он проезжает расстояние 1000 м, равное длине пассажирского поезда плюс его собственная длина. (См. картинку к задаче 11 про лесополосу, в качестве которой теперь выступает «стоящий» пассажирский поезд.) Следовательно, его собственная длина = 1000 — 700 = 300 м.

Ответ: 300.

Какой способ лучше — судить вам. Но сначала попробуйте самостоятельно решить следующую задачу.

Задача 14

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Скорость движения первого сухогруза в метрах в минуту (м/мин) обозначим символом v₁, второго — символом v₂. Тогда за 12 минут первый сухогруз прошел расстояние v₁·t = v₁·12 (м), второй сухогруз прошел расстояние v₂·t = v₂·12 (м).
Ставим красную точку на носу первого сухогруза, зеленую — на носу второго. Рисуем схему: точки A, C — положение судов в начальный момент времени, D, F — в конечный. Точками B и Е обозначаем положение кормы сухогруза, идущего впереди.

На схеме AF = AB + BC + CD + DE + EF, где отрезки
АВ — отставание носа второго сухогруза от кормы первого в начале наблюдения, AB = 400 м;
ВС — длина первого сухогруза (расстояние от носа до кормы), ВС = 120 м;
СD — расстояние, пройденное первым сухогрузом за время наблюдения, СD = v₁·12 м;
DE — отставание носа первого сухогруза от кормы второго через 12 минут, DE = 600 м;
EF — длина второго сухогруза (расстояние от носа до кормы), EF = 80 м;
AF — расстояние, пройденное вторым сухогрузом за время наблюдения, AF = v₂·12 м.
Подставляем длины отрезков в равенство и проводим вычисления:
v₂·12 = 400 + 120 + v₁·12 + 600 + 80;
v₂·12 = v₁·12 + 1200; (v₂ − v₁)·12 = 1200; v₂ − v₁ = 1200/12 = 100 (м/мин).
Таким образом, скорость первого сухогруза меньше скорости второго на 100 метров в минуту. Чтобы дать ответ в километрах в час, нужно умножить на 60 (минут в часе) и разделить на 1000 (метров в километре): 100·60/1000 = 6 км/ч.

Найдём разность скоростей сухогрузов в метрах в минуту. Эта величина является относительной скоростью, с которой более быстрый корабль движется относительно «остановленного» медленного. Разберёмся, какое расстояние он прошел за описанные в условии задачи 12 минут:
1) нос движущегося сухогруза догнал корму «остановленного» — 400 м;
2) нос движущегося сухогруза прошел вдоль «остановленного» — 120 м;
3) сухогруз переместился на расстояние равное своей длине так, что его корма расположилась у носа «остановленного», — 80 м;
4) движущийся сухогруз прошел ещё 600 м.
Итого движущийся с относительной скоростью сухогруз прошёл за 12 минут расстояние равное 400 + 120 + 80 + 600 = 1200 (м). Следовательно, относительная скорость составила 1200/12 = 100 (м/мин). Поскольку это и есть искомая разность скоростей, то для ответа на вопрос задачи осталось только перейти к километрам в час: 100×60/1000 = 6 (км/ч).

Ответ: 6

Замечание: Точек на схеме (даже не цветных) вполне достаточно, чтобы разобраться в задаче. Если трудно, то дайте точкам осмысленные имена. Например, Н₁ — нос первого, К₂ — корма второго. Если всё еще трудно, рисуйте поезда, корабли и самолёты символическими прямоугольниками.

Задачи на среднюю скорость.

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно их сложить и разделить сумму на количество слагаемых. Например, среднее арифметическое чисел 1, 12, 30, 45 равно 22. Но всегда ли на практике нас интересует именно среднее арифметическое? Если 19 учеников сдали экзамен на 5-ку и только один на 2-ку, можно ли считать, что класс в целом успевает посредственно и заслужил среднюю оценку (5 + 2)/2 = 3,5? Не справедливее ли было учесть «вес» 5-ки и 2-ки? В данном случае это можно сделать, сложив все оценки всех учеников и разделив сумму на число учеников в классе: (19×5 + 1×2)/20 = 4,85. Вполне достойный результат.

Итак, средняя величина и среднее арифметическое чисел, характеризующих эту величину, не одно и то же.

Например, если автомобиль двигался 3 часа со скоростью 100 км/ч и 1 час со скоростью 10 км/ч, то за 4 часа он проехал расстояние S = 100×3 + 10×1 = 310 (км). Значит его средняя скорость составляла 310/4 = 77,5 км/ч. А если автомобиль двигался 3 часа со скоростью 10 км/ч и 1 час со скоростью 100 км/ч, то за 4 часа он проехал расстояние S = 10×3 + 100×1 = 130 (км), и его средняя скорость составляла 130/4 = 32,5 км/ч.

Для сравнения вычислим среднее арифметическое значение: (110 + 10)/2 = 55 (км/ч). В первом случае автомобиль большую часть времени ехал быстро, поэтому его средняя скорость больше среднего арифметического значения, а во втором — большую часть времени медленно, поэтому средняя скорость меньше среднего арифметического.

Рассмотрим еще два случая.
Пусть автомобиль двигался 2 часа со скоростью 100 км/ч и 2 часа со скоростью 10 км/ч, тогда за 4 часа он проехал расстояние S = 100×2 + 10×2 = 220 (км). Значит его средняя скорость составляла 220/4 = 55 км/ч, что совпадает со средним арифметическим значением. Так получилось потому, что вклад быстрого и медленного движения был одинаковым по времени.
И, наконец, пусть автомобиль двигался первые 110 км со скоростью 100 км/ч, а следующие 110 км со скоростью 10 км/ч, в итоге на первую половину пути он потратил 110/100 = 1,1 часа, а на вторую — 110/10 = 11 часов. Тогда весь путь 220 км он проехал за 1,1 + 11 = 12,1 часа со средней скоростью 220/12,1 = 18,18182 км/ч, что снова сильно отличается от среднего арифметического значения. Так получилось потому, что вклад быстрого и медленного движения был разным по времени, хотя и одинаковым по длине пройденных участков.

Задача 15

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Всего в пути автомобиль был 2 + 1 + 2 = 5 часов. Проехал расстояние 50·2 + 100·1 + 75·2 = 350 километров. Средняя скорость 350/5 = 70 км/ч.

Ответ: 70

Задача 16

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Всего автомобиль проделал путь длиной 190 + 180 + 170 = 540 км. Первый участок проехал за 190/50 = 3,8 часа, второй — за 180/90 = 2 часа, третий — за 170/100 = 1,7 часа. Всего был в пути 3,8 + 2 + 1,7 = 7,5 часа. Средняя скорость 540/7,5 = 72 км/ч.

Ответ: 72

Задача 17

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 88

Задачи на производительность.

Производительность труда — эффективность труда в процессе производства. Измеряется количеством продукции, произведенной в единицу времени, или количеством времени, затраченного на производство единицы продукции.
Производительность оборудования — объём продукции (работы), производимой в единицу времени данным оборудованием. Измеряется в тоннах, штуках, метрах и т.п. на единицу времени.

В любом случае к задачам на производительность, надо относиться так же, как к задачам на движение с заданной (или искомой) скоростью, так как

Задача 18

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Способ I.
Весь заказ обозначим символом Z, время, которое рабочие работали вместе, обозначим символом t. Каждый из двух рабочих работает со скоростью Z/15. За 3 часа первый рабочий выполнил (Z/15)·3 заказа, еще за t часов оба рабочих выполнили (Z/15)·t·2 заказа. Таким образом, был выполнени весь заказ, т.е. (Z/15)·3 + (Z/15)·t·2 = Z.
Умножаем обе части уравнения на 15 и делим на Z. Получим
3 + t·2 = 15; t·2 = 12; t = 6.
Таким образом, на выполнение всего завказа потребовалось 3 + t = 3 + 6 = 9 часов.

Способ II.
Каждый из двух рабочих за час выполняет 1/15 часть заказа. За 3 часа первый рабочий выполнил 3·(1/15) = 3/15 = 1/5 часть заказа. Оставшиеся 1 — 1/5 = 4/5 части заказа рабочие делали вместе со скоростью 2·(1/15) = 2/15 части в час, следовательно выполнили эту работу за время (4/5)/(2/15) = (4·15)/(5·2) = 6 часов. Таким образом, весь заказ был выполнен за 3 + 6 = 9 часов.

Ответ: 9

Замечание: Способ II, на мой взгляд, лучше. Но, если вы за то время, которое занимались алгеброй, забыли арифметику, вводите дополнительную неизвестную величину — весь объем продукции или работы. После составления уравнения эта величина должна сократиться.

Задача 19

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Пусть тест содержит х вопросов. Петя ответил за х/8 часов. Ваня ответил за х/9 часов. Петя закончил свой тест позже Вани на х/8 — х/9 часов или на (х/8 — х/9)·60 минут, что по условию задачи составило 20 минут:
(х/8 — х/9)·60 = 20;
х·(1/8 — 1/9)·3 = 1;
х·(3/8 — 1/3) = 1; х·(9 — 8)/24 = 1; х = 24.

Ответ: 24

Задача 20

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

В вопросе задачи время в минутах, поэтому везде перейдем к минутам. 1 час = 60 мин.
Способ I.
Объём бака обозначим символом V литров, тогда первый насос работает со скоростью V/20 л/мин, второй — со скоростью V/30 л/мин и третий — со скоростью V/60 л/мин. Работая одновременно, они наполняют бак со скоростью V/20 + V/30 + V/60 = V·(1/20 + 1/30 + 1/60) = V·(3 + 2 + 1)/60 = V·0,1 (л/мин). Значит весь бак будет наполнен за V/(V·0,1) = 10 минут.
Способ II.
Первый насос наполняет за минуту 1/20 часть бака, второй — 1/30 часть и третий — 1/60 часть. Работая одновременно, они наполняют за минуту 1/20 + 1/30 + 1/60 = 6/60 = 1/10 часть бака. Значит весь бак будет наполнен за 10 минут.

Ответ: 10

Задача 21

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Пусть вторая труба наполняет резервуар за t минут, тогда за одну минуту она наполняет 1/t часть резервуара. Первая труба наполняет резервуар дольше, за t + 6 минут, а за минуту она наполняет 1/(t+6) часть резервуара. Обе трубы вместе за минуту наполняют 1/t + 1/(t+6) часть резервуара. С другой стороны, они вместе наполняют резервуар за 4 минуты, значит за минуту — 1/4 часть. Составим и решим уравнение:
1/t + 1/(t+6) = 1/4; 4(t+6) + 4t = t(t+6); 8t + 24 = t 2 + 6t;
t 2 − 2t − 24 = 0. Корни уравнения t₁ = 6; t₂ = −4. Отрицательный корень не имеет смысла, следовательно t = 6.

Ответ: 6

Если у Вас возникли трудности с решением этих задач, то уверены ли Вы, что разобрались с более простыми текстовыми задачами в заданиях с меньшими номерами демонстрационного варианта?

Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математике.

Нашли опечатку или ошибку? Пожалуйста, сообщите о ней.
E-mail: mathematichka@yandex.ru

Внимание, © mathematichka.
Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

Задачи на составление уравнений и их систем (ЕГЭ)

Задачи по подготовке к ЕГЭ на составление уравнений и их систем

Просмотр содержимого документа
«Задачи на составление уравнений и их систем (ЕГЭ)»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

В решении задач на составление уравнений (систем уравнений) обычно можно выделить три этапа:

1) выбор неизвестного и составление уравнения (или системы уравнений);

2) решение полученного уравнения (или системы уравнений);

3) проверка решений по условию задачи.

Критерии оценивания задания 22 ОГЭ.

Рассмотрим отдельные типы задач и их решение с помощью уравнений или систем уравнений. Обратим внимание на виды краткой записи условий задач.

1. Задачи на числовые зависимости

При решении задач на числовые зависимости могут оказаться полезными следующие сведения:

 если к натуральному числу х приписать справа n-значное число y, то в результате получится число 10 n ∙ x + y;

 если при делении натурального числа A на натуральное число B в частном получается g, а в остатке r (r ), то A = Bg + r.

Задача 1. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 8. Если число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, разделить на произведение цифр, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти это число.

Решение. Пусть в искомом числе: x – цифра десятков, x N, ;

y – цифра единиц, y N, .

Тогда 10x + y – искомое число;

10y + x – число, составленное из тех же цифр, но записанных в обратном порядке.

Используя третье, из выше указанных сведений, составим систему уравнений.

Вторая пара корней не удовлетворяет условию задачи.

2. Задачи на движение

Задача 2. Катер прошел против течения реки 8 км, повернул обратно и прошел по течению 36 км. Весь рейс длился 2 ч. Потом катер прошел против течения 6 км и по течению 33 км, затратив на этот второй рейс 1 ч 45 мин. Найдите скорость катера в стоячей воде.

Решение. Краткую запись условия задач на движение часто удобно выполнять в виде таблицы, в столбцах которой указываются путь, скорость и время для каждого этапа движения.

Где x км/ч – скорость катера в стоячей воде,

y км/ч – скорость течения (x 0, y 0, x y), 1 ч 45 мин = 7/4 ч.

На основе таблицы составим систему уравнений.

Решим систему выполняя замену переменных.

3. Задачи на совместную работу

В задачах на совместную работу часто объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за единицу. Если t – время, требующееся для выполнения всей работы, а V – производительность труда, т.е. величина работы, выполняемая за единицу времени, то V = 1/t .

Задача 3. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности?

Решение. Примем объем всей работы за единицу.

Пусть x ч, y ч – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2 -му рабочим в отдельности (12 50, 12 50).

Тогда – производительность (часть всей работы, выполняемая за 1 ч) соответственно 1-го и 2-го рабочих;

– часть всей работы, выполняемая соответственно 1-м и
2-м рабочими за 12 ч;

ч, ч – время, необходимое на выполнение половины всей работы соответственно1-му и 2-му рабочим в отдельности.

Условие задачи можно записать и в виде таблицы, аналогичной таблице из задачи 2, заменив путь, скорость и время движения на соответственно объем, производительность и время работы.

Пусть x ч, y ч – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2 -му рабочим в отдельности (12 50, 12 50).

На основе выполненных рассуждений составим систему уравнений.

Ответ: 20 ч, 30 ч.

Задача 4. (ЕГЭ-2008) Двое рабочих, работая вместе, могут за 1 ч установить 10 м забора. Первый рабочий, работая отдельно, устанавливает 60 м забора на 5 ч дольше, чем 60 м такого же забора может установить второй рабочий. За сколько часов второй рабочий может установить 90 м забора? Ответ: 15 ч.

4. Задачи на проценты, доли и смеси

Определение. Процентом называется сотая доля числа.

Задача 5. Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Затем их сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

Решение. Краткую запись условия выполним в виде таблицы.

Сплав,
полученный из первоначальных

Составим для каждого из сплавов пропорции и получим систему уравнений.

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через один год составит руб.

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых p %, то сумма вклада через n лет составит руб.

Задача 6. Спустя два года после того, как некоторая сумма внесена в банк, вклад за счет процентов увеличился на 2200 руб. Если бы первоначальная сумма была на 1000 руб. больше, то итоговая прибыль равнялась бы 2640 руб. Чему равен процент годовых, если он за два года не менялся?

Решение. Рассмотрим изменение вклада за первый год.

Составим пропорцию ; .

Замечание 1. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых y %, то величина вклада через один год составит руб.

Аналогично за второй год.

Замечание 2. Если первоначальная сумма вклада x руб., а процент годовых y %, то величина вклада через n лет составит руб.

Составим систему уравнений

Ответ: 5 000 руб.

Задача 7. В корзине лежало не более 70 грибов. После сортировки оказалось, что 52 % из них белые. Если отложить 3 самых малых, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

Решение. I. Первоначально.

II. После того как отложили 3 самых малых (из них a белых, a = 1, 2, 3).

На основе того, что количество белых уменьшилось на a грибов, составим уравнение.

По условию 0x ≤75, следовательно

Так как a число натуральное, то a = 2 и x = 25.

Задача 8. В сосуд А налито некоторое количество кислоты, а в сосуд В такое же количество воды. Двумя кружками, емкостью 0,5 л каждая, одновременно набирают из сосудов содержимое и переливают из сосуда А в сосуд В, а из сосуда B в сосуд А. Затем эту операцию повторяют. Определить первоначальное количество жидкости в каждом из сосудов, если известно, что концентрация раствора кислоты в сосуде А после двух переливаний равна 90,5 %. Ответ: 10 л или 10/9 л.

Решение. I. После первого переливания.

II. После второго переливания.

V-0,5 – 0,5∙(V-0,5)/V + 0,5∙0,5/V

Вылито кислоты из сосуда А

Налито кислоты из сосуда В

Ответ: 10 л или 10/19 л.

Задача 9. На выпускных экзаменах по математике, физике и русскому языку все учащиеся получили только хорошие и отличные оценки, при этом, оценку 4 каждый получил не более одного раза. По русскому языку и математике оценку 5 получили 55 % учащихся, по математике и физике – 45 %, по русскому языку и физике – 30 %. Получившие 5 по всем предметам собираются поступать в МГУ, получившие 4 по русскому языку – в технические вузы, остальные в гуманитарные. Известно, что 20 % всех девушек и 11% всех юношей собираются поступать в МГУ, 33 % девушек собираются поступать в технические вузы. Сколько процентов юношей будет поступать в гуманитарные вузы?

Решение. Пусть x – общее количество учащихся, тогда

по русскому языку и математике оценку 5 получили: 0,55x,

по математике и физике: 0,45x,

по русскому языку и физике: 0,3x.

Сумма указанных значений составит: 0,55x + 0,45x + 0,3x = 1,3x.

Сумма получилась больше x из-за того, что отличники попали во все три списка, а не в один.

Следовательно отличников: (каждый отличник был два лишних раза в списке).

В МГУ собираются поступать 0,15x учащихся.

Т.о. число учащихся получивших четверки по предметам составит:

по русскому языку: 0,3x,

по математике: 0,15x.

0,3x собираются поступать в технические вузы, x – 0,15x – 0,3x = 0,55x – в гуманитарные.

Пусть y, z – общее число девушек и юношей соответственно; t – доля юношей поступающих в технические вузы.

Т.о. 27,6 % юношей поступают в технические вузы.

(100-27,6-11) % = 61,4 % юношей будет поступать в гуманитарные вузы.

Задача 10. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 75 % от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще рез год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Пусть А₀ – сумма кредита, р – процент годовых по кредиту. В конце первого года фермер должен банку рублей, а после частичной уплаты – рублей. К концу второго года фермер должен банку рублей, что по условию задачи составило 1,21А₀ рублей. Таким образом, получаем уравнение тогда , тогда р = 120 %.

Ответ: 120 % годовых по кредиту в данном банке.

Задача 11. Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если первый рабочий проработает 2 часа, а затем они вместе будут работать 3 часа, то выполнят 75 % всей работы. Какие значения может принимать время выполнения всей работы двумя рабочими вместе? Ответ: (4; 20/3).

Решение. Примем объем всей работы, которую нужно выполнить за 1.

Пусть x, y ч. – время необходимое на выполнение всей работы соответственно 1-му и 2-му рабочим в отдельности.

Тогда 1/x, 1/y – производительность труда (часть всей работы, выполняемая за 1 ч.) соответственно 1-го и 2-го рабочих.

5/x, 3/y – часть всей работы, выполненная соответственно 1-м рабочим за 5 ч. и 2-м за 3 ч. Т.к. вместе за это время они выполнили 75% всей работы, то получим уравнение . Из полученного уравнения вытекают условия x 20/3, y 4.

– производительность труда при совместной работе обоих рабочих.

– время необходимое на выполнение всей работы при совместном труде рабочих.

– с учетом ранее указанного условия x 20/3 значение времени необходимого на выполнение всей работы при совместном труде 2-х рабочих принадлежит промежутку (4; 20/3).

Расстояние между городами A и B равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из города A в B, другой из B в A. Пройдя 20 км, поезд, идущий из A в B, останавливается на полчаса, а затем через 4 мин, встречает поезд, идущий из B. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов. Ответ: 60 км/ч; 40 км/ч

Два велосипедиста стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй велосипедист догнал первого на расстоянии 1 км от старта. Если бы проехав от старта 5 км, он повернул обратно, то встретился бы с первым велосипедистом через 20 мин после его старта. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ: 20 км/ч

Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Ответ: 20 ч, 30 ч

Для прокладки траншеи выделены два экскаватора различных типов. Время, необходимое первому экскаватору для прокладки траншеи, на 3 ч меньше времени, необходимого второму экскаватору для прокладки этой траншеи. Сколько часов требуется каждому экскаватору для прокладки траншеи, если сумма этих часов в 144/35 раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при совместной работе? Ответ: 7,5 ч; 10,5 ч

Имелось два сплава меди с разным процентным содержанием меди в каждом. Затем их сплавили вместе, после чего содержание меди составило 36%. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во втором сплаве. Определить процентное содержание меди в каждом сплаве, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором – 12 кг.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди? Ответ: 1,5 кг

Свежие грибы содержат 90 % воды, а сухие 12 %. Сколько получится сухих грибов из 88 кг свежих? Ответ: 10 кг

Два сплава содержат два металла. В первом сплаве металлы находятся в отношении 1:2, а во втором – в отношении 3:2. В каком отношении нужно взять части этих сплавов, чтобы получился новый сплав с отношением металлов 8:7? Ответ: 1:3

Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25 % примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта? Ответ: 5 %

Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10 % с первоначально назначенной цены и получил при этом 8 % при6ым. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин? Ответ: 20 %

Имеется два раствора кислоты разной концентрации. Объём одного раствора – 4 литра, а другого – 6 литров. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объёмы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?1,64 л; 1,86 л

За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 домов. Если Билл повысит свою производительность на 100 %, то 6 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 12 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 100 %? Ответ: 16

Монтёр сбежал по ленте движущегося эскалатора за 30 секунд. Второй раз он спустился по неподвижной ленте за 45 секунд. За сколько времени он спустился бы, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? Ответ: 90 с

Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую, и на 30 часов быстрее, чем через третью. Известно, что пропускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 40 м3/ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб. Ответ: 100 м 3 /ч; 40 м 3 /ч

Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка? Ответ:

В ателье поступило по одному куску черной, зеленой и синей ткани. Хотя зеленой ткани было на 9 м. меньше, чем черной, и на 6м больше, чем синей, стоимость кусков была одинаковой. Известно также, что стоимость 4,5 м. черной ткани равна стоимость 3 м. зеленой и 0,5 м. синей вместе. Сколько метров ткани было в каждом куске?

Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге, часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна 2, а за пределами города равна . Скорость «Крайслера» в городе равна , а за пределами города равна 3. Автомобили одновременно въезжают в город. Через какое время один из них совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S? Ответ:

Решение задач с помощью уравнений

Решение задачи обычно свóдится к тому, чтобы путем логических рассуждений и вычислений найти значение какой-нибудь величины. Например, найти скорость, время, расстояние, массу какого-нибудь предмета или количество чего-то.

Такую задачу можно решить с помощью уравнения. Для этого искомое значение обозначают через переменную, затем путем логических рассуждений составляют и решают уравнение. Решив уравнение, производят проверку на то, удовлетворяет ли решение уравнения условиям задачи.

Запись выражений, содержащих неизвестное

Решение задачи сопровождается составлением уравнения к этой задаче. На начальном этапе изучения задач желательно научиться составлять буквенные выражения, описывающие ту или иную жизненную ситуацию. Этот этап не является сложным и его можно изучать в процессе решения самой задачи.

Рассмотрим несколько ситуаций, которые можно записать с помощью математического выражения.

Задача 1. Возраст отца x лет. Мама на два года младше. Сын младше отца в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 2. Возраст отца x лет, мама на 2 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Запишите возраст каждого с помощью выражений.

Решение:

Задача 3. Возраст отца x лет, мама на 3 года младше отца. Сын младше отца в 3 раза, дочь младше матери в 3 раза. Сколько лет каждому, если общий возраст отца, мамы, сына и дочери составляет 92 года?

Решение:

В данной задаче помимо записи выражений, необходимо вычислить возраст каждого члена семьи.

Сначала запишем возраст каждого члена семьи с помощью выражений. За переменную x примем возраст отца, и далее пользуясь этой переменной составим остальные выражения:

Теперь определим возраст каждого члена семьи. Для этого нам нужно составить и решить уравнение. Все компоненты уравнения у нас уже готовы. Осталось только собрать их воедино.

Общий возраст в 92 года получился путем сложения возрастов папы, мамы, сына и дочери:

Для каждого возраста мы составили математическое выражение. Эти выражения и будут компонентами нашего уравнения. Давайте соберем наше уравнение согласно данной схеме и таблице, которая была приведена выше. То есть слова папа, мама, сын, дочь заменим на соответствующее им в таблице выражение:

Выражение, отвечающее за возраст мамы x − 3, для наглядности было взято в скобки.

Теперь решим получившееся уравнение. Для начала можно раскрыть скобки там, где это можно:

Чтобы освободить уравнение от дробей, умножим обе части на 3

Решим получившееся уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Мы нашли значение переменной x . Эта переменная отвечала за возраст отца. Значит возраст отца составляет 36 лет.

Зная возраст отца, можно вычислить возрасты остальных членов семьи. Для этого нужно подставить значение переменной x в те выражения, которые отвечают за возраст конкретного члена семьи.

В задаче было сказано, что мама на 3 года младше отца. Ее возраст мы обозначили через выражение x−3. Значение переменной x теперь известно, и чтобы вычислить возраст мамы, нужно в выражении x − 3 вместо x подставить найденное значение 36

x − 3 = 36 − 3 = 33 года маме.

Аналогично определяется возраст остальных членов семьи:

Проверка:

Задача 4. Килограмм яблок стоит x рублей. Запишите выражение, вычисляющее сколько килограмм яблок можно купить на 300 рублей.

Решение

Если килограмм яблок стоит x рублей, то на 300 рублей можно купить килограмм яблок.

Пример. Килограмм яблок стоит 50 рублей. Тогда на 300 рублей можно купить , то есть 6 килограмм яблок.

Задача 5. На x рублей было куплено 5 кг яблок. Запишите выражение, вычисляющее сколько рублей стоит один килограмм яблок.

Решение

Если за 5 кг яблок было уплачено x рублей, то один килограмм будет стоит рублей

Пример. За 300 рублей было куплено 5 кг яблок. Тогда один килограмм яблок будет стоит , то есть 60 рублей.

Задача 6. Том, Джон и Лео на перемене пошли в столовую и купили по бутерброду и по кружке кофе. Бутерброд стоит x рублей, а кружка кофе — 15 рублей. Определите стоимость бутерброда, если известно, что за всё было уплачено 120 рублей?

Решение

Конечно, данная задача проста как три копейки и ее можно решить не прибегая к уравнению. Для этого из 120 рублей нужно вычесть стоимость трех кружек кофе (15 × 3) , и полученный результат разделить на 3

Но наша цель — составить уравнение к задаче и решить это уравнение. Итак, стоимость бутерброда x рублей. Куплено их всего три. Значит увеличив стоимость в три раза, мы получим выражение описывающее сколько рублей было уплачено за три бутерброда

3x — стоимость трех бутербродов

А стоимость трех кружек кофе можно записать как 15 × 3 . 15 это стоимость одной кружки кофе, а 3 множитель (Том, Джон и Лео), увеличивающий эту стоимость в три раза.

По условию задачи за все уплачено 120 рублей. У нас уже появляется примерная схема, что нужно делать:

Выражения, описывающие стоимость трех бутербродов и трех кружек кофе, у нас уже готовы. Это выражения 3x и 15 × 3 . Пользуясь схемой составим уравнение и решим его:

Итак, стоимость одного бутерброда составляет 25 рублей.

Задача решается верно только в том случае, если уравнение к ней составлено правильно. В отличие от обычных уравнений, по которым мы учимся находить корни, уравнения для решения задач имеют своё конкретное применение. Каждый компонент такого уравнения может быть описан в словесной форме. Составляя уравнение, обязательно нужно понимать для чего мы включаем в его состав тот или иной компонент и зачем он нужен.

Также необходимо помнить, что уравнение это равенство, после решения которого левая часть должна будет равняться правой части. Составленное уравнение не должно противоречить этой идее.

Представим, что уравнение это весы с двумя чашами и экраном, показывающим состояние весов.

В данный момент экран показывает знак равенства. Понятно почему левая чаша равна правой чаше — на чашах ничего нет. Состояние весов и отсутствие на чашах чего-либо запишем с помощью следующего равенства:

Положим на левую чашу весов арбуз:

Левая чаша перевесила правую чашу и экран забил тревогу, показав знак не равно ( ≠ ). Этот знак говорит о том, что левая чаша не равна правой чаше.

Теперь попробуем решить задачу. Пусть требуется узнать сколько весит арбуз, который лежит на левой чаше. Но как это узнать? Ведь наши весы предназначены только для проверки равна ли левая чаша правой.

На помощь приходят уравнения. Вспомним, что уравнение по определению есть равенство, содержащее в себе переменную значение которой требуется найти. Весы в данном случае играют роль этого самого уравнения, а масса арбуза это переменная, значение которой нужно найти. Наша цель правильно составить это уравнение. Понимай, выровнять весы так, чтобы можно было вычислить массу арбуза.

Чтобы выровнять весы, на правую чашу можно положить какой-нибудь тяжелый предмет. Например, положим туда гирю массой 7 кг.

Теперь наоборот правая чаша перевесила левую. Экран по прежнему показывает, что чаши не равны.

Попробуем на левую чашу положить гирю массой 4 кг

Теперь весы выровнялись. На рисунке видно, что левая чаша на уровне правой чаши. А экран показывает знак равенства. Этот знак говорит о том, что левая чаша равна правой чаше.

Таким образом мы получили уравнение — равенство, содержащее неизвестное. Левая чаша — это левая часть уравнения, состоящая из компонентов 4 и переменной x (массы арбуза), а правая чаша — это правая часть уравнения, состоящая из компонента 7.

Ну и нетрудно догадаться, что корень уравнения 4 + x = 7 равен 3. Значит масса арбуза равна 3 кг.

Аналогично дела обстоят и с другими задачами. Чтобы найти какое-нибудь неизвестное значение, к левой или к правой части уравнения добавляют различные элементы: слагаемые, множители, выражения. В школьных задачах эти элементы бывают уже даны. Остается только правильно структурировать их и построить уравнение. Мы же в данном примере занимались подбором, пробуя гири разной массы, чтобы вычислить массу арбуза.

Естественно, те данные которые даны в задаче сначала нужно привести к виду, при котором их можно включить в уравнение. Поэтому, как говорят «хочешь не хочешь, а думать придётся».

Рассмотрим следующую задачу. Возраст отца равен возрасту сына и дочери вместе. Сын вдвое старше дочери и на двадцать лет моложе отца. Сколько лет каждому?

Возраст дочери можно обозначить через x . Если сын вдвое старше дочери, то его возраст будет обозначаться как 2x . В условии задачи сказано, что вместе возраст дочери и сына равен возрасту отца. Значит возраст отца будет обозначаться суммой x + 2x

В выражении можно привести подобные слагаемые. Тогда возраст отца будет обозначаться как 3x

Теперь составим уравнение. Нам нужно получить равенство в котором можно найти неизвестное x . Воспользуемся весами. На левую чашу положим возраст отца (3x) , а на правую чашу возраст сына (2x)

Понятно почему левая чаша перевесила правую и почему экран показывает знак ( ≠ ) . Ведь логично, что возраст отца больше возраста сына.

Но нам нужно уравнять весы, чтобы можно было вычислить неизвестное x . Для этого к правой чаше нужно прибавить какое-нибудь число. Какое именно число указано в задаче. В условии было сказано, что сын моложе отца на 20 лет. Значит 20 лет это то самое число, которое нужно положить на весы.

Весы выровнятся, если мы эти 20 лет добавим на правую чашу весов. Иными словами, вырастим сына до возраста отца

Теперь весы выровнялись. Получилось уравнение , которое решается легко:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили возраст дочери. Теперь мы нашли значение этой переменной. Дочери 20 лет.

Далее было сказано, что сын двое старше дочери, значит сыну (20 × 2) , то есть 40 лет.

Ну и наконец вычислим возраст отца. В задаче было сказано, что он равен сумме возрастов сына и дочери, то есть (20 + 40) лет.

Вернемся к середине задачи и обратим внимание на один момент. Когда мы положили на весы возраст отца и возраст сына, левая чаша перевесила правую

Но мы решили эту проблему, добавив на правую чашу еще 20 лет. В результате весы выровнялись и мы получили равенство

Но можно было не добавлять к правой чаше эти 20 лет, а вычесть их из левой. Мы получили бы равенство и в таком случае

В этот раз получается уравнение . Корень уравнения по прежнему равен 20

То есть уравнения и являются равносильными. А мы помним, что у равносильных уравнений корни совпадают. Если внимательно посмотреть на эти два уравнения, то можно увидеть что второе уравнение получено путем переноса числа 20 из правой части в левую с противоположным знаком. А это действие, как было указано в предыдущем уроке, не меняет корней уравнения.

Также нужно обратить внимание на то, что в начале решения задачи возрасты каждого члена семьи можно было обозначить через другие выражения.

Скажем возраст сына обозначить через x и поскольку он двое старше дочери, то возраст дочери обозначить через (понимай сделать её младше сына в два раза). А возраст отца поскольку он является суммой возрастов сына и дочери обозначить через выражение . Ну и напоследок для построения логически правильного уравнения, к возрасту сына нужно прибавить число 20, ведь отец старше на двадцать лет. В итоге получается совсем другое уравнение . Решим это уравнение

Как видно ответы к задаче не поменялись. Сыну по прежнему 40 лет. Дочери по прежнему лет, а отцу 40 + 20 лет.

Другими словами, задача может решаться различными методами. Поэтому не следует отчаиваться, что не получается решить ту или иную задачу. Но нужно иметь ввиду, что существует наиболее простые пути решения задачи. К центру города можно доехать различными маршрутами, но всегда существует наиболее удобный, быстрый и безопасный маршрут.

Примеры решения задач

Задача 1. В двух пачках всего 30 тетрадей. Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем во второй. Сколько тетрадей было в каждой пачке?

Решение

Обозначим через x количество тетрадей, которое было в первой пачке. Если всего тетрадей было 30, а переменная x это количество тетрадей из первой пачке, то количество тетрадей во второй пачке будет обозначаться через выражение 30 − x . То есть от общего количества тетрадей вычитаем количество тетрадей из первой пачки и тем самым получаем количество тетрадей из второй пачки.

Далее сказано, что если переложить 2 тетради из первой пачки во вторую, то в первой пачке окажется вдвое больше тетрадей. Итак, снимем с первой пачки две тетради

и добавим эти две тетради во вторую пачку

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на весы обе пачки тетрадей

Левая чаша тяжелее правой. Это потому, что в условии задачи сказано, что после того как из первой пачки взяли две тетради и положили их во вторую, количество тетрадей в первой пачке стало вдвое больше, чем во второй.

Чтобы выровнять весы и получить уравнение, увеличим правую часть вдвое. Для этого умножим её на 2

Получается уравнение . Решим данное уравнение:

Первую пачку мы обозначали через переменную x . Теперь мы нашли её значение. Переменная x равна 22. Значит в первой пачке было 22 тетради.

А вторую пачку мы обозначали через выражение 30 − x и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить количество тетрадей во второй пачке. Оно равно 30 − 22 , то есть 8 шт .

Задача 2. Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту две картофелины, а второй — три картофелины. Вместе они очистили 400 шт. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 минут больше первого?

Решение

Обозначим через x время работы первого человека. Поскольку второй человек проработал на 25 минут больше первого, то его время будет обозначаться через выражение

Первый рабочий в минуту очищал 2 картофелины, и поскольку он работал x минут, то всего он очистил 2x картофелин.

Второй человек в минуту очищал три картофелины, и поскольку он работал минут, то всего он очистил картофелин.

Вместе они очистили 400 картофелин

Из имеющихся компонентов составим и решим уравнение. В левой части уравнения будут картофелины, очищенные каждым человеком, а в правой части их сумма:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили время работы первого человека. Теперь мы нашли значение этой переменной. Первый человек работал 65 минут.

А второй человек работал минут, и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить время работы второго человека — оно равно 65 + 25 , то есть 90 мин .

Задача из Учебника по алгебре Андрея Петровича Киселева. Из сортов чая составлена смесь в 32 кг. Килограмм первого сорта стоит 8 руб., а второго сорта 6 руб. 50 коп. Сколько килограммов взято того и другого сорта, если килограмм смеси стоит (без прибыли и убытка) 7 руб. 10 коп.?

Решение

Обозначим через x массу чая первого сорта. Тогда масса чая второго сорта будет обозначаться через выражение 32 − x

Килограмм чая первого сорта стоит 8 руб. Если эти восемь рублей умножить на количество килограмм чая первого сорта, то можно будет узнать во сколько рублей обошлись x кг чая первого сорта.

А килограмм чая второго сорта стоит 6 руб. 50 коп. Если эти 6 руб. 50 коп. умножить на 32 − x , то можно узнать во сколько рублей обошлись 32 − x кг чая второго сорта.

В условии сказано, что килограмм смеси стоит 7 руб. 10 коп. Всего же было приготовлено 32 кг смеси. Умножим 7 руб. 10 коп. на 32 мы сможем узнать сколько стоит 32 кг смеси.

Выражения из которых мы будем составлять уравнение теперь принимают следующий вид:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений. Положим на левую чашу весов стоимость смесей чая первого и второго сорта, а на правую чашу положим стоимость 32 кг смеси, то есть общую стоимость смеси, в составе которой оба сорта чая:

Получили уравнение . Решим его:

В начале решения данной задачи через переменную x мы обозначили массу чая первого сорта. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 12,8. Значит для приготовления смеси было взято 12,8 кг чая первого сорта.

А через выражение 32 − x мы обозначили массу чая второго сорта и поскольку значение переменой x теперь известно, то можно вычислить массу чая второго сорта. Оно равно 32 − 12,8 то есть 19,2 . Значит для приготовления смеси было взято 19,2 кг чая второго сорта.

Задача 3. Велосипедист проехал некоторое расстояние со скоростью 8 км/ч. Возвратиться он должен был другой дорогой, которая была на 3 км длиннее первой, и, хотя возвращаясь, ехал со скоростью 9 км/ч, он употребил времени на минут более. Как длинны были дороги?

Решение

Некоторые задачи могут затрагивать темы, которые человек возможно не изучал. Данная задача относится к такому кругу задач. В ней затрагиваются понятия расстояния, скорости и времени. Соответственно, чтобы решить подобную задачу, нужно иметь представление о тех вещах, о которых говорится в задаче. В нашем случае, надо знать что представляет собой расстояние, скорость и время.

В задаче нужно найти расстояния двух дорог. Мы должны составить уравнение, которое позволит вычислить эти расстояния.

Вспомним, как взаимосвязаны расстояние, скорость и время. Каждая из этих величин может быть описана с помощью буквенного уравнения:

Правую часть одного из этих уравнений мы будем использовать для составления своего уравнения. Чтобы узнать какую именно, нужно вернуться к тексту задачи и обратить внимание на следующий момент:

Следует обратить внимание на момент, где велосипедист на обратном пути употребил времени на минут более. Эта подсказка указывает нам, что можно воспользоваться уравнением , а именно его правой частью. Это позволит нам составить уравнение, которое содержит переменную S .

Итак, обозначим длину первой дороги через S . Этот путь велосипедист проехал со скоростью 8 км/ч . Время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением , поскольку время это отношение пройденного расстояния к скорости

Обратная дорога для велосипедиста была длиннее на 3 км . Поэтому её расстояние будет обозначаться через выражение S + 3 . Эту дорогу велосипедист проехал со скоростью 9 км/ч . А значит время за которое он преодолел этот путь будет обозначаться выражением .

Теперь составим уравнение из имеющихся выражений

Правая чаша тяжелее левой. Это потому, что в задаче сказано, что на обратную дорогу велосипедист затратил времени на больше.

Чтобы уравнять весы прибавим к левой части эти самые минут. Но сначала переведем минуты в часы, поскольку в задаче скорость измеряется в километрах в час, а не в метрах в минуту.

Чтобы минут перевести в часы, нужно разделить их на 60

минут составляют часа. Прибавляем эти часа к левой части уравнения:

Получается уравнение . Решим данное уравнение. Чтобы избавиться от дробей, обе части части можно умножить на 72. Далее пользуясь известными тождественными преобразованиями, найдем значение переменной S

Через переменную S мы обозначали расстояние первой дороги. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная S равна 15. Значит расстояние первой дороги составляет 15 км.

А расстояние второй дороги мы обозначили через выражение S + 3 , и поскольку значение переменной S теперь известно, то можно вычислить расстояние второй дороги. Это расстояние равно сумме 15 + 3 , то есть 18 км .

Задача 4. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

Решение

Обозначим через v скорость каждой машины. Далее в задаче приводятся подсказки: скорость первой машины увеличить на 10 км/ч, а скорость второй — уменьшить на 10 км/ч. Воспользуемся этой подсказкой

Далее говорится, что при таких скоростях (увеличенных и уменьшенных на 10 км/ч) первая машина пройдет за 2 часа столько же расстояния сколько вторая за 3 часа. Фразу «столько же» можно понимать как «расстояние, пройденное первой машиной, будет равно расстоянию, пройденному второй машиной».

Расстояние как мы помним, определяется по формуле . Нас интересует правая часть этого буквенного уравнения — она позволит нам составить уравнение, содержащее переменную v .

Итак, при скорости v + 10 км/ч первая машина пройдет 2(v+10) км , а вторая пройдет 3(v − 10) км . При таком условии машины пройдут одинаковые расстояния, поэтому для получения уравнения достаточно соединить эти два выражения знаком равенства. Тогда получим уравнение . Решим его:

В условии задачи было сказано, что машины идут с одинаковой скоростью. Мы обозначили эту скорость через переменную v . Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная v равна 50. Значит скорость обеих машин составляла 50 км/ч.

Задача 5. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение

Обозначим через v собственную скорость теплохода. Скорость течения реки равна 2 км/ч. По течению реки скорость теплохода будет составлять v + 2 км/ч , а против течения — (v − 2) км/ч .

В условии задачи сказано, что за 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Фразу «тот же путь» можно понимать как «расстояние, пройденное теплоходом по течению реки за 9 часов, равно расстоянию, пройденному теплоходом против течения реки за 11 часов». То есть расстояния будут одинаковыми.

Расстояние определяется по формуле . Воспользуемся правой частью этого буквенного уравнения для составления своего уравнения.

Итак, за 9 часов по течению реки теплоход пройдет 9(v + 2) км , а за 11 часов против течения — 11(v − 2) км . Поскольку оба выражения описывают одно и то же расстояние, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение . Решим его:

Значит собственная скорость теплохода составляет 20 км/ч.

При решении задач полезной привычкой является заранее определить на каком множестве ищется для неё решение.

Допустим, что в задаче требовалось найти время, за которое пешеход преодолеет указанный путь. Мы обозначили время через переменную t , далее составили уравнение, содержащее эту переменную и нашли её значение.

Из практики мы знаем, что время движения объекта может принимать как целые значения, так и дробные, например 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч. Тогда можно сказать, что решение данной задачи ищется на множестве рациональных чисел Q, поскольку каждое из значений 2 ч, 1,5 ч, 0,5 ч может быть представлено в виде дроби.

Поэтому после того, как неизвестную величину обозначили через переменную, полезно указать к какому множеству эта величина принадлежит. В нашем примере время t принадлежит множеству рациональных чисел Q

Ещё можно ввести ограничение для переменной t , указав что она может принимать только положительные значения. Действительно, если объект затратил на путь определенное время, то это время не может быть отрицательным. Поэтому рядом с выражением t ∈ Q укажем, что её значение должно быть больше нуля:

Если решив уравнение, мы получим отрицательное значение для переменной t , то можно будет сделать вывод, что задача решена неправильно, поскольку это решение не будет удовлетворять условию t ∈ Q , t > 0 .

Ещё пример. Если бы мы решали задачу в которой требовалось найти количество человек для выполнения той или иной работы, то это количество мы обозначили бы через переменную x . В такой задаче решение искалось бы на множестве натуральных чисел

Действительно, количество человек является целым числом, например 2 человека, 3 человека, 5 человек. Но никак не 1,5 (один целый человек и половина человека) или 2,3 (два целых человека и еще три десятых человека).

Здесь можно было бы указать, что количество человек должно быть больше нуля, но числа входящие во множество натуральных чисел N сами по себе являются положительными и большими нуля. В этом множестве нет отрицательных чисел и числа 0. Поэтому выражение x > 0 можно не писать.

Задача 6. Для ремонта школы прибыла бригада в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально

Решение

Обозначим через x плотников, прибывших на ремонт первоначально.

Количество плотников является целым числом, большим нуля. Поэтому укажем, что x принадлежит множество натуральных чисел

Маляров было в 2,5 раза больше, чем плотников. Поэтому количество маляров будет обозначаться как 2,5x .

Далее говорится, что прораб включил в бригаду еще четырех маляров, а двух плотников перевел на другой объект. Сделаем для своих выражений тоже самое. Уменьшим количество плотников на 2

А количество маляров увеличим на 4

Теперь количество плотников и маляров будут обозначаться через следующие выражения:

Попробуем составить уравнение из имеющихся выражений:

Правая чаша больше, поскольку после включения в бригаду ещё четырёх маляров, и перемещения двух плотников на другой объект, количество маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше чем плотников. Чтобы уравнять весы, нужно левую чашу увеличить в 4 раза:

Получили уравнение . Решим его:

Через переменную x было обозначено первоначальное количество плотников. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 8. Значит 8 плотников было в бригаде первоначально.

А количество маляров было обозначено через выражение 2,5 x и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить количество маляров — оно равно 2,5 × 8 , то есть 20 .

Возвращаемся к началу задачи и удостоверяемся, что соблюдается условие x ∈ N. Переменная x равна 8, а элементы множества натуральных чисел N это все числа, начинающиеся с 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. В это же множество входит число 8, которое мы нашли.

Тоже самое можно сказать о количестве маляров. Число 20 принадлежит множеству натуральных чисел:

Для понимания сути задачи и правильного составления уравнения, вовсе необязательно использовать модель весов с чашами. Можно использовать и другие модели: отрезки, таблицы, схемы. Можно придумать свою модель, которая хорошо описывала бы суть задачи.

Задача 9. Из бидона отлили 30% молока. В результате в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?

Решение

Искомое значение это первоначальное число литров в бидоне. Изобразим число литров в виде линии и подпишем эту линию как X

Сказано, что из бидона отлили 30% молока. Выделим на рисунке приблизительно 30%

Процент по определению есть одна сотая часть чего-то. Если 30% молока отлили, то остальные 70% остались в бидоне. На эти 70% приходятся 14 литров, указанные в задаче. Выделим на рисунке оставшиеся 70%

Теперь можно составить уравнение. Вспомним, как находить процент от числа. Для этого общее количество чего-то делят на 100 и полученный результат умножают на искомое количество процентов. Замечаем, что 14 литров, составляющих 70% можно получить таким же образом: первоначальное число литров X разделить на 100 и полученный результат умножить на 70. Всё это приравнять к числу 14

Или получить более простое уравнение: 70% записать как 0,70, затем умножить на X и приравнять это выражение к 14

Значит первоначально в бидоне было 20 литров молока.

Задача 9. Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1 : 9, а в другом 2 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1 : 4?

Решение

Попробуем сначала узнать сколько золота и серебра будет содержáться в 15 кг нового сплава. В задаче сказано, что содержание этих металлов должно быть в отношении 1 : 4, то есть на одну часть сплава должно приходиться золото, а на четыре части — серебро. Тогда всего частей в сплаве будет 1 + 4 = 5, а масса одной части будет 15 : 5 = 3 кг.

Определим сколько золота будет содержáться в 15 кг сплава. Для этого 3 кг умножим на количество частей золота:

Определим сколько серебра будет содержáться в 15 кг сплава:

Значит сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота и 12 кг серебра. Теперь вернёмся к исходным сплавам. Использовать нужно каждый из них. Обозначим через x массу первого сплава, а массу второго сплава можно обозначить через 15 − x

Выразим в процентах все отношения, которые даны в задаче и заполним ими следующую таблицу:

В первом сплаве золото и серебро находятся в отношении 1 : 9. Тогда всего частей будет 1 + 9 = 10 . Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 10% занесём в первую строку в графу «процент золота в сплаве», 90% также занесём в первую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём переменную x , поскольку так мы обозначили массу первого сплава:

Аналогично поступаем со вторым сплавом. Золото и серебро в нём находятся в отношении 2 : 3. Тогда всего частей будет 2 + 3 = 5. Из них золота будет , а серебра .

Перенесём эти данные в таблицу. 40% занесем во вторую строку в графу «процент золота в сплаве», 60% также занесём во вторую строку графу «процент серебра в сплаве», а в последнюю графу «масса сплава» занесём выражение 15 − x , поскольку так мы обозначили массу второго сплава:

Заполним последнюю строку. Полученный сплав массой 15 кг будет содержать 3 кг золота, что составляет сплава, а серебра будет сплава. В последнюю графу записываем массу полученного сплава 15

Теперь по данной таблице можно составить уравнения. Вспоминаем задачи на концентрацию, сплавы и смеси. Если мы отдельно сложим золото обоих сплавов и приравняем эту сумму к массе золота полученного сплава, то сможем узнать чему равно значение x.

Далее для удобства проценты будем выражать в десятичной дроби.

В первом сплаве золота было 0,10x , а во втором сплаве золота было 0,40(15 − x) . Тогда в полученном сплаве масса золота будет суммой масс золота первого и второго сплавов и эта масса составляет 20% от нового сплава. А 20% от нового сплава это 3 кг золота, вычисленные нами ранее. В результате получаем уравнение 0,10x + 0.40(15 − x) = 3 . Решим это уравнение:

Изначально через x мы обозначили массу первого сплава. Теперь мы нашли значение этой переменной. Переменная x равна 10. А массу второго сплава мы обозначили через 15 − x , и поскольку значение переменной x теперь известно, то можно вычислить массу второго сплава, она равна 15 − 10 = 5 кг .

Значит для получения нового сплава массой 15 кг в котором золото и серебро относились бы как 1 : 4, нужно взять 10 кг первого и 5 кг второго сплава.

Уравнение можно было составить, воспользовавшись и вторым столбцом получившейся таблицы. Тогда мы получили бы уравнение 0,90x + 0.60(15 − x) = 12. Корень этого уравнения тоже равен 10

Задача 10. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько надо взять бедной руды, чтобы получить при смешивании с богатой 20 тонн с содержанием меди 8%?

Решение

Обозначим через x массу бедной руды. Поскольку нужно получить 20 тонн руды, то богатой руды будет взято 20 − x . Поскольку содержание меди в бедной руде составляет 6%, то в x тоннах руды будет содержáться 0,06x тонн меди. В богатой руде содержание меди составляет 11%, а в 20 − x тоннах богатой руды будет содержáться 0,11(20 − x) тонн меди.

В получившихся 20 тоннах руды содержание меди должно составлять 8%. Значит в 20 тоннах руды меди будет содержáться 20 × 0,08 = 1,6 тонн.

Сложим выражения 0,06x и 0,11(20 − x) и приравняем эту сумму к 1,6. Получим уравнение 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Решим данное уравнение:

Значит для получения 20 тонн руды с содержанием меди 8%, нужно взять 12 тонн бедной руды. Богатой же будет взято 20 − 12 = 8 тонн.

Задача 11. Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

Решение

Длину дистанции (или расстояние дистанции) можно описать следующим буквенным уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения. Изначально спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 250t

Затем спортсменка увеличила свою скорость до 300 метров в минуту. При такой скорости длина дистанции будет описываться выражением 300t

Заметим, что длина дистанции это величина постоянная. От того, что спортсменка увеличит скорость или уменьшит её, длина дистанции останется неизменной.

Это позволяет нам приравнять выражение 250t к выражению 300t , поскольку оба выражения описывают длину одной и той же дистанции

Но в задаче сказано, что при скорости 300 метров в минуту спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 минуту быстрее. Другими словами, при скорости 300 метров в минуту, время движения уменьшится на единицу. Поэтому в уравнении 250t = 300t в правой части время нужно уменьшить на единицу:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

При скорости 250 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за 6 минут. Зная скорость и время, можно определить длину дистанции:

S = 250 × 6 = 1500 м

А при скорости 300 метров в минуту спортсменка пробегает дистанцию за t − 1 , то есть за 5 минут. Как было сказано ранее длина дистанции не меняется:

S = 300 × 5 = 1500 м

Задача 12. Всадник догоняет пешехода, находящегося впереди него на 15 км. Через сколько часов всадник догонит пешехода, если каждый час первый проезжает по 10 км, а второй проходит только по 4 км?

Решение

Данная задача является задачей на движение. Её можно решить, определив скорость сближения и разделив изначальное расстояние между всадником и пешеходом на эту скорость.

Скорость сближения определяется вычитанием меньшей скорости из большей:

10 км/ч − 4 км/ч = 6 км/ч (скорость сближения)

С каждым часом расстояние в 15 километров будут сокращаться на 6 км. Чтобы узнать, когда оно сократится полностью (когда всадник догонит пешехода), нужно 15 разделить на 6

2,5 ч это два целых часа и половина часа. А половина часа это 30 минут. Значит всадник догонит пешехода через 2 часа 30 минут.

Решим эту задачу с помощью уравнения.

Будем считать, что пешеход и всадник вышли в путь из одного и того же места. Пешеход вышел раньше всадника и успел преодолеть 15 км

После этого вслед за ним в путь вышел всадник со скоростью 10 км/ч. А скорость пешехода составляет только 4 км/ч. Это значит, что всадник через некоторое время догонит пешехода. Это время нам нужно найти.

Когда всадник догонит пешехода это будет означать, что они вместе прошли одинаковое расстояние. Расстояние, пройденное всадником и пешеходом описывается следующим уравнением:

Воспользуемся правой частью этого уравнения для составления своего уравнения.

Расстояние, пройденное всадником, будет описываться выражением 10t . Поскольку пешеход вышел в путь раньше всадника и успел преодолеть 15 км, то расстояние пройденное им будет описываться выражением 4t + 15 .

На момент, когда всадник догонит пешехода, оба они пройдут одинаковое расстояние. Это позволяет нам приравнять расстояния, пройденные всадником и пешеходом:

Получилось простейшее уравнение. Решим его:

Задачи для самостоятельного решения

Решение

Скорости поездов в данной задаче измеряются в километрах в час. Поэтому 45 мин, указанные в задаче, переведем в часы. 45 мин это 0,75 ч

Обозначим время, за которое товарный поезд приезжает в город, через переменную t . Поскольку пассажирский поезд приезжает в этот город на 0,75 ч быстрее, то время его движения будет обозначаться через выражение t − 0,75

Пассажирский поезд преодолел 48(t − 0.75) км, а товарный 36t км. Поскольку речь идет об одном и том же расстоянии, приравняем первое выражение ко второму. В результате получим уравнение 48(t − 0.75) = 36t . Решим его:

Теперь вычислим расстояние между городами. Для этого скорость товарного поезда (36 км/ч) умножим на время его движения t. Значение переменной t теперь известно — оно равно трём часам

Для вычисления расстояния можно воспользоваться и скоростью пассажирского поезда. Но в этом случае значение переменной t необходимо уменьшить на 0,75 поскольку пассажирский поезд затратил времени на 0,75 ч меньше

48 × (3 − 0,75) = 144 − 36 = 108 км

Ответ: расстояние между городами равно 108 км.

Решение

Пусть t время через которое автомобили встретились. Тогда первый автомобиль на момент встречи проедет 65t км, а второй 60t км. Сложим эти расстояния и приравняем к 150. Получим уравнение 65t + 60t = 150

Значение переменной t равно 1,2. Значит автомобили встретились через 1,2 часа.

Ответ: автомобили встретились через 1,2 часа.

Решение

Пусть x рабочих было в первом цехе. Во втором цехе было в три раза больше, чем в первом, поэтому количество рабочих во втором цехе можно обозначить через выражение 3x . В третьем цехе было на 15 рабочих меньше, чем во втором. Поэтому количество рабочих в третьем цехе можно обозначить через выражение 3x − 15 .

В задаче сказано, что всего рабочих было 685. Поэтому можно сложить выражения x, 3x, 3x − 15 и приравнять эту сумму к числу 685. В результате получим уравнение x + 3x + (3x − 15) = 685

Через переменную x было обозначено количество рабочих в первом цехе. Теперь мы нашли значение этой переменной, оно равно 100. Значит в первом цехе было 100 рабочих.

Во втором цехе было 3x рабочих, то есть 3 × 100 = 300 . А в третьем цехе было 3x − 15 , то есть 3 × 100 − 15 = 285

Ответ: в первом цехе было 100 рабочих, во втором — 300, в третьем — 285.

Решение

Пусть x моторов должна была отремонтировать первая мастерская. Тогда вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − x моторов .

Поскольку первая мастерская выполнила свой план на 120%, это означает что она отремонтировала 1,2x моторов . А вторая мастерская выполнила свой план на 125%, значит она отремонтировала 1,25(18 − x) моторов.

В задаче сказано, что было отремонтировано 22 мотора. Поэтому можно сложить выражения 1,2x и 1,25(18 − x) , затем приравнять эту сумму к числу 22. В результате получим уравнение 1,2x + 1,25(18 − x) = 22

Через переменную x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать первая мастерская. Теперь мы нашли значение этой переменной, она равна 10. Значит первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов.

А через выражение 18 − x было обозначено количество моторов, которые должна была отремонтировать вторая мастерская. Значит вторая мастерская должна была отремонтировать 18 − 10 = 8 моторов.

Ответ: первая мастерская должна была отремонтировать 10 моторов, а вторая — 8 моторов.

Решение

Пусть x рублей стоил товар до повышения цены. Если цена увеличилась на 30% это означает, что она увеличилась на 0,30x рублей. После повышения цены товар начал стоить 91 руб. Сложим x с 0,30x и приравняем эту сумму к 91. В результате получим уравнение x + 0.30x = 91

Значит до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Ответ: до повышения цены товар стоил 70 рублей.

Решение

Пусть x — исходное число. Увеличим его на 25%. Получим выражение x + 0,25x . Приведем подобные слагаемые, получим x + 0,25x = 1.25x .

Узнаем какую часть исходное число x составляет от нового числа 1,25x

Если новое число 1,25x считать за 100%, а исходное число x составляет от него 80%, то уменьшив новое число на 20% можно получить исходное число x

Ответ: чтобы получить исходное число, новое число нужно уменьшить на 20%.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Увеличим его на 20%. Получим выражение x + 0,20x . Приравняем эту сумму к числу 144, получим уравнение x + 0,20x = 144

Ответ: первоначальное значение числа равно 120.

Решение

Пусть x — первоначальное число. Уменьшим его на 10%. Получим выражение x − 0,10x . Приравняем эту разность к числу 45, получим уравнение x − 0,10x = 45

Ответ: первоначальное значение числа равно 50.

Решение

Пусть x рублей — первоначальная цена альбома. Снизим эту цену на 15%, получим x − 0,15x . Снизим цену ещё на 15 руб., получим x − 0,15x − 15 . После этих снижений альбом стал стоить 19 руб. Приравняем выражение x − 0,15x − 15 к числу 19, получим уравнение x − 0,15x − 15 = 19

Ответ: первоначальная цена альбома составляет 40 руб.

Решение

Если 80% массы теряется, то на оставшиеся 20% будут приходиться 4 т сена. Пусть x тонн травы требуется для получения 4 т сена. Если 4 т будут составлять 20% травы, то можно составить уравнение:

Ответ: для получения 4 т сена, нужно накосить 20 т травы.

Решение

Пусть x кг 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-го раствора.

В 1 кг 10%-го раствора соли содержится 0,1 кг соли. А в x кг 20%-го раствора соли содержится 0,20 x кг соли.

После добавления x кг 20%-го раствора в новом растворе будет содержáться 0,12(1 + x) кг соли. Сложим выражения 0,1 и 0,20x , затем приравняем эту сумму к выражению 0,12(1 + x) . В результате получим уравнение 0,1 + 0,20x = 0,12(1 + x)

Ответ: чтобы получить 12%-й раствор соли, нужно к 1 кг 10%-го раствора добавить 0,25 кг 20%-го раствора.

Решение

Пусть x кг первого раствора нужно взять. Поскольку требуется приготовить 25 кг раствора, то массу второго раствора можно обозначить через выражение 25 − x.

В первом растворе будет содержáться 0,20x кг соли, а втором — 0,30(25 − x) кг соли. В полученном растворе содержание соли будет 25 × 0,252 = 6,3 кг. Сложим выражения 0,20x и 0,30(25 − x), затем приравняем эту сумму к 6,3. В результате получим уравнение

Значит первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 25 − 12 = 13 кг.

Ответ: первого раствора нужно взять 12 кг, а второго 13 кг.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

44 thoughts on “Решение задач с помощью уравнений”

Вау новый урок. Я рад что вернулись)) После работы обязательно буду учить этот урок.

не смог решить ни одной задачи из примеров решения…