Задачи которые надо решать уравнением 6 класс

Урок в 6 классе «Решение уравнений и задач на составление уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок в 6 классе. «Решение уравнений и задач на составление уравнений»

Образовательные: формировать умение решать уравнения, содержащие дробные числа, усовершенствовать умение решать задачи на составление уравнений, применять нахождение дроби от числа к решению задач на составление уравнений

Развивающие: развивать логическое мышление, умение сопоставлять, анализировать, делать выводы, умение быстро оценить, сориентироваться в заданной ситуации и найти правильное, решение, развивать внимание

Воспитательные: ф ормировать такие качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, культуру общения, культуру диалога.

Мотивация: сформировать стойкую учебную мотивацию, желание учиться с увлечением, развивать творческий потенциал, повысить самооценку учащихся.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, в группах.

Метод обучения: частично — поисковый, установления связи теоретических и практических знаний, межпредметные связи.

2. Мотивация учебной деятельности. Цели и задачи урока.

3.Актуализация знаний и первичное закрепление.

4.Закрепление и усовершенствование изученного материала при решении уравнений и задач.

6. Домашнее задание

2. Мотивация учебной деятельности. Цели и задачи урока.

3.Актуализация знаний и первичное закрепление.

1) Найти: а) НОК (3,8), б) НОК(45, 9), в) НОК(20, 30)

2) Найти: а) 2/5 от 30, б)3/7 от 21, в)0,6 от 20, г)0,25 от64, д) 0,5 от 36

3) Упростить: а) 2х + 5х + 3, б) 4х – х, в) 2/3х + 5/6х, г) 1/2х – 3/5х

4) Упростить: а) 2/15 : 1/3 б) 3/7 : 1/14 в) 1 : 3/5 г) 4 : 2/5

45 : 3 = 15 – это 1 число

15 + 1 = 16 – это 2 число

16 + 1 = 17 – 3 число

Пусть х – это 1 число, тогда 2 число равно (х + 1), а 3 число равно (х + 2). Так как сумма трех чисел равна48, то составим и решим уравнение:

Х + х + 1 + х + 2 = 48

Значит, 15 – это 1 число,

15 + 1 = 16 – это 2 число

16 + 1 = 17 – 3 число

4.Закрепление и усовершенствование изученного материала при решении уравнений и задач на составление уравнений

№ 1. Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день прошел всего пути, во второй день – 0,6 оставшегося пути, а в третий день – остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

Пусть длина всего пути равна х км, тогда в 1 день ледокол прошел ½ х км, во 2 день — (х — 1/2х) км, а в 3 день 24 км.

Составим и решим уравнение:

Значит, длина всего пути равна 120 км.

№ 2. В трех гаражах 460 машин. Число машин в первом гараже составляет 75% числа машин во втором гараже, а в третьем гараже в 1,5 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?

Пусть во 2 гараже х машин, тогда в 1 гараже 3/4х машин, а в3 гараже 1,5*3/4х= 9/8х машин. Так как в трех гаражах 460 машин, то составим и решим уравнение:

Значит, во втором гараже 160 машин, тогда в 1 гараже 160· 3/4= 120 машин, а в 3 гараже 460 – (160+120)=180 (машин).

Ответ: 120 машин, 160 машин, 189 машин.

№ 3. Разность двух чисел равна 15. Две трети большего из этих чисел и пять шестых меньшего равны 1. Найти эти числа.

Пусть первое число х, тогда второе число (х-15). Две трети большего числа будет ·2/3х, а пять шестых второго числа будет 5/6 (х-15). Сумма получившихся чисел равна 1. Составим и решим уравнение:

Значит, первое число равно 9, тогда второе число равно 9-15=-6.

№ 4. Решить уравнение:

а) б) или

*2

11х + 11 = 2 — х

11х + х = 2 — 11

12х = -9

№ 5. Решите уравнение:

а) б) или *36

— 15 + 36х = 14

36х = 14 + 15

36х = 29

4. Самостоятельная работа (10 мин)

№ 1. Решите задачу с помощью уравнения

Три класса школьников сажали деревья. Первый класс посадил 0,35 всех деревьев, второй класс – 3/5 оставшихся деревьев, а третий класс – остальные 260 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три класса?

№ 2. Решите уравнение:

№ 1. Решите задачу с помощью уравнения

Из резервуара с керосином отлили сначала 40%, потом 1/3 оставшегося керосина и после этого в резервуаре осталось 16 тонн керосина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?

№ 2. Решите уравнение:

Проверка самостоятельной работы:

1вариант 2 вариант

1. Ответ: 1000 деревьев. 1.Ответ: 40 тонн.

5. Подведение итогов урока.

1. В чем состоит метод решения задач на уравнивание?

2. Любую ли задачу можно решить с помощью уравнивания?

3. Какие задачи можно решать с помощью уравнивания?

6. Домашнее задание

№ 1. Сумма трех чисел равна 1. Третье число на 1/3 меньше первого. Второе число в 2 раза меньше суммы первого и третьего

№ 2. Решите уравнения:

№ 3. Лыжники маршрут протяженностью в 105 км прошли за три дня. Во второй день прошли ¾ расстояния, оставшегося после первого дня пути, а в третий день на 5 км меньше, чем в первый день. Найти протяженность пути за каждый день.

С.А. Пономарев, П.В. Стратилатов, Н.И. Сырнев. Сборник задач по математике для 5-6 классов. М., Просвещение, 1979.

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Уравнения. Решение задач на составление уравнений. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели:

• формирование и развитие мыслительных операций (сравнения, абстрагирования, обобщения, конкретизации); форм мышления; умозаключений;
• — развивать познавательный интерес, интерес к творчеству, развивать умения применять знания в незнакомых ситуациях; прививать
• самостоятельность и любознательность;
• — развивать навыки устной и письменной речи, умение четко и ясно задавать вопросы; вычислительные навыки учащихся;
• — развивать у учащихся аккуратность оформления записей, интерес и любовь к предмету.

“Без уравнений нет математики как
средства познания природы…”
П.С.Александров

Тип урока: повторительно-обобщающий

Структура урока:

1. Организационный момент
2. Устная работа
3. Решение уравнений и задач на составление уравнений
4. Самостоятельная работа
5. Подведение итогов урока
6. Определение домашнего задания.

Ход урока

1. Организационный момент. (Определение темы, целей и задач урока, плана работы на урок). На доске тема урока. Запишем число и тему урока в тетрадях.

Перед тем, как начать урок, совершим путешествие в историю математики.

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники, посвященные в тайные знания, жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов.

Еще за 3-4 тысячи лет до н.э. египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых и приемы решения были не похожи на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант (III век), о котором писали:

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IХ века Мухаммеда бен Муссы аль-Хорезми. Слово “аль-джебр” из арабского названия этого трактата – “Китаб аль-джебр валь-мукабела” (“Книга о восстановлении и противопоставлении)- со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово “алгебра”, а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

В дальнейшем многие математики занимались проблемами уравнений.

Одним из них был французский математик, имя которого вы узнаете, если правильно выполните задания, предложенные для устной работы.

2. Устная работа.

Укажите букву, под которой записано уравнение:

А). 147+25=272; Б). 428-х; В). 404:а-36=8; Г). 417+(15-у); Д). 78х+115.

(правильный ответ под буквой В, на доске выписывается буква В)

Расстояние СD=S(км), скорость велосипедиста 10км/ч. Найдите время движения:

10·S (ч);	;	.
(М)	(А)	(И)

(на доске выписывается следующий правильный ответ под буквой И).

Из трех чисел 4 =К; 0,3=Ю; =Е выберите одно, которое надо поместить в пустой кружок.

(правильный ответ выписывается на доску Е)

(правильный ответ выписывается на доску – Т)

Итак, вы узнали имя – ВИЕТ.

Франсуа Виет (1540-1603) родился в городке Фонтене-ле-Конт недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель.Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе.

Вскоре Виет переехал в Париж, где он стал советником парламента в Бретани. Знакомство с Генрихом Наваррским, будущим королем Франции Генрихом I?, помогло Виету занять видную придворную должность — тайного советника – сначала при короле Генрихе III, а затем при Генрихе I?. Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля в Нидерландах для переписки с испанским двором. Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. И только Виет быстро нашел ключ. Позже испанцы обвиняли Генриха I? в том, что у него на службе состоит дьявол.

а) (44-х)-5; б) 17·(у+43); в) 410+(52-m); г) (21-n)·(44+у).

На этом устный счет завершим и перейдем к теме урока:

3.“Решение уравнений и задач на составление уравнений”

№1. Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день прошел всего пути, во второй день – 0,6 оставшегося пути, а в третий день – остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

путиПервый деньВторой деньТретий деньх (км) (км)(x — )*0.6(км)24 км

Составим и решим уравнение:

Ответ: длина всего пути равна 120 километров.

№2.В трех гаражах 460 машин. Число машин в первом гараже составляет 75% числа машин во втором гараже, а в третьем гараже в 1,5 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?

75% =;

Первый гараж	Второй гараж	Третий гараж	Всего машин в трех гаражах

Составим и решим уравнение:

Во втором гараже -160 машин.

В первом гараже : 160·= 120 машин.

В третьем гараже : 460 – (160+120)=180 (машин).

Ответ: в 1-ом гараже 120 машин; во 2-ом гараже 160 машин; в 3-ем гараже 180 машин.

№3. Разность двух чисел равна 15. Две трети большего из этих чисел и пять шестых меньшего равны 1. Найти эти числа.

Пусть первое число х, тогда второе число (х-15). Две трети большего числа будет ·х, а пять шестых второго числа будет (х-15). Сумма получившихся чисел равна 1. Составим и решим уравнение.

Первое число равно 9, тогда второе число 9-15=-6.

Ответ: 1 число 9, 2-ое число -6.

а) ; б) ; в) (х+1)(х-3)=(х-2)(х-5).

а). б). в).х 2 +х-3х-3=х 2 -2х-5х+10;

-2х+7х=10+3;

5х=13;

х=2,6.

Ответ: а) —; б) — или -0,75; в) 2,6.

№5. Решите уравнение:

¦¦ =.

1)	2)

4. Самостоятельная работа (10 мин)

Сбор тетрадей для проверки.

Анализ самостоятельной работы:

1 вариант	2 вариант
№1.Решите задачу с помощью уравнения
Три класса школьников сажали деревья. Первый класс посадил 0,35 всех деревьев,второй класс — оставшихся деревьев, а третий класс – остальные 260 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три класса?	Из резервуара с керосином отлили сначала 40%, потом оставшегося керосина и после этого в резервуаре осталось 16 тонн керосина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?
№2.Решите уравнение:
4·(4+5х)- 5·(1-2х)=-1	2·(4-3х)+3·(х-2)=3.
1. Ответ: 1000 деревьев.	1.Ответ: 40 тонн.
2. х= —.	2.х=.

5. Подведение итогов урока.

6. Домашнее задание

№1. Сумма трех чисел равна 1. Третье число на меньше первого. Второе число в 2 раза меньше суммы первого и третьего

№2. Решите уравнения:

а). ¦¦= б). в).

№3. Лыжники маршрут протяженностью в 105 км прошли за три дня. Во второй день прошли расстояния, оставшегося после первого дня пути, а в третий день на 5 км меньше, чем в первый день. Найти протяженность пути за каждый день.

Литература

1. С.А.Пономарев, П.В.Стратилатов, Н.И.Сырнев. Сборник задач по математике для 5-6 классов. М., Просвещение, 1979.
2. Энциклопедия для детей. Аванта +. Математика, т.11. Мю, Аванта +, 2001.