Задачи на движение с помощью системы уравнений

Решение задач на движение с помощью систем линейных уравнений

Презентация по решению задач на движение с помощью систем линейных уравнений. В презентации использованы фрагменты сборника визуализированных задач к учебнику 7 класса под ред. А.Г.Мерзляк, В.М.Поляков, разработанных Смирновой Ириной Сергеевной, учителем информатики лицея № 86 г.Ярославля.

Просмотр содержимого документа
«Решение задач на движение с помощью систем линейных уравнений»

Решение задач с помощью систем линейных уравнений.

Показать (2) 2 » width=»640″

32.11. Из Брянска и Смоленска, расстояние между которыми 256 км, выехали одновременно навстречу друг другу автобус и автомобиль и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше , чем автомобиль за 1 ч ?

А.Г.Мерзляк, В.М.Поляков 7 класс. №32.11 стр.225. Сделайте клик по кнопке «Показать» ( 2 раза)

Из Брянска и Смоленска, расстояние между которыми 256 км , выехали одновременно навстречу друг другу автобус и автомобиль и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше , чем автомобиль за 1 ч ?

Первый этап . Составляем математическую модель задачи

Обозначим скорость автобуса – х км/ч, а скорость автомобиля — у км/ч. Автобус проезжает за 2 часа на 46 км больше, чем автомобиль за 1 час..

Составим и решим систему уравнений:

Из Брянска и Смоленска, расстояние между которыми 256 км , выехали одновременно навстречу друг другу автобус и автомобиль и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше , чем автомобиль за 1 ч ?

Второй этап . Решаем систему линейных уравнений

Значит, скорость автобуса 58 км/ч, скорость автомобиля 70 км/ч.

Ответ: скорость автобуса 58 км/ч, скорость автомобиля 70 км/ч.

32.12. С двух станций, расстояние между которыми 300 км , одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше , чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда . Найдите скорость каждого поезда.

А.Г.Мерзляк, В.М.Поляков 7 класс. №32.12 стр.225. Сделайте клик по кнопке «Показать» (3 раза)

С двух станций, расстояние между которыми 300 км , одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше , чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда . Найдите скорость каждого поезда.

Составим и решим систему уравнений:

С двух станций, расстояние между которыми 300 км , одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше , чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда . Найдите скорость каждого поезда.

Значит, скорость пассажирского поезда 60 км/ч, скорость товарного – 40 км/ч.

Ответ: скорость пассажирского поезда 60 км/ч, скорость товарного – 40 км/ч.

8 » width=»640″

32.13. Из села вышел пешеход и отправился на станцию. Через 30 мин из этого села выехал велосипедист и догнал пешехода через 10 мин после выезда . Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса ?

А.Г.Мерзляк, В.М.Поляков 7 класс. №32.13 стр.226. Сделайте клик по кнопке «Показать» ( 2 раза)

Из села вышел пешеход и отправился на станцию. Через 30 мин из этого села выехал велосипедист и догнал пешехода через 10 мин после выезда . Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше , чем велосипедист проезжает за полчаса ?

Конспект 9 класс «Решение задач на движение с помощью систем уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

Цели урока: Закрепить умение обучающихся решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.

Тип урока: Комбинированный

Образовательная: Продолжить формирование у обучающихся умения решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.

Воспитательная: Воспитать у обучающихся самостоятельность через проведение самостоятельной работы.

Развивающая: Развить у обучающихся логическое мышление через решение задач.

1. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация опорных знаний.

Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь равна 24 см 2 . Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а) б) в)

3. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м 2 обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

4. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив следующие этапы:

1 этап. Анализ условия задачи:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

Значения каких величин известны?

2 этап. Составление математической модели.

— Какие процессы, описаны в задаче?

— Какие величины неизвестны?

Составление системы уравнений.

3 этап. Работа с составленной моделью.

Решение системы уравнений.

4 этап. Анализ полученных результатов.

Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

1этап. Анализ условия задачи.

В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

Выделяем два процесса:

– реальное движение пешеходов;

– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода. По условию задачи известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1.

Составим и решим систему уравнений:

3 этап. Работа с составленной моделью.

Решаем способом подстановки:

у₁ = 5 х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 .

4 этап. Анализ полученных результатов.

Мы получили две скорости

у₁ = 5 х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).

Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.

О т в е т: 4 км/ч и 5 км/ч.

Анализ условия задачи.

Пусть х км/ч скорость одного поезда, у км/ч скорость второго поезда, тогда из условия, что они встретятся через 3 часа, расстояние между ними 270 км, получим 3х+3у=270, и из условия, что весь путь один (пусть первый) проходит на 1час 21 минуту дольше получим: 270/х-270/у = 27/20.

Решив систему способом подстановки, получим 40 км/ч и 50 км/ч.

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда. Из условия задачи известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Составим уравнение: 4х – 4у = 4,8.

На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:

Составим систему уравнений:

Решаем систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным, что не удовлетворяет условию).

О т в е т: 4,8 км/ч и 3,6 км/ч.

–Какие способы решения систем уравнений второй степени вы знаете?

– Перечислите этапы решения задач на движение.

– В чем заключается интерпретация полученного решения?

Домашнее задание: п. 20 с. 117, № 462, № 474.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 686 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

20. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 13.01.2019
• 1076
• 8

• 13.01.2019
• 1075
• 3

• 13.01.2019
• 344
• 0

• 13.01.2019
• 372
• 13

• 13.01.2019
• 255
• 1

• 13.01.2019
• 212
• 0

• 25.10.2018
• 402
• 0

• 07.10.2018
• 493
• 4

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 14.01.2019 1176
• DOCX 56 кбайт
• 72 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Власова Александра Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 3 месяца
• Подписчики: 3
• Всего просмотров: 24723
• Всего материалов: 25

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений

Разделы: Математика

Объяснительная записка.

В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Мне захотелось расширить тематику задач, и на факультативе по алгебре я предложила учащимся задачи, которые не включены в учебник. Для каждого из рассматриваемых типов задач я предлагаю алгоритм решения. Уважаемые коллеги, быть может, это покажется интересным и вам.

Алгоритм решения задач на совместную работу.

1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.
   Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
2. Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
3. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.

2. Пусть х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, у — время, необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда– производительность первого комбайнера, – производительность второго комбайнера.
3. 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.

4.Составим систему уравнений:

у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.

Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.

1. Вводится обозначение:
   х – цифра десятков
   у – цифра единиц
2. Искомое двузначное число 10х + у
3. Составить систему уравнений

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.

Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.

2х 2 + 12х – 32 =0

х₁ =-8 (посторонний корень) х₂ =2, тогда у =4.

Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число. (27).

Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).

Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.(32).

Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Алгоритм решения задач на смеси.

х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.

Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)

Составить систему уравнений.

Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).

Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.

Составим систему уравнений:


0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.

Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Литература:

1. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. “ Просвещение”.
2. М.Б.Миндюк, Н.Г. Миндюк. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. “Генжер”.

3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.

4. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре.