Задачи на квадратные уравнения через дискриминант

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -16 \\ x_2 = 11 \end \right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin x_1 = 15 \\ x_2 = 21 \end \right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.

По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin x_1 = -9 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin <\left\< \begin x_1 = -9 \\ y_1=-9-9=-18 \end \right.> \\ <\left\< \begin x_2 = 18 \\ y_2 = 18-9=9 \end \right.> \end \right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 6 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Дискриминант: примеры решения уравнений

Существуют несколько способов решения уравнений квадратных, однако использование формулы, которая связывает коэффициенты равенств названного типа, является универсальным. Этот способ часто называют методом «через дискриминант». Примеры решения уравнений квадратных с помощью него приводятся в данной статье. О них должен знать каждый старшеклассник.

Квадратные уравнения

Примеры с дискриминантом относятся к решению уравнений квадратных. Такие уравнения имеют вид, представленный на фото ниже.

Вам будет интересно: Диагностика Стребелевой: описание метода, применение, особенности, отзывы

Здесь a, b и c — это некоторые коэффициенты (числа), которые называются квадратичным, линейным и свободным членом, соответственно. Если известны значения икса такие, при которых равенство на фото является истиной, тогда говорят о том, что они являются корнями этого уравнения.

Как можно заметить, это уравнение называется квадратным, потому что «2» является максимальной степенью, в которую возводится x. Если a = 0, тогда уравнение превращается в линейное.

Вам будет интересно: Как правильно: Наталия или Наталья? Разбираемся вместе

Поскольку максимальная степень уравнения равна двум, то существовать могут только 0, 1 или 2 его корня, которые будут принимать действительные числовые значения.

Чтобы решить названное уравнение, можно воспользоваться несколькими методами. Тем не менее, самым простым и надежным из них является применение формулы с дискриминантом.

Какой формулой нужно пользоваться?

Формула метода решения уравнений квадратных через дискриминант записывается так, как представлено на рисунке ниже.

Можно видеть, что для ее использования необходимо знание всех трех коэффициентов уравнения, а знак «±», стоящий перед корнем, говорит о том, что формула позволяет находить одновременно два разных корня.

Подкоренное выражение называется дискриминантом. Он обычно обозначается латинской буквой D либо греческой Δ. Почему выделяют именно эту часть в представленной формуле? Дело в том, что от знака D зависит, сколько корней будет иметь соответствующее уравнение, и какими будут они.

Так, если D положительный, то выражение приводит к двум разным решениям уравнения квадратного, если же D отрицательный, тогда нет действительных чисел, которые бы удовлетворяли исходному равенству. В этом случае говорят о мнимых корнях, выраженных в виде комплексных чисел. Наконец, если D = 0, то формула приводит к существованию одного единственного корня.

Вам будет интересно: Эруковая кислота: где содержится, ее свойства и вред

Важные свойства корней в методе «через дискриминант»

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров уравнений с дискриминантом, необходимо привести два важных свойства корней, полученных методом решения с использованием рассматриваемой формулы.

Первое свойство заключается в том, что их сумма (x1 + x2) равна отношению линейного коэффициента (b) к первому или квадратичному коэффициенту (a), взятое с обратным знаком, то есть -b/a.

Второе свойство состоит в том, что произведение x1 * x2 всегда равно отношению свободного члена (c) к первому коэффициенту (a), то есть c / a.

Приведенные равенства, которые связывают корни уравнения с его коэффициентами, составляют суть так называемой теоремы Виета.

Отметим, что эти формулы справедливы для любого уравнения квадратного (в том числе и неполного, то есть у которого b или/и c равен нулю).

Далее в статье рассмотрим использование формулы с дискриминантом уравнения квадратного в примерах, которые будут сформулированы в виде задач, имеющих практическое значение.

Задача № 1. Произведение и сумма чисел

Первым примером уравнения с дискриминантом будет следующий: необходимо назвать два числа, сумма которых равна 34, а произведение 273.

Согласно условию задачи, составим систему уравнений, обозначив неизвестных два числа, как x1 и x2. Получаем:

Выразив x2 через x1 в первом уравнении, и подставив его во второе, имеем: (34 -x1) * x1 = 273. Раскрывая скобки, получим: (x1)2 — 34 * x1 + 273 = 0. То есть условие задачи свелось к решению уравнения квадратного.

Решаем этот пример формулой с дискриминантом: D = (-34)2 — 4 * 1 * 273 = 64. Получилось удобное для вычисления корня квадратного число. Решения этого уравнения будут иметь вид: x1 = (34 ± √64) / 2 = (21; 13). Каждое из полученных чисел x1 подставим в первое уравнение приведенной выше системы, получаем: x2 = (34 — 21 = 13; 34 — 13 = 21).

Таким образом, всего одна пара чисел (13 и 21) удовлетворяет условию задачи. Поскольку сумму мы уже проверили, то проверим теперь произведение: 13 * 21 = 273.

Задача №2. Составление и решение уравнения по заданному условию

В приведенном далее примере формула с дискриминантом также потребуется для его решения. Итак, условие формулируется следующим образом: найти число, двойной квадрат которого превосходит его на 45. Записываем языком математики это условие: 2 * x2 — x = 45. То есть снова задача сводится к нахождению неизвестного x в квадратном уравнении.

Перенесем все члены в левую часть равенства и вычислим дискриминант: D = 1 — 4 * 2 * (-45) = 361. Корень этого числа равен 19. Поэтому решениями уравнения будут числа: x = (1 ± 19) / (2 * 2) = (5; -4,5).

Проверим этот результат: 2 * 52 = 50, что действительно превосходит число 5 на 45; 2 * (-4,5)2 = 40,5, это число также удовлетворяет условию (40,5 — (-4,5) = 45).

Задача №3. Определение сторон прямоугольного треугольника

Еще одним примером с дискриминантом квадратного уравнения является следующая задача: известно, что разность между двумя сторонами прямоугольника равна 70 см. Необходимо найти его стороны, если диагональ фигуры равна 130 см.

Условие задачи позволяет составить систему из двух уравнений:

Здесь x1 и x2 — неизвестные стороны прямоугольника. Поясним, откуда взялось второе уравнение. Поскольку диагональ прямоугольника образует с двумя его сторонами треугольник с углом 90o, то стороны его, которые равны x1 и x2, являются катетами, поэтому можно воспользоваться их связью с диагональю -гипотенузой (теорема Пифагора).

Выразив из первого уравнения x2, подставив его значение во второе уравнение, и раскрыв в нем скобки, получаем: 2 * (x1)2 — 140 * x1 — 12 000 = 0. Решаем это классическое уравнение квадратное: D = (140)2 — 4 * 2 * (-12 000) = 115600. Использование калькулятора позволяет рассчитать корень из этого числа, он равен 340. Корни этого уравнения равны: x1 = (140 ± 340) / 4 = (120; -50). Отрицательное число следует сразу отбросить, поскольку сторона прямоугольника — положительная величина.

Подставляя x1 = 120 см в первое уравнение системы, получаем, что x2 = 50 см.

Таким образом, неизвестные стороны прямоугольника равны 120 см и 50 см.

Задача №4. Два мотоциклиста

Следующий пример уравнения через дискриминант связан с решением задачи про двух мотоциклистов. Известно, что каждый из них выехал навстречу другому. Начальное расстояние между ними было равно 130 км, скорость одного составляла 30 км/ч, а другой ехал со скоростью на 33 км/ч больше, чем число часов, через которые они встретились. Необходимо найти, через какое время встретятся мотоциклисты.

Обозначим неизвестное время буквой t. Из условия задачи следует, что скорость второго мотоциклиста равнялась 33 + t. До встречи каждый мотоциклист проехал расстояние 30 * t и (33 + t) * t. Очевидно, что в момент встречи оба транспортных средства преодолели суммарное расстояние 130 км (см. условие задачи). Тогда получаем уравнение: 30 * t + (33 + t) * t = 130. Раскрывая скобки, получаем следующий вид: t2 + 63 * t — 130 = 0. Вычисляем в этом примере дискриминант: D = (63)2 -4 * 1 * (-130) = 4489. Корень из него будет равен 67. Значения t, удовлетворяющие уравнению, будут равны: t = (-63 ± 67) / 2 = (2; -65). Поскольку время не может быть отрицательным, получаем ответ на задачу: мотоциклисты встретятся через 2 часа.

Задача №5. Аренда лодки группой молодых людей

Завершить эту статью хотелось бы примером и решением через дискриминант одной интересной задачи: несколько молодых людей решили арендовать лодку за 14 000 рублей. Они эту сумму поделили на всех. Однако в самый последний момент трое человек отказались плыть на лодке, поэтому каждый из оставшихся вынужден был доплатить еще 1500 рублей. Сколько человек хотели арендовать лодку изначально?

Пусть изначально было x молодых людей. Тогда каждый из них должен был заплатить сумму 14000 / x рублей. Как только трое человек отказались плыть, последняя сумма для каждого оставшегося стала равна 14000 / (x-3). Поскольку последняя сумма возросла по сравнению с первоначальной на одного человека на 1500 рублей, то можно составить такое уравнение: 14000 / (x-3) — 14000 / x = 1500.

Приведем это уравнение к квадратному. Имеем: 14000 * x — 14000 * x + 14000 * 3 = 1500 * x * (x-3). Раскрывая скобки и, упрощая выражение, получим: 1500 * x2 — 4500 * x — 42 000 = 0. Разделив обе части равенства на 1500, получим выражение: x2 — 3 * x — 28 = 0. Решаем этот пример дискриминантом: D = 9 — 4 * 1 * (-28) = 121. Тогда x = (3 ± 11) / 2 = (7; -4).

Таким образом, изначально группа молодых людей состояла из 7 человек.

Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные уравнения 8 класс алгебра

Учитель: Федулкина Т.А.

• Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax 2 +bx+c=0,где a≠0, где x — переменная, a,b,c — числовые коэффициенты.

Пример полного квадратного уравнения:

3x 2 -3x+2=0
x 2 -16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта: D=b 2 -4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень

Если D 2 -x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x 2 , коэффициент b всегда перед переменной x, а коэффициент c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

№2 x 2 +2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b 2 -4ac=(2) 2 -4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

№3 7x 2 -x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x 2 -8x=0, 5x 2 +4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax 2 +bx=0 x(ax+b)=0 x₁=0 x₂=-b/a

№1 3x 2 +6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0 3x+6=0 3x=-6 x₂=-2

№2 x 2 -x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0
x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x 2 =c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1 x 2 +5=0
x 2 =-5, видно, что -5 2 -12=0
3x 2 =12
x 2 =12/3
x 2 =4
x₁=2

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс алгебра.

Задания для устного решения:

1. Решите неполное квадратное уравнение: