Задачи линейные и квадратные уравнения

Программа элективного курса по математике для предпрофильной подготовки учащихся 8-х, 9-х классов «Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы»

Программа элективного курса по математике для предпрофильной подготовки учащихся 8-х, 9-х классов «Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы»

Составитель: , учитель математики МОУ «Средняя общеобразовательная школа №3 г. Надыма»

Будущий математик, как и каждый человек, учится при помощи практики и подражания… Ему следует решать задачи, выбирая те, которые соответствуют его интересам, размышлять над их решением и изобретать новые задачи.

Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение нового качества школьного образования, соответствующего требованиям изменившейся системы общественных отношений и ценностей.

В рамках реализации профильного обучения и его начальной составляющей — предпрофильной подготовки возникла необходимость создания элективного курса по математике для 8-х, 9-х классов «Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы».

Данная программа предусматривает развитие целостной математической составляющей картины мира, расширение возможностей учащихся по свободному выбору своего образовательного пути, создает условия для формирования мировоззрения, логической и эвристической составляющих мышления. Элективный курс позволяет учащимся овладеть различными умениями, навыками, приемами для решения задач повышенного уровня сложности по математике.

Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики, поэтому методы их решений учащимся неизвестны. Между тем такие задачи встречаются в контрольных измерительных материалах государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования. Результаты прохождения экзаменационных испытаний, показывают, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачи не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Даже при записи ответа нужно быть предельно сосредоточенным, чтобы не упустить ни одной из его частей, полученных в ходе решения. Подчас задачи с параметрами требуют довольно тонких логических рассуждений.

Учиться решать задачи с параметрами нужно, начиная с линейных и квадратных уравнений, неравенств и систем. Поэтому, считаю необходимым, ввести данный элективный курс в 8 классе (17 часов) и продолжить его изучение в 9 классе (17 часов).

Курс ориентирован на категорию учащихся, способных осваивать предмет математики на повышенном уровне, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью выбор информационно-технологического, физико-математического профилей.

Курс также может быть использован и в 10-х, 11-х классах при подготовке старшеклассников к единому государственному экзамену (ЕГЭ).

Учащиеся, изучившие данный курс, смогут реализовать полученные знания и умения на экзаменах, в частности формата ЕГЭ. Освоив методы и приемы решения задач с параметрами, школьники успешно справятся с олимпиадными задачами.

Ценность задач данного элективного курса – демонстрация их общности с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.

Данный элективный курс имеет прикладное и практическое значение и поможет учащимся в дальнейшем при проведении различных исследований, изучении физических процессов и геометрических закономерностей.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Цель курса: расширение математических представлений учащихся о приёмах и методах решения задач с параметрами.

углубить знания по математике, путём изучения и систематизации аналитических и графических методов решения задач с параметрами; познакомить с различные приемы и методами решения и исследования задач с параметрами; научить решать стандартные и нестандартные задачи по математике, используя различные приемы и методы решения и исследования вычислительных и логических задач с параметрами; выявить и развить математические способности, логическое и творческое мышление; повысить математическую культуру школьников; развивать познавательную деятельность, интеллектуальные и коммуникативные качества учащихся через организацию исследовательской и проектной деятельности; помочь учащимся в выборе профиля на старшей ступени обучения.

Программа курса имеет модульный характер, т. е. порядок прохождения отдельных тем может быть изменён. Доминантной формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса

Содержание программы элективного курса включает три части – теоретическую, практическую и проектную.

В теоретической части учащиеся знакомятся:

· с методами решений уравнений неравенств и их систем, содержащих параметры;

· с алгоритмами решения таких задач;

· с классификацией задач в математике;

· с рациональными путями поиска решений задач.

Практическая часть направлена на понимание и применение приемов и методов решения и исследования параметрических заданий, их освоение. В основном представлены задачи двух типов:

1) найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения (неравенства, системы) удовлетворяют заданному условию;

2) для каждого значения параметра найти все решения уравнения (неравенства, системы).

При выполнении проектных заданий учащиеся должны показать умения составлять и представлять реферат, сообщение, исследовательское задание.

исследовательский метод; частично-поисковый.

Формы организации занятий:

— лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися;

— семинары по обсуждению теории;

— практикумы по решению задач.

Формы организации работы: индивидуальная, групповая. Самостоятельная работа организуется через:

работу с дидактическими материалами, электронными образовательными ресурсами; решение задач с последующей проверкой и разбором нескольких вариантов решения; подготовку сообщений, защиту решений и исследовательских работ.

информационно-коммуникационные технологии; технология уровневой дифференциации; проблемное обучение; развивающее обучение; индивидуальное обучение.

Требования к знаниям учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны иметь представление о параметрических уравнениях, неравенствах и их системах.

Учащийся должен знать:

— что значит решить уравнение, неравенство и систему с параметром;

— приемы и методы решения задач с параметрами;

— зависимость количества решений уравнений, неравенств и систем от значений параметра;

— свойства функций в задачах с параметрами.

Учащийся должен уметь:

— различать в уравнениях (неравенствах, системах) параметр и неизвестное;

— решать линейное, квадратное уравнение (неравенство, систему) с параметром;

— применять аналитический и функционально-графический способы решения задач с параметром;

— выбирать и записывать ответ;

— исследовать линейную и квадратичную функцию.

Программа элективного курса считается усвоенной учеником, если:

1. удовлетворительно выполнен тематический контроль, организованный в виде тестов или домашних заданий;

2. удовлетворительно выполнена итоговая работа;

3. посещено не менее 80% занятий;

4. успешно проведена защита реферата (проекта) по одной из тем курса. Проекты могут быть выполнены как индивидуально, так и группой учащихся.

Задачи линейные и квадратные уравнения

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Практическая работа по алгебре на тему «Линейные и квадратные уравнения и системы уравнений»

Раздел: уравнения и неравенства.

Учебная цель:

• восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей обучающихся, помочь осознать степень своего интереса к предмету.

Учебные задачи:

• сформировать понятия: квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, полное квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение;
• научить различать виды неполных квадратных уравнений и решать эти уравнения;
• развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление;
• развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Образовательные результаты, заявленные в ФГОС:

• решать линейные и квадратные уравнения;
• распознавать квадратные уравнения, приводить примеры;
• распознавать неполные квадратные уравнения, приводить примеры, решать данные уравнения;
• находить дискриминант;
• определять число корней квадратного уравнения в зависимости от дискриминанта;
• находить корни квадратного уравнения по формуле;
• составлять квадратное уравнение по известным корням;
• распознавать приведенные квадратные уравнения, приводить примеры;
• определять способы решения систем линейных уравнений, решать системы способом подстановки;
• решать системы линейных уравнений способом сложения, подстановки.

• определение квадратного уравнения;
• какое уравнение называется неполным квадратным уравнением; способы решения неполных квадратных уравнений;
• что называется дискриминантом квадратного уравнения, формулу дискриминанта;
• как зависит число корней от дискриминанта;
• формулу корней квадратного уравнения;
• теорему Виета и обратную теореме Виета;
• какие уравнения называются приведенными квадратными уравнениями;
• алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки;
• алгоритм решения систем уравнений способом сложения;
• способы решения уравнений высших степеней.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Определение

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.
Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным.

Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 находят по формуле:

Выражение D = b 2 — 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

1. c = 0, то уравнение примет вид ax 2 + bx = 0.
x(ax + b) = 0, x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a.

2. b = 0, то уравнение примет вид ax 2 + c = 0,
x 2 = -c / a,
x_1,2 = ±√(-c / a).

3. b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид ax 2 = 0, x = 0

Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0, тогда х₁ + х₂ = – b/a, х₁х₂ = c/a. Для приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0, если х₁ и х₂ – корни этого уравнения, то х₁ + х₂ = – p, х₁х₂ = q.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = 0.

Существуют различные приемы решения систем уравнений

Метод подстановки заключается в следующем:

• Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);
• Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;
• Находят корни этого уравнения;
• Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

Метод сложения основан на следующих теоремах:

• Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;
• Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

1. Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;
2. Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Задания для практического занятия

Задание 1

1) Решить уравнения:
а) х 2 = 11;
б) х 2 = – 8;
в) 7х 2 = 0;
г) х 2 – 5х = 0.

2) Рассмотреть квадратные уравнения:
a) 2x 2 + 5x – 7 = 0
б) 3x 2 – 8x = 0
в) 3x 2 – 48 = 0
г) 2х 2 = 0
Чем эти уравнения отличаются друг от друга? (В уравнениях б, в, г отсутствует один из членов). Как называются эти уравнения? (Неполными квадратными уравнениями)

3) Составить квадратное уравнение имеющее корни:
• 3 и –3
• 0 и 6

Задание 2

§20, Стр. 131, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 131-134. Записать задачи 1, 3 и 4 себе в тетрадь. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачу 6 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 3

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек) № 460(1), 462(1), 463(1), 465(1), 470(1)

Задание 4

Сделать самостоятельно № 460(2), 462(2), 463(2), 465(2). Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 470(2). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 5

§21, Стр. 136, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 137-140. Записать задачи 1, 2 и 3 себе в тетрадь. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачу 6 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 6

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек) № 471-474(1), 477(1), 478(1).

Задание 7

Сделать самостоятельно № 471-474(2), 477(2). Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 478(2). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 8

§22, cтр. 141, Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. (Учебники выдает преподаватель)

Работа по учебнику.

а) Прочитать материал стр. 141-150. Записать задачи 1 и 2. Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачи 6 и 7 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.

Задание 9

Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек) № 480(1), 481(1), 483(1), 492(1).

Задание 10

Сделать самостоятельно № 480(2), 481(2), 483(2). Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: № 492(2). Обсудить и проверить решения друг с другом.

Задание 11
Самостоятельно выполнить задания (по вариантам).

Решите приведенные квадратные уравнения с помощью теоремы Виета

Итог

Подвести итог работы на занятии. Записать домашнее задание.