Задачи на квадратные уравнения проценты

Задачи на проценты

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на проценты. Мы рассмотрим несколько задач, а также затронем те моменты, которые не упоминали ранее при изучении процентов, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.

Большинство задач на проценты сводятся к тому, чтобы найти процент от числá, найти число по проценту, выразить в процентах какую-либо часть, либо выразить в процентном соотношении взаимосвязь между несколькими объектами, числами, величинами.

Способы нахождения процента

Процент можно находить различными способами. Самый популярный способ — разделить число на 100 и умножить полученный результат на искомое количество процентов.

Например, чтобы найти 60% от 200 рублей, нужно сначала эти 200 рублей разделить на сто равных частей:

200 руб : 100 = 2 руб.

Когда мы делим число на 100, мы тем самым находим один процент от этого числа. Так, разделив 200 рублей на 100 частей, мы автоматически нашли 1% от двухсот рублей, то есть узнали сколько рублей прихóдится на одну часть. Как видно из примера, на одну часть (на один процент) приходится 2 рубля.

1% от 200 рублей — 2 рубля

Зная сколько рублей приходится на одну часть (на 1%), можно узнать сколько рублей приходится на две части, на три, на четыре, на пять и т.д. То есть можно найти любое количество процентов. Для этого достаточно умножить эти 2 рубля на искомое количество частей (процентов). Давайте найдём шестьдесят частей (60%)

2 руб × 60 = 120 руб.

2 руб × 5 = 10 руб.

2 руб × 90 = 180 руб.

2 руб × 100 = 200 руб.

100% это все сто частей и они составляют все 200 рублей.

Второй способ заключается в том, чтобы представить проценты в виде обыкновенной дроби и найти эту дробь от того числа, откуда требуется найти процент.

Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Сначала предстáвим 60% в виде обыкновенной дроби. 60% это шестьдесят частей из ста, то есть шестьдесят сотых:

Теперь задание можно понимать как « найти от 200 рублей « . Это нахождение дроби от числа, которое мы изучали ранее. Напомним, что для нахождения дроби от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель дроби

Третий способ заключается в том, чтобы представить процент в виде десятичной дроби и умножить число на эту десятичную дробь.

Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Для начала представляем 60% в виде дроби. 60% процентов это шестьдесят частей из ста

Выполним деление в этой дроби. Перенесем запятую в числе 60 на две цифры влево:

Теперь находим 0,60 от 200 рублей. Для нахождения десятичной дроби от числа, нужно это число умножить на десятичную дробь:

200 × 0,60 = 120 руб.

Приведенный способ нахождения процента является наиболее удобным, особенно если человек привык пользоваться калькулятором. Этот способ позволяет найти процент в одно действие.

Как правило выразить процент в десятичной дроби не составляет особого труда. Достаточно приписать «ноль целых» перед процентной долей, если процентная доля представляет собой двузначное число, или приписать «ноль целых» и еще один ноль, если процентная доля представляет собой однозначное число. Примеры:

60% = 0,60 — приписали ноль целых перед числом 60, поскольку число 60 является двузначным

6% = 0,06 — приписали ноль целых и еще один ноль перед числом 6, поскольку число 6 является однозначным.

При делении на 100 мы воспользовались методом передвижения запятой на две цифры влево. В ответе 0,60 ноль, стоящий после цифры 6, сохранился. Но если выполнить это деление уголком, ноль исчезает — получается ответ 0,6

Надо помнить, что десятичные дроби 0,60 и 0,6 равны одному и тому же значению:

В том же «уголке» можно продолжать деление бесконечно, каждый раз приписывая к остатку ноль, но это будет бессмысленным действием:

Выражать проценты в виде десятичной дроби можно не только делением на 100, но и умножением. Значок процента (%) сам по себе заменяет собой множитель 0,01. А если учитывать, что число процентов и значок процента записаны слитно, то между ними располагается «невидимый» знак умножения (×).

Так, запись 45% на самом деле выглядит следующим образом:

Заменим знак процента на множитель 0,01

Данное умножение на 0,01 выполнятся путем перемещения запятой на две цифры влево:

Задача 1. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой. Какую часть заработала мама?

Решение

Всего процентов 100. Если папа заработал 70% денег, то остальные 30% денег заработала мама.

Задача 2. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой, а 30% — деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?

Решение

Найдем 70 и 30 процентов от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 70% и 30% запишем в виде десятичных дробей:

75 × 0,70 = 52,5 (тыс. руб. заработал папа)

75 × 0,30 = 22,5 (тыс. руб. заработала мама)

Проверка

Ответ: 52,5 тыс. руб. заработал папа, 22,5 руб. заработала мама.

Задача 3. При остывании хлеб теряет до 4% своей массы в результате испарения воды. Сколько килограммов испарится при остывании 12 тонн хлеба.

Решение

Переведем 12 тонн в килограммы. В одной тонне тысяча килограмм, а в 12 тоннах в 12 раз больше:

1000 × 12 = 12 000 кг

Теперь найдем 4% от 12000. Полученный результат и будет ответом к задаче:

12 000 × 0,04 = 480 кг

Ответ: при остывании 12 тонн хлеба испарится 480 килограмм.

Задача 4. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушенных яблок из 300 кг свежих?

Найдем 84% от 300 кг

300 : 100 × 84 = 252 кг

300 кг свежих яблок в результате сушки потеряют 252 кг своей массы. Чтобы ответить на вопрос сколько получится сушенных яблок, нужно из 300 вычесть 252

300 − 252 = 48 кг

Ответ: из 300 кг свежих яблок получится 48 кг сушенных.

Задача 5. В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?

Решение

Найдем 20% от 700 кг

700 × 0,20 = 140 кг

Ответ: в 700 кг сои содержится 140 кг масла

Задача 6. Гречневая крупа содержит 10% белков, 2,5% жиров и 60% углеводов. Сколько этих продуктов содержится в 14,4 ц гречневой крупы?

Решение

Переведем 14,4 центнера в килограммы. В одном центнере 100 килограмм, в 14,4 центнерах в 14,4 раз больше

100 × 14,4 = 1440 кг

Найдем 10%, 2,5% и 60% от 1440 кг

1440 × 0,10 = 144 (кг белков)

1440 × 0,025 = 36 (кг жиров)

1440 × 0,60 = 864 (кг углеводов)

Ответ: в 14,4 ц гречневой крупы содержится 144 кг белков, 36 кг жиров, 864 кг углеводов.

Задача 7. Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60%, семена клена 15%, семена липы 20% всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько килограммов семян акации было собрано школьниками?

Решение

Примем за 100% семена дуба, акации, липы и клена. Вычтем из этих 100% проценты, выражающие семена дуба, липы и клена. Так мы узнаем сколько процентов составляют семена акации:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Теперь находим семена акации:

Ответ: школьниками было собрано 3 кг семян акации.

Проверка:

36 + 9 + 12 + 3 = 60

Задача 8. Купил человек продукты. Молоко стоит 60 рублей, что составляет 48% от стоимости всех покупок. Определить общую сумму денег, потраченных на продукты.

Решение

Это задача на нахождение числа по его проценту, то есть по его известной части. Такую задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы выразить известное число процентов в виде десятичной дроби и найти неизвестное число по этой дроби

Выразим 48% в виде десятичной дроби

Зная, что 0,48 составляет 60 рублей, мы можем определить сумму всех покупок. Для этого нужно найти неизвестное число по десятичной дроби:

60 : 0,48 = 125 рублей

Значит, общая сумма денег, затраченных на продукты составляет 125 рублей.

Второй способ заключается в том, чтобы сначала узнать сколько денег приходится на один процент, затем полученный результат умножить на 100

48% это 60 рублей. Если мы разделим 60 рублей на 48, то узнаем сколько рублей приходится на 1%

60 : 48% = 1,25 рублей

На 1% приходится 1,25 рублей. Всего процентов 100. Если мы умножим 1,25 рублей на 100, получим общую сумму денег, затраченных на продукты

1,25 × 100 = 125 рублей

Задача 9. Из свежих слив выходит 35% сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушенных? Сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих?

Решение

Выразим 35% в виде десятичной дроби и найдем неизвестное число по этой дроби:

140 : 0,35 = 400 кг

Чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих.

Ответим на второй вопрос задачи — сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих? Если из свежих слив выходит 35% сушенных, то достаточно найти эти 35% от 600 кг свежих слив

600 × 0,35 = 210 кг

Ответ: чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих. Из 600 кг свежих слив получится 210 кг сушенных.

Задача 10. Усвоение жиров организмом человека составляет 95%. За месяц ученик употребил 1,2 кг жиров. Сколько жиров может быть усвоено его организмом?

Решение

Переведем 1,2 кг в граммы

1,2 × 1000 = 1200 г

Найдем 95% от 1200 г

1200 × 0,95 = 1140 г

Ответ: 1140 г жиров может быть усвоено организмом ученика.

Выражение чисел в процентах

Процент, как было сказано ранее, можно представить в виде десятичной дроби. Для этого достаточно разделить число этих процентов на 100. Например, представим 12% в виде десятичной дроби:

Замечание. Мы сейчас не находим процент от чего-то, а просто записываем его в виде десятичной дроби.

Но возможен и обратный процесс. Десятичная дробь может быть представлена в виде процента. Для этого нужно умножить эту дробь на 100 и поставить знак процента (%)

Представим десятичную дробь 0,12 в виде процентов

Это действие называют выражением числа в процентах или выражением чисел в сотых долях.

Умножение и деление являются обратными операциями. К примеру, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2

Точно так же деление можно записать в обратном порядке. Если 10 : 5 = 2, то 2 × 5 = 10:

Тоже самое происходит, когда мы выражаем десятичную дробь в виде процентов. Так, 12% были выражены в виде десятичной дроби следующим образом: 12 : 100 = 0,12 но потом эти же 12% были «возвращены» с помощью умножения, записав выражение 0,12 × 100 = 12%.

Аналогично можно выразить в процентах любые другие числа, в том числе и целые. Например, выразим в процентах число 3. Умножим данное число на 100 и к полученному результату добавим знак процента:

Большие проценты вида 300% поначалу могут сбивать с толку, поскольку человек привык считать 100% максимальной долей. Из дополнительных сведений о дробях мы знаем, что один целый объект можно обозначать через единицу. К примеру, если имеется целый не разрезанный торт, то его можно обозначить через 1

Этот же торт можно обозначить как 100% торта. В этом случае и единица и 100% будут обозначать один и тот же целый торт:

Разрежем торт пополам. В этом случае единица обратится в десятичное число 0,5 (поскольку это половина единицы), а 100% обратятся в 50% (поскольку 50 это половина от сотни)

Вернем обратно целый торт, единицу и 100%

Изобразим ещё два таких торта с такими же обозначениями:

Если один торт является единицей, то три торта являются тремя единицами. Каждый торт является целым стопроцентным. Если сложить эти три сотни получится 300%.

Поэтому при переводе целых чисел в проценты, мы умножаем эти числа на 100.

Задача 2. Выразить в процентах число 5

Задача 3. Выразить в процентах число 7

Задача 4. Выразить в процентах число 7,5

Задача 5. Выразить в процентах число 0,5

Задача 6. Выразить в процентах число 0,9

Пример 7. Выразить в процентах число 1,5

Пример 8. Выразить в процентах число 2,8

Задача 9. Джордж идет со школы домой. Первые пятнадцать минут он прошел 0,75 пути. В остальное время он прошел оставшиеся 0,25 пути. Выразите в процентах части пути, пройденные Джорджом.

Решение

Задача 10. Джона угостили половиной яблока. Выразите эту половину в процентах.

Решение

Половина яблока записывается в виде дроби 0,5. Чтобы выразить эту дробь в процентах, умножим её на 100 и к полученному результату добавим знак процента

Аналоги в виде дробей

Величина, выраженная в процентах, имеет свой аналог в виде обычной дроби. Так, аналогом для 50% является дробь . Пятьдесят процентов также можно назвать словом «половина».

Аналогом для 25% является дробь . Двадцать пять процентов также можно назвать словом «четверть».

Аналогом для 20% является дробь . Двадцать процентов также можно назвать словами «пятая часть».

Аналогом для 40% является дробь .

Аналогом для 60% является дробь

Пример 1. Пять сантиметров это 50% от дециметра или или же просто половина. Во всех случаях речь идет об одной и той же величине — пяти сантиметрах из десяти

Пример 2. Два с половиной сантиметра это 25% от дециметра или или же просто четверть

Пример 3. Два сантиметра это 20% от дециметра или

Пример 4. Четыре сантиметра это 40% от дециметра или

Пример 5. Шесть сантиметров это 60% от дециметра или

Уменьшение и увеличение процентов

При увеличении или уменьшении величины, выраженной в процентах употребляется предлог «на».

Примеры:

• Увеличить на 50% — означает увеличить величину в 1,5 раза;
• Увеличить на 100% — означает увеличить величину в 2 раза;
• Увеличить на 200% — означает увеличить в 3 раза;
• Уменьшить на 50% — означает уменьшить величину в 2 раза;
• Уменьшить на 80% — означает уменьшить в 5 раз.

Пример 1. Десять сантиметров увеличили на 50%. Сколько сантиметров получилось?

Чтобы решать подобные задачи, нужно исходную величину принимать за 100%. Исходная величина это 10 см. 50% от них составляют 5 см

Изначальные 10 см увеличили на 50% (на 5 см), значит получилось 10+5 см, то есть 15 см

Аналогом же увеличения десяти сантиметров на 50% является множитель 1,5. Если умножить на него 10 см получится 15 см

Поэтому выражения «увеличить на 50%» и «увеличить в 1,5 раза» говорят об одном и том же.

Пример 2. Пять сантиметров увеличили на 100%. Сколько сантиметров получилось?

Примем исходные пять сантиметров за 100%. Сто процентов от этих пяти сантиметров будут сами 5 см. Если увеличить 5 см на эти же 5 см, то получится 10 см

Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 100% является множитель 2. Если умножить на него 5 см получится 10 см

Поэтому выражения «увеличить на 100%» и «увеличить в 2 раза» говорят об одном и том же.

Пример 3. Пять сантиметров увеличили на 200%. Сколько сантиметров получилось?

Примем исходные пять сантиметров за 100%. Двести процентов это два раза по сто процентов. То есть 200% от 5 см будут составлять 10 см (по 5 см на каждые 100%). Если увеличить 5 см на эти 10 см, то получится 15 см

Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 200% является множитель 3. Если умножить на него 5 см получится 15 см

Поэтому выражения «увеличить на 200%» и «увеличить в 3 раза» говорят об одном и том же.

Пример 4. Десять сантиметров уменьшили на 50%. Сколько сантиметров осталось?

Примем исходные 10 см за 100%. Пятьдесят процентов от 10 см составляют 5 см. Если уменьшить 10 см на эти 5 см, останется 5 см

Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 50% является делитель 2. Если разделить на него 10 см, то получится 5 см

Поэтому выражения «уменьшить на 50%» и «уменьшить в 2 раза» говорят об одном и том же.

Пример 5. Десять сантиметров уменьшили на 80%. Сколько сантиметров осталось?

Примем исходные 10 см за 100%. Восемьдесят процентов от 10 см составляют 8 см. Если уменьшить 10 см на эти 8 см, останется 2 см

Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 80% является делитель 5. Если разделить на него 10 см, то получится 2 см

Поэтому выражения «уменьшить на 80%» и «уменьшить в 5 раз» говорят об одном и том же.

При решении задач на уменьшение и увеличение процентов, можно умножать/делить величину на указанный в задаче множитель.

Задача 1. Насколько процентов изменилась величина, если она увеличилась в 1,5 раза?

Величину о которой говорится в задаче можно обозначить как 100%. Далее умножить эти 100% на множитель 1,5

Теперь из полученных 150% вычтем изначальные 100% и получим ответ к задаче:

Задача 2. Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 4 раза?

В этот раз будет происходить уменьшение величины, поэтому будем выполнять деление. Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 4

Из изначальных 100% вычтем полученные 25% и получим ответ к задаче:

Значит, при уменьшении величины в 4 раза она уменьшилась на 75%.

Задача 3. Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 5 раз?

Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 5

Из изначальных 100% вычтем полученные 20% и получим ответ к задаче:

Значит, при уменьшении величины в 5 раз она уменьшилась на 80%.

Задача 4. Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 10 раз?

Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 10

Из изначальных 100% вычтем полученные 10% и получим ответ к задаче:

Значит, при уменьшении величины в 10 раз она уменьшилась на 90%.

Задача на нахождение процентного соотношения

Чтобы выразить что-либо в процентном соотношении, сначала нужно записать дробь, показывающую какую часть первое число составляет от второго, затем выполнить деление в этой дроби и полученный результат выразить в процентах.

Например, пусть имеется пять яблок. При этом два яблока являются красными, три — зелеными. Выразим красные и зеленые яблоки в процентном соотношении.

Сначала нужно узнать какую часть составляют красные яблоки. Всего яблок пять, а красных два. Значит, два из пяти или две пятых составляют красные яблоки:

Зеленых же яблок три. Значит, три из пяти или три пятых составляют зеленые яблоки:

Имеем две дроби и . Выполним деление в этих дробях

Получили десятичные дроби 0,4 и 0,6. Теперь выразим в процентах эти десятичные дроби:

Значит, 40% составляют красные яблоки, 60% — зеленые.

А все пять яблок составляют 40%+60%, то есть 100%

Задача 2. Двум сыновьям мама дала 200 рублей. Младшему брату мама дала 80 рублей, а старшему 120 рублей. Выразите в процентном соотношении деньги, данные каждому брату.

Решение

Младший брат получил 80 рублей из 200 рублей. Записываем дробь восемьдесят двухсотых:

Старший брат получил 120 рублей из 200 рублей. Записываем дробь сто двадцать двухсотых:

Имеем дроби и . Выполним деление в этих дробях

Выразим в процентах полученные результаты:

Значит, 40% денег получил младший брат, а 60% — старший.

Некоторые дроби, показывающие какую часть первое число составляет от второго, можно сокращать.

Так дроби и можно было бы сократить. От этого ответ к задаче не изменился бы:

Задача 3. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 52,5 тыс. руб. — деньги, заработанные папой. 22,5 тыс. руб. — деньги, заработанные мамой. Выразите в процентах деньги, заработанные папой и мамой.

Решение

Данная задача, как и предыдущая, является задачей на нахождение процентного соотношения.

Выразим в процентах деньги, заработанные папой. Он заработал 52,5 тыс. рублей из 75 тыс. рублей

Выполним деление в этой дроби:

Выразим полученный результат в процентах:

Значит, папа заработал 70% денег. Далее нетрудно догадаться, что остальные 30% денег заработала мама. Ведь 75 тыс. рублей это все 100% денег. Для уверенности сделаем проверку. Мама заработала 22,5 тыс. руб. из 75 тыс. руб. Записываем дробь, выполняем деление и выражаем в процентах полученный результат:

Задача 4. Школьник тренируется делать подтягивания на перекладине. В прошлом месяце он мог делать 8 подтягиваний за подход. В этом месяце он может делать 10 подтягиваний за подход. На сколько процентов он увеличил количество подтягиваний?

Решение

Узнаем на сколько больше подтягиваний школьник делает в текущем месяце, чем в прошлом

Узнаем какую часть два подтягивания составляют от восьми подтягиваний. Для этого найдем отношение 2 к 8

Выполним деление в этой дроби

Выразим полученный результат в процентах:

Значит, школьник увеличил количество подтягиваний на 25%.

Эту задачу можно решить и вторым, более быстрым методом — узнать во сколько раз 10 подтягиваний больше, чем 8 подтягиваний и полученный результат выразить в процентах.

Чтобы узнать во сколько раз десять подтягиваний больше восьми подтягиваний, нужно найти отношение 10 к 8

Выполним деление в получившейся дроби

Выразим полученный результат в процентах:

Показатель подтягиваний в текущем месяце составляет 125%. Данное высказывание нужно понимать именно как «составляет 125%», а не как «показатель увеличился на 125%». Это два разных высказывания, выражающих различные количества.

Высказывание «составляет 125%» нужно понимать как «восемь подтягиваний, которые составляют 100% плюс два подтягивания, которые составляют 25% от восьми подтягиваний». Графически это выглядит следующим образом:

А высказывание «увеличился на 125%» нужно понимать как «к текущим восьми подтягиваниях, которые составляли 100% добавились еще 100% (еще 8 подтягиваний) плюс еще 25% (2 подтягивания)». Итого получается 18 подтягиваний

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 подтягиваний

Графически это высказывание выглядит следующим образом:

Всего же получается 225%. Если найти 225% от восьми подтягиваний, мы получим 18 подтягиваний

Задача 5. В прошлом месяце зарплата составляла 19,2 тыс. руб. В текущем месяце она составила 20,16 тыс. руб. На сколько процентов повысилась зарплата?

Эту задачу как и предыдущую можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы сначала узнать на сколько рублей увеличилась зарплата. Далее узнать какую часть эта прибавка составляет от зарплаты прошлого месяца

Узнаем на сколько рублей повысилась зарплата:

20,16 − 19,2 = 0,96 тыс. руб.

Узнаем какую часть 0,96 тыс. руб. составляет от 19,2. Для этого найдем отношение 0,96 к 19,2

Выполним деление в получившейся дроби. По пути вспомним, как выполняется деление десятичных дробей:

Выразим полученный результат в процентах:

Значит, зарплата повысилась на 5%.

Решим задачу вторым способом. Узнаем во сколько раз 20,16 тыс. руб. больше, чем 19,2 тыс. руб. Для этого найдем отношение 20,16 к 19,2

Выполним деление в получившейся дроби:

Выразим полученный результат в процентах:

Зарплата составляет 105%. То есть сюда входят 100%, которые составляли 19,2 тыс. руб., плюс 5% которые составляют 0,96 тыс. руб.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Задача 6. Цена ноутбука в этом месяце повысилась на 5%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 18,3 тыс. рублей?

Решение

Найдем 5% от 18,3:

Прибавим эти 5% к 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 тыс. руб.

Ответ: цена ноутбука составляет 19,215 тыс. руб.

Задача 7. Цена ноутбука в этом месяце снизилась на 10%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 16,3 тыс. рублей?

Решение

Найдем 10% от 16,3:

Вычтем эти 10% из 16,3:

16,3 − 1,63 = 14, 67 (тыс. рублей)

Подобные задачи можно записывать кратко:

16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (тыс. рублей)

Ответ: цена ноутбука составляет 14,67 тыс. рублей.

Задача 8. В прошлом месяце цена ноутбука составляла 21 тыс. рублей. В этом месяце цена повысилась до 22,05 тыс. рублей. На сколько процентов повысилась цена?

Решение

Определим насколько рублей повысилась цена

22,05 − 21 = 1,05 (тыс. руб)

Узнаем какую часть 1,05 тыс. руб. составляет от 21 тыс. руб.

Выразим полученный результат в процентах

Ответ: цена ноутбука повысилась на 5%

Задача 8. Рабочий должен был изготовить по плану 600 деталей, а он изготовил 900 деталей. На сколько процентов он выполнил план?

Решение

Узнаем во сколько раз 900 деталей больше, чем 600 деталей. Для этого найдем отношение 900 к 600

Значение данной дроби равно 1,5. Выразим это значение в процентах:

Значит, рабочий выполнил план на 150%. То есть выполнил его на все 100%, изготовив 600 деталей. Затем изготовил еще 300 деталей, что составляет 50% от изначального плана.

Ответ: рабочий выполнил план на 150%.

Сравнение величин в процентах

Мы уже много раз сравнивали величины различными способами. Первым нашим инструментом была разность. Так, к примеру чтобы сравнить 5 рублей и 3 рубля, мы записывали разность 5−3. Получив ответ 2, можно было сказать, что «пять рублей больше трех рублей на два рубля».

Получаемый в результате вычитания ответ в повседневной жизни называют не «разностью», а «разницей».

Так, разница между пятью и тремя рубля составляет два рубля.

Следующим инструментом, которым мы воспользовались для сравнения величин, было отношение. Отношение позволяло нам узнать во сколько раз первое число больше второго (или сколько раз первое число содержит второе).

Так, к примеру десять яблок больше двух яблок в пять раз. Или по другому, десять яблок содержит два яблока пять раз. Данное сравнение можно записать с помощью отношения

Но величины можно сравнить и в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах.

Для сравнения величин в процентах, одну из них нужно обозначить как 100%, а вторую исходя из условий задачи.

Например, узнаем на сколько процентов десять яблок больше, чем восемь яблок.

За 100% нужно обозначить ту величину с которой мы что-либо сравниваем. Мы сравниваем 10 яблок с 8 яблоками. Значит, за 100% обозначаем 8 яблок:

Теперь наша задача сравнить на сколько процентов 10 яблок больше, чем эти 8 яблок. 10 яблок это 8+2 яблока. Значит, добавив к восьми яблокам ещё два яблока, мы увеличим 100% еще на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от восьми яблок составляют два яблока

Добавив эти 25% к восьми яблокам, мы получим 10 яблок. А 10 яблок это 8+2, то есть 100% и еще 25%. Итого получаем 125%

Значит, десять яблок больше восьми яблок на 25%.

Теперь решим обратную задачу. Узнаем насколько процентов восемь яблок меньше, чем десять яблок. Сразу напрашивается ответ, что восемь яблок меньше на 25%. Однако это не так.

Мы сравниваем восемь яблок с десятью яблоками. Мы договорились, что за 100% будем брать то, с чем сравниваем. Поэтому в этот раз за 100% берем 10 яблок:

Восемь яблок это 10−2, то есть уменьшив 10 яблок на 2 яблока, мы уменьшим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от десяти яблок составляют два яблока

Отняв эти 20% от десяти яблок, мы получим 8 яблок. А 8 яблок это 10−2, то есть 100% и минус 20%. Итого получаем 80%

Значит, восемь яблок меньше десяти яблок на 20%.

Задача 2. На сколько процентов 5000 рублей больше, чем 4000 рублей?

Решение

Примем 4000 рублей за 100%. 5 тысяч больше 4 тысяч на 1 тысячу. Значит, увеличив четыре тысячи на одну тысячу, мы увеличим четыре тысячи на какое-то количество процентов. Узнаем на какое именно. Для этого определим какую часть одна тысяча составляет от четырех тысяч:

Выразим полученный результат в процентах:

1000 рублей от 4000 рублей составляют 25%. Если прибавить эти 25% к 4000, то получится 5000 рублей. Значит, 5000 рублей на 25% больше, чем 4000 рублей

Задача 3. На сколько процентов 4000 рублей меньше, чем 5000 рублей?

В этот раз сравниваем 4000 с 5000. Примем 5000 за 100%. Пять тысяч больше четырех тысяч на одну тысячу рублей. Узнаем какую часть одна тысяча составляет от пяти тысяч

Тысяча от пяти тысяч составляет 20%. Если вычесть эти 20% от 5000 рублей, то получим 4000 рублей.

Значит, 4000 рублей меньше 5000 рублей на 20%

Задачи на концентрацию, сплавы и смеси

Допустим, возникло желание приготовить какой-нибудь сок. У нас в распоряжении имеется вода и малиновый сироп

Нальем 200 мл воды в стакан:

Добавим 50 мл малинового сиропа и размешаем полученную жидкость. В результате у нас получится 250 мл малинового сока (200 мл воды + 50 мл сиропа = 250 мл сока)

Какую часть от получившегося сока составляет малиновый сироп?

Малиновый сироп составляет сока. Вычислим это отношение, получим число 0,20 . Это число показывает количество растворённого сиропа в получившемся соке. Назовём это число концентрацией сиропа.

Концентрацией растворённого вещества называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объему раствора.

Концентрация обычно выражается в процентах. Давайте выразим концентрацию сиропа в процентах:

Таким образом, концентрация сиропа в малиновом соке составляет 20%.

Вещества в растворе могут быть неоднородными. Например, смешаем 3 л воды и 200 г соли.

Масса 1 л воды составляет 1 кг. Тогда масса 3 л воды будет составлять 3 кг. Переведем 3 кг в граммы, получим 3 кг = 3000 г.

Теперь в 3000 г воды опустим 200 г соли и смешаем полученную жидкость. В результате получится соленный раствор, общая масса которого будет составлять 3000+200, то есть 3200 г. Найдем концентрацию соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение массы растворенной соли к массе раствора

Значит, при смешивании 3 л воды и 200 г соли получится 6,25%-й раствор соли.

Аналогично может быть определено количество вещества в сплаве или в смеси. Например, сплав содержит олово массой 210 г, и серебро массой 90 г. Тогда масса сплава будет составлять 210+90, то есть 300 г. Олова в сплаве будет содержаться , а серебра . В процентном соотношении олова будет 70% , а серебра 30%

При смешивании двух растворов получается новый раствор, состоящий из первого и второго растворов. У нового раствора концентрация вещества может быть другой. Полезным навыком является умение решать задачи на концентрацию, сплавы и смеси. В общем итоге смысл таких задач заключается в отслеживании изменений, которые происходят при смешивании растворов различной концентрации.

Смешаем два малиновых сока. Первый сок объемом 250 мл содержит 12,8% малинового сиропа. А второй сок объемом 300 мл содержит 15% малинового сиропа. Сольем эти два сока в большой стакан и смешаем. В результате получим новый сок объемом 550 мл.

Теперь определим концентрацию сиропа в полученном соке. Первый слитый сок объемом 250 мл содержал 12,8% сиропа. А 12,8% от 250 мл это 32 мл. Значит, первый сок содержал 32 мл сиропа.

Второй слитый сок объемом 300 мл содержал 15% сиропа. А 15% от 300 мл это 45 мл. Значит, второй сок содержал 45 мл сиропа.

Сложим количества сиропов:

32 мл + 45 мл = 77 мл

Эти 77 мл сиропа содержатся в новом соке, объем которого составляет 550 мл. Определим концентрацию сиропа в этом соке. Для этого найдём отношение 77 мл растворённого сиропа к объему сока 550 мл:

Значит, при смешивании 12,8%-го малинового сока объемом 250 мл и 15%‍-го малинового сока объемом 300 мл, получается 14%-й малиновый сок объемом 550 мл.

Задача 1. Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.

Решение

Определим объем полученного раствора:

130 мл + 200 мл + 170 мл = 500 мл

Поскольку в первом растворе было 130 × 0,10 = 13 мл морской соли, во втором растворе 200 × 0,15 = 30 мл морской соли, а в третьем — 170 × 0,20 = 34 мл морской соли, то в полученном растворе будет содержаться 13 + 30 + 34 = 77 мл морской соли.

Определим концентрацию морской соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение 77 мл морской соли к объему раствора 500 мл

Значит, в полученном растворе содержится 15,4% морской соли.

Задача 2. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-й раствор?

Решение

Заметим, что если к имеющемуся раствору добавить воды, то количество соли в нём не изменится. Изменится только её процентное содержание, поскольку добавление воды в раствор приведёт к изменению его массы.

Нам нужно добавить такое количество воды при котором восемь процентов соли стали бы пятью процентами.

Определим сколько граммов соли содержится в 50 г раствора. Для этого найдем 8% от 50

8% от 50 г составляют 4 г. Другими словами, на восемь частей из ста приходятся 4 грамма соли. Давайте сделаем так, чтобы эти 4 грамма приходились не на восемь частей, а на пять частей, то есть на 5%

Теперь зная, что на 5% раствора приходятся 4 грамма, мы можем найти массу всего раствора. Для этого нужно найти число по его проценту:

4 г : 5 = 0,8 г
0,8 г × 100 = 80 г

80 граммов раствора это масса при которой 4 грамма соли будут приходиться на 5% раствора. А для получения этих 80 граммов, нужно к изначальным 50 граммам добавить 30 граммов воды.

Значит, для получения 5%-го раствора соли, нужно к имеющемуся раствору добавить 30 г воды.

Задача 2. Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?

Решение

Виноград состоит из влаги и чистого вещества. Если в свежем винограде содержится 91% влаги, то на остальные 9% будет приходиться чистое вещество этого винограда:

Изюм же содержит 93% чистого вещества и 7% влаги:

Заметим, что в процессе превращения винограда в изюм, исчезает только влага этого винограда. Чистое вещество остаётся без изменения. После того, как виноград превратится в изюм, в получившемся изюме будет 7% влаги и 93% чистого вещества.

Определим сколько чистого вещества содержится в 21 кг изюма. Для этого найдем 93% от 21 кг

21 кг × 0,93 = 19,53 кг

Теперь вернемся к первому рисунку. Наша задача состояла в том, чтобы определить сколько винограда нужно взять для получения 21 кг изюма. Чистое вещество массой 19,53 кг будет приходиться на 9% винограда:

Теперь зная, что 9% чистого вещества составляют 19,53 кг, мы можем определить сколько винограда требуется для получения 21 кг изюма. Для этого нужно найти число по его проценту:

19,53 кг : 9 = 2,17 кг
2,17 кг × 100 = 217 кг

Значит, для получения 21 кг изюма нужно взять 217 кг винограда.

Задача 3. В сплаве олова и меди медь составляет 85%. Сколько надо взять сплава, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова?

Решение

Если в сплаве медь составляет 85%, то на остальные 15% будет приходиться олово:

Спрашивается сколько надо взять сплава, чтобы в нем содержалось 4,5 олова. Поскольку олова в сплаве содержится 15%, то 4,5 кг олова и будут приходиться на эти 15%.

А зная, что 4,5 кг сплава составляют 15% мы можем определить массу всего сплава. Для этого нужно найти число по его проценту:

4,5 кг : 15 = 0,3 кг
0,3 кг × 100 = 30 кг

Значит, сплава нужно взять 30 кг, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова.

Задача 4. Смешали некоторое количество 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.

Решение

Изобразим на рисунке первый раствор в виде прямой линии и выделим на нём 12%

Поскольку количество растворов одинаково, рядом можно изобразить такой же рисунок, иллюстрирующий второй раствор с содержанием соляной кислоты 20%

У нас получилось двести частей раствора (100% + 100%) , тридцать две части из которых составляют соляную кислоту (12% + 20%)

Определим какую часть 32 части составляют от 200 частей

Значит, при смешивании 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты получится 16%-й раствор соляной кислоты.

Для проверки представим, что масса первого раствора была 2 кг. Масса второго раствора так же будет составлять 2 кг. Тогда при смешивании этих растворов получится 4 кг раствора. В первом растворе соляной кислоты было 2 × 0,12 = 0,24 кг, а во втором — 2 × 0,20 = 0,40 кг . Тогда в новом растворе соляной кислоты будет 0,24 + 0,40 = 0,64 кг . Концентрация соляной кислоты составит 16%

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Алгоритм решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.

Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.

Шаг 3. Записать уравнение.

Шаг 4. Решить полученное уравнение.

Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь равна 165 см2.

Шаг 1. Пусть x – ширина прямоугольника (в см).

Шаг 2. Тогда его длина (x+5), и площадь: S = x(x+5)

Шаг 3. По условию получаем уравнение: x(x+5) = 165

$$ x^2+5x-165 = 0 \Rightarrow (x+16)(x-11) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -16 \\ x_2 = 11 \end \right. $$

Шаг 5. Для ширины прямоугольника выбираем положительный корень x = 11.

Тогда длина x+5 = 16. Периметр: P = 2(11+16) = 54 (см).

Примеры

Пример 1. Найдите два числа, если их сумма равна 36, а произведение 315.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — искомые числа.

Известно, что $x_1+x_2 = 36, x_1 x_2 = 315$.

По теореме Виета данные два числа являются корнями уравнения

$$ x^2+bx+c = 0, b = -(x_1+x_2 ) = -36, c = x_1 x_2 = 315$$

$$ D = 36^2-4 \cdot 315 = 1296-1260 = 36 = 6^2 $$

$$ x = \frac<36 \pm 6> <2>= \left[ \begin x_1 = 15 \\ x_2 = 21 \end \right. $$

Пример 2. Найдите два числа, если их разность равна 9, а произведение 162.

Пусть x и y — искомые числа. Пусть $x \gt y$.

По условию $x-y = 9 \Rightarrow y = x-9. $

Произведение xy = x(x-9) = 162

$$ D = 9^2-4 \cdot (-162) = 81+648 = 729 = 27^2 $$

$$ x = \frac<9 \pm 27> <2>= \left[ \begin x_1 = -9 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Получаем две пары чисел: $ \left[ \begin <\left\< \begin x_1 = -9 \\ y_1=-9-9=-18 \end \right.> \\ <\left\< \begin x_2 = 18 \\ y_2 = 18-9=9 \end \right.> \end \right. $

Ответ: -9 и-18; или 18 и 9

Пример 3. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 год)

Найдите число, зная, что прибавив к его квадрату 108, получим число в 24 раза больше данного.

Пусть x — искомое число.

По условию $x^2+108 = 24x$

$$ x^2-24x+108 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-18) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x_1 = 6 \\ x_2 = 18 \end \right. $$

Пример 4. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 590.

Пусть n-1,n,n+1 — данные три числа.

$$ 3n^2 = 588 \Rightarrow n^2 = 196 \Rightarrow n = \pm \sqrt <196>= \pm 13 $$

Получаем две последовательности: -14,-13,-12 или 12,13,14

Ответ: -14,-13,-12 или 12,13,14

Пример 5. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 700 км, выехал автобус. Из-за непогоды водитель уменьшил обычную скорость на 10 км/ч, и автобус ехал на 1 час 40 минут дольше. Сколько часов автобус обычно тратит на дорогу?

Сборник задач «Задачи на проценты»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

КГУ «СШ №7 с. Приишимское» акимата Осакаровского района

Сборник задач на проценты

Составитель: Хутинаева Ирина Анатольевна

высшей квалификационной категории

КГУ «СШ № 7 с. Приишимское Осакаровского

района Карагандинской области»

Различные способы решения задач

Задачи, систематизированные по темам (с решениями)…………………. 18

Задачи на проценты в торговом деле………………. .21

Задачи на проценты в банковском деле………..25

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы……..32

Задачи на процентное содержание компонентов

в различных веществах……………………….36

« Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель, сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. А грамотный вкладчик сбережений учится жить на проценты!»

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются не только в учебниках по математике, но и в повседневной жизни.

В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение или снижение цен на продукты питания, рост заработной платы, пенсий, подоходный налог с зарплаты, кредитные вопросы когда-либо касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Любой человек должен уметь свободно решать задачи на проценты, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодны. А начинать разбираться с задачами на проценты необходимо по схеме «от простого к сложному» Поэтому в данном сборнике вначале подробно рассмотрены различные способы решения задач на проценты. Второй шаг-разбор всевозможных задач с изложением подробного их решения. Для облегчения поиска предложенные задачи классифицированы по темам. После каждой тематической подборки есть задачи «Проверь себя!» с ответами. Данный сборник может быть полезен учителям математики при объяснении темы «Проценты» как на уроках, так и во внеурочное время, например, на факультативе; учащимся для оттачивания своих знаний в области процентных задач, при подготовке к ВОУД (задачи на функциональную грамотность), а также при подготовке к ЕНТ (многие задачи взяты из сборников тестов 2001-2015 г.). Можно предложить и родителям: для них тоже найдется чему поучиться. Желаем успехов!

решения задач на проценты

1). Нахождение части от целого.
Правило: Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
Пример. В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Сколько учеников отсутствовало?
Решение: 1 способ. Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
1) 12,5% : 100% = 0,125
2) 32 · 0,125 = 4 (уч.) — отсутствовало

2 способ. Пусть х учеников отсутствовало, что составляет 12,5%. Если 32 ученика – общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%
х = 32·12,5:100 = 4 (уч.) – отсутствовало.

Ответ: в классе отсутствовало 4 ученика.

2). Нахождение целого по его части.
Правило: Чтобы найти целое по его части (%-ам), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).
Пример. Азамат истратил в парке аттракционов 675 тг, что составило 75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Азамата до прихода в парк аттракционов?
Решение: 1 способ. В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение этой части.
1)75%:100% = 0,75
2)675 : 0,75 = 900(тг.) – было у Азамата
2 способ. Пусть х тг было у Азамата, что составляет целое, то есть 100%. Если он потратил 675 тг, что составило 75%, то
675 тг – 75 %
х тг – 100 %
х = 675·100 :75 = 900(тг.)
Ответ: у Азамата было 900 тг.

3). Выражение в процентах отношения двух чисел.
Типовой вопрос: Сколько процентов составляет одна величина от другой?
Пример 1. Ширина дачного участка прямоугольной формы 20 м, а длина 32 м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)
Решение: В этой задаче длина участка 32 м составляет 100%, тогда ширина 20 м составляет х%. Составим и решим пропорцию: 20 м – х %
32 м – 100 %
х = 20 ·100 : 32 = 62,5%
Ответ: ширина составляет от длины 62,5%.
Пример 2. Ширина дачного участка прямоугольной формы 20 м, а длина 32 м. Сколько процентов составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
Решение: В этой задаче ширина участка 20 м составляет 100%, тогда длина 32 м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 м – 100 %
32 м – х %
х = 32·100 : 20 = 160%
Ответ: длина составляет от ширины 160%.
! Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.

4). Выражение в процентах изменения величины.
Типовой вопрос: На сколько процентов изменилась (увеличилась или уменьшилась) первоначальная величина?
Правило: Чтобы найти изменение величины в % надо:
1) найти, на сколько изменилась величина (без %);
2) разделить полученную величину из пункта 1) на величину, являющуюся основой для сравнения;
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%).
Пример 1. Цена платья снизилась с 1250 тг до 1000 тг. На сколько процентов снизилась цена платья?
Решение: 1 способ. Основа для сравнения здесь 1250 тг (т.е. то, что было изначально)
1) 1250 –1000 = 250 (тг.) — на столько изменилась цена платья.
2) 250:1250 ·100% = 20%
2 способ.
1250 –1000 = 250 (тг.) — на столько изменилась цена платья.
В этой задаче первоначальная цена 1250 тг — это 100%, тогда изменение цены 250 тг. составляет х%. Составим и решим пропорцию: 1250 тг. – 100%
250 тг. – х%
х = 250 ·100 : 1250 = 20%
Ответ: цена платья уменьшилась на 20%.
Пример 2. Цена платья повысилась с 1000 тг до 1250 тг. На сколько процентов повысилась цена платья?
Решение: 1 способ. Основа для сравнения здесь 1000 тг (т.е. то, что было изначально)
1) 1250 –1000 = 250 (тг.) — на столько изменилась цена платья.
2) 250:1000 ·100% = 25%
2 способ.
1250 –1000 = 250 (тг.) — на столько изменилась цена платья.
В этой задаче первоначальная цена 1000 тг 100%, тогда изменение цены 250 тг составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 тг. – 100 %
250 тг. – х %
х = 250 ·100:1000 = 25%
Ответ: цена платья увеличилась на 25%.
( Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса)

5). Последовательное изменение величины (числа).
Пример. В магазине цену на утюг уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. На сколько процентов изменилась цена на утюг?
Самая распространенная ошибка: цена увеличилась на 5 %.
Решение: 1 способ.
1) Хотя исходная цена не дана, для простоты решения можно принять её за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если цена уменьшилась на 15%, то полученная цена составит 85% или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е.
85 – 100%
х – 120% (т.к. цена увеличилась на 20%)
х = 85 ·120:100 = 102
4) Таким образом, в результате изменений цена 100 (первоначальное значение) изменилась и стала 102, а это означает, что первоначальная цена увеличилась на 2%.
2 способ.

1) Пусть исходная цена х рублей.
2) Если цена уменьшилась на 15%, то полученная цена составит 85% от х, т.е. 0,85х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е.
0,85х – 100%
у – 120% (т.к. цена увеличилась на 20%)
у = 0,85х ·120:100 = 1,02х
4) Таким образом в результате изменений цена х (первоначальное значение), является основой для сравнения, а цена 1,02х (полученное значение), тогда

102% — 100% = 2%
Ответ: цена на утюг увеличилась на 2%.

6). Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.

Правило: Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 131250 тг Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение: Пусть х (тг) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25х, а в конце второго года размер вклада составит 1,25 ·1,25х.

Решаем уравнение 1,25 · 1,25х=131250

Ответ: 84000 тенге.

7). Решение задач на проценты при помощи составления вспомогательной краткой записи

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих?

Надо знать , что практически любой продукт — яблоки, грибы, картофель, крупа, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причем воду содержат как свежие, так и сушеные продукты и что в процессе высыхания испаряется только вода, а сухое вещество никуда не девается и его масса не изменяется.

Обозначим: Х кг-масса сухих грибов.
Вычислим сколько % сухого вещества в свежих грибах:
1)100%-90%=10%.
Сколько % сухого вещества в сухих грибах:
2) 100%-15%= 85%
Составим схему:
Cвежие грибы Сухие грибы

Вода 90% 15%
Сухое вещество 10% 85%
Масса 17 кг Х кг

Составляем уравнение , учитывая только процентное содержание сухого вещества в данном продукте.
Так как 10%=0,1,а 85%=0,85 получаем уравнение:
0,1*17=0,85х
х=2(кг)- масса сушеных грибов. Ответ: 2кг.

Задача №2
В растворе содержится 40 % соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70 % соли. Найдите массу соли в первоначальном растворе.
Пусть х(г)- масса первоначального раствора.

Составим схему:
Раствор + Соль = Раствор
Концентрация
вещества (соль) 40% 100% 70%

Масса х г. 120 г. (120+х) г.

40%=0,4; 100%=1; 70%=0,7
Составим уравнение:
0,4х+120=84+0,7х
0,3х=36
х=120 (г)
Найдем массу чистого вещества в первоначальном растворе
120 (г).
Ответ: 48гр.
Задача №3

К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?
Пусть х(л)-объем 5%-го раствора.
Составим схему:
Раствор + Раствор = Раствор

Концентрация
вещества 10% 5% 8%
(соль)
Масса 15 л. Х л. (15+х) л.

10%=0,1; 5%=0,05; 8%=0,08
Составим уравнение:
1,5+0,05х=1,2+0,08х
0,03х=0,3
х=10(л)

Задача №4
При консервировании овощей применяется уксусная эссенция. К 5г 80%-ного раствора эссенции добавили воду и получили 2% -ный раствор. Найдите массу добавленной воды.
Пусть х гр.-масса добавленной воды.
Составим схему :
Раствор + Вода = Раствор

Концентрация 80% 0% 2%
вещества
(уксус)

Масса 5г. х г. (5+х) г.

80%=0,8; 2%=0,02
Составим уравнение:
5*0,08+0*х=0,02* (5+х)
Умножим обе части уравнения на 100, получим:
400=2(5+х)
400=10+2х
2х=390
х=195(г)
Ответ: 195 г.

8). Решение задач на проценты по формуле сложных процентов

Пусть некоторая величина увеличивается в n раз и каждый раз на . Тогда её значение после первого увеличения находится по формуле:

Значение после второго увеличения находится по формуле:

Окончательное значение находится по формуле:

Формула (1)- формула сложных процентов, где

А _n – наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами),

р% — процентная ставка от суммы, выраженная в долях за период,

n – число периодов начисления.

Пример 1. Сбербанк начисляет ежегодно 10% от суммы вклада. Какой будет сумма вклада через 3 года, если вкладчик положил на счёт 20 000₽.

По формуле (1) получаем:

Пример 2. Клиент открыл в банке счет и положил на срочный вклад 500 000 тг. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет сложные проценты по ставке 30% годовых и дополнительных вложений не было.

Решение: По формуле сложных процентов А₂ = 500000 · ﴾ 1+ ﴿ 2 = 500000 ·= 845 000 тг.

Ответ: 845000 тг.

9). Способ решения задач на проценты при помощи опорных схем

Пример 1 . При смешивании 5%-ого раствора кислоты с 40% -ым раствором кислоты получили 140 г 30%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение: Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 30 и 5, 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получится такая схема:

Из неё делается заключение, что 5%-ого раствора следует взять 10 частей, а 40%-ого 25 частей, т.е. для получения 140 г 30%-ого раствора нужно взять 5%-ого раствора 40 г, а 40%-ого — 100 г

(10+25 = 35 частей всего,

140:35 = 4 г-вес одной части,

Ответ: 5%-ого раствора 40 г, а 40%-ого — 100 г.

Пример 2. Имеется серебро 12-й, 11-й и 5-й пробы. Сколько и какого серебра надо взять для получения 1 кг серебра 9-й пробы?

Решение: Применим метод, рассмотренный в примере 1 дважды: первый раз, взяв серебро с наименьшей и наибольшей пробой, а во второй раз – с наименьшей и средней пробой. Получим следующую схему:

При этом найдены доли, в которых нужно сплавлять серебро наибольшей и средней пробы (4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первый и

во второй раз (3+2 = 5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве.

Таким образом, надо взять кг серебра 5-й пробы, кг серебра 12-й пробы, кг серебра 11-й пробы.

Данная задача имеет не единственное решение. 9-й пробы серебро можно получить, сплавляя серебро 5-й и 12-й пробы в отношении 3:4(1 сплав) или серебро 5-й и 11-й пробы в отношении 2:4(2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем получать различные сплавы серебра 9-й пробы.

Ответ: надо взять кг серебра 5-й пробы,

кг серебра 12-й пробы, кг серебра 11-й пробы.

Пример 3. Имеется 240 г 70%-ого раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6%-ный раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение: Составим схему:

Итак, 240:6 = 40 г — составляет одна часть, а воды следует взять 64 части, т.е. 64·40 = 2560 г

Ответ: нужно прибавить к имеющемуся

раствору 2560 г воды.

10). Решение задач на проценты с помощью «Квадрата Пирсона».

Этот способ назван в честь английского математика Карла Пирсона.

Пример 1 . Как приготовить 25%-ый раствор сульфата цинка из 76%-ого и 15%-ого растворов? Сколько граммов каждого раствора потребуется?

Решение : Чертим квадрат 3×3. В левом верхнем и нижнем углу записываем проценты растворов, которые взяли (76% и 15%). В центре квадрата записываем проценты раствора, которые надо получить ( 25%) . По диагонали вычитаем и результаты записываем в правом нижнем и верхнем углу (если в результате вычитания получается отрицательное число, то знак « — » убираем). Получаем количество частей вещества, которое нужно взять.

Ответ: 10 г 76%-ого и 51 г 15%-ого растворов.

Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов . То есть если нужно смешать три или более веществ, «квадрат Пирсона» здесь не поможет.

Пример 2 . В лаборатории имеется 72%-ый раствор серной кислоты. Как из этого и 9%-ого растворов приготовить 630 г 36%-ого раствора?

630 г :7 = 90 г- одна часть

Ответ: надо 270 г 72%-ого и 360 г 9%-ого растворов.

Пример 3 . Уксусная эссенция содержит 80% уксусной кислоты. Как приготовить 160 г 5%-ого раствора уксусной кислоты для приправы ?

10 г (80% раствора)

Ответ: нужно смешать 10 г 80%-ого раствора и 150 г воды.

Пример 4 . Для получения 4 тонн нержавеющей стали, содержащей 20% хрома, на ОАО «Мечел» сплавили два сорта стали, содержащие соответственно 30% и 10% хрома. Определить массы каждой марки стали, взятой для сплавления.

Ответ: 2 т 30% и 2 т 10% хромированной стали.

Пример 5 . В лаборатории для определения качества молока и молочной продукции имеются два сосуда с молочным продуктом с массовой долей молочного жира соответственно 5% и 25 %. Какаю массу каждого продукта необходимо взять для приготовления 500 г молока 10 %-ной жирности?

Решение: «Квадрат Пирсона» ещё называют вычислением по правилу «креста». Вводим обозначения:

При вычитании по диагонали из большого числа вычитаем меньшее. Записываем друг под другом массовые доли исходных растворов, а правее между ними – массовую долю раствора, который необходимо приготовить. Из большого значения массовой доли (0,25) вычитаем заданное значение (0,1) и записываем результат справа вверху. Далее из заданного значения массовой доли (0,1) вычитаем меньшее значение (0,05) и записываем результат справа внизу. Числа 0,15 и 0,05 показывают, в каком массовом отношении надо взять молочного продукта с

Ответ: для приготовления 500 г молока

10 %-ной жирности требуется 375 г 5 %-го и 125 г 25 %-го молочного продукта соответственно.

1). Задачи на проценты в торговом деле.

Задача № 1. Цена 1 кг яблок в магазине «Подсолнух» первоначально составляла 56 рублей. C декабря месяца цена сначала поднялась на 15%, а потом понизилась на 6%, затем снова поднялась на 10%. Какова конечная цена 1 кг яблок?

I действие : 56 руб. — 100%

x = (56·15):100 = 8,4 (руб.)

56 + 8,4 = 64,4 (руб.) – цена 1 кг яблок после повышения цены.

x = (64,4·6):100 ≈ 3,86 (руб.)

64,4 – 3,86 = 60,54 (руб.) — цена 1 кг яблок после понижения цены.

III действие : 60,54 – 100%

x = (60,54·10):100 ≈ 6,05 (руб.)

60,54+6,05 = 66,59 (руб.) — цена 1 кг яблок после повышения цены.

Ответ: цена 1 кг яблок стала 66,59 рубля.

Задача № 2. Зонт стоил 360 рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

1) Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 руб., т. е. 360·0,85 = 306(руб.).

2) Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90 % от 306 руб., т. е.

306·0,9 = 275,4 (руб.)

Ответ: 275 рублей 40 копеек.

Задача № 3. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10 % ?

Решение: Находим 10 % от 40

10:100 ·40 = 0,1·40 = 4 руб.

40+4 = 44 (руб.)
Новая цена ручки составит 44 рубля. 900 : 44≈20,45, т.е. 20 ручек.

Ответ: на 900 рублей можно купить 20 ручек.

Задача № 4. Цена на электрический чайник была повышена на 16 % и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Решение: Запомним важное правило: за 100 % принимается та величина, с которой мы сравниваем .

Цена была повышена на 16 % по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100 % , новая цена — 100%+16% = 116 % . Составляем пропорцию:

Составляем и решаем уравнение 100 ·3480 = 116 · х

Ответ: 3000 рублей стоил чайник до повышения цены.

Задача № 5. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки — на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Стоимость лыж (руб.)

Стоимость ботинок (руб.)

Стоимость лыж и ботинок вместе (руб.)

1,2 х + 1,7 у = ( х + у ) + 0,35( х + у )
1,2 х + 1,7 у = х + у + 0,35 х + 0,35 у
1,2 х + 1,7 у = 1,35 х + 1,35 у
1,7 у – 1,35 у = 1,35 х – 1,2 х
0,35 у = 0,15 х
х = 0,35 у : 0,15
х = у
х = у
х = у

· 100% = у : ( у + у ) ·100% = у : у · 100% =

= · 100% = 70%

Ответ: 70% от стоимости лыж с ботинками

составляла два года назад стоимость лыж.

Футболка стоила 1200 тг. После снижения цены она стала стоить 972 тг. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

Цена на электрический чайник была повышена на 17% и составила 2340 тг. Сколько рублей стоил товар до повышения цены?

Тетрадь стоит 30 тг. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 450 тг после понижения цены на 10%?

Флакон шампуня стоит 150 тг. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 тг во время распродажи, когда скидка составляет 35%?

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 тг за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 тг?

Цену на пальто снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена на пальто?

Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Антикварный магазин приобрел старин­ный кинжал за 30 тысяч тг. И выставил его на про­дажу, повысив цену на 60%. Но этот кинжал был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже старинного кинжала?

На весенней распродаже в одном мага­зине шарф стоимостью 350 тг уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В ка­ком магазине выгоднее купить этот шарф?

1) 19%; 2) 2000 тг; 3) 16 тетрадей; 4) 7 штук;

5) 7 штук; 6) снизилась на 9%; 7) 33,1%;

8) 8,4 тысячи тг; 9) во втором;

2). Задачи на проценты в банковском деле.

В банковском деле различают простые и сложные виды процентов. При использовании простых процентов процент начисляется на первоначальную сумму вклада (кредита) на протяжении всего периода начисления. В случае же со сложными процентами процент в конце каждого интервала начисляется на сумму первоначального вклада (кредита) и начисленных за предшествующие интервалы процентов.

Рассмотрим пример применения простых и сложных видов процентов. Банк «А» и банк «Б» предлагают вкладчикам срочный вклад на 3 года под 10 % годовых с выплатой процентов в конце срока. Банк «А» при начислении процентов использует схему простых процентов, а банк «Б» – схему сложных процентов. Какой банк Вы выберите для того, чтобы положить на срочный вклад 20 тысяч рублей? По формуле простых процентов рассчитаем будущую стоимость капитала, помещенного в банк «А»: А _n = А ₀ (1+),

А ₃ = 20000·(1+) = 20000 ·= 26000 рублей.

По формуле сложных процентов рассчитаем будущую стоимость капитала, помещенного в банк «Б»: А _n = А ₀ ﴾ 1+ ﴿ n

А ₃ = 20000 · ﴾ 1+ ﴿ 3 = 20000·1,1 3 = 20000·1,331 = 26620 рублей.

Таким образом, выгоднее выбрать банк «Б».

Пусть некоторая величина A увеличивается n раз последовательно на . Тогда её окончательное значение находится по формуле:

Формула (2) также называют формулой сложных процентов. Рассмотрим интересные примеры задач :

Пример 1 .В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

( Ответ: в квартале в 2010 году стало проживать 47 088 жителей.)

Пример 2 .Гель для душа от компании “Hartmann” стоил 500₽. В течение первых двух лет его стоимость увеличивалась на 2% ежегодно, так как спрос на данный продукт рос. Однако, в связи с возросшей конкуренцией на рынке продуктов такого же типа, его стоимость в третий год упала на 10%. Какова последняя цена товара?

Пример 3 .Цену на некоторый товар увеличили сначала на 30%, потом опять на 20%, а спустя некоторое время уменьшили на 50%. Выразите в процентах окончательное изменение цены по сравнению с первоначальной.

Пусть x – искомое число процентов, A – начальная цена, – конечная цена.

Тогда по формуле (2) получим:

Таким образом, новая цена составляет 78% от старой, значит изменение цены по сравнению с первоначальной составило

(Ответ: цена упала на 22%.)

Задача 4 . На банковский счет было положено 10 тысяч рублей. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тысячу рублей. Еще через год на счету стало 11 тысяч рублей. Какой процент годовых начисляет банк?

Пусть банк начисляет р% годовых.

1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины

10000 + 0,01p ·10000 = 10000 + 100р руб.

Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб.

2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + +100р) = р 2 + 190р + 9000 руб.

По условию эта величина равна 11000 руб., поэтому имеем квадратное уравнение.

р 2 + 190р + 9000 = 11000;

р 2 + 190р — 2000 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя теорему Виета, p ₁ = 10, p ₂ = -200.

Отрицательный корень не подходит.

Ответ: начислялось 10% годовых.

Задача № 2. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц увеличился за 8 месяцев до 33000 рублей?

S ₀ · (1+8 ·) = 33000,

S ₀ = 33 000 · = 25000 рублей

Ответ: начальный вклад должен быть 25000 рублей.

Задача 5. Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

1) 450 · 0,3 = 135( тыс. руб.) – «прирост» за год.

2) 450 + 135 = 585( тыс. руб.)

Ответ: в конце года на счете будет

находиться 585 тысяч рублей.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала найти сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 450 тысяч рублей.

Задача 6. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 рублей?

1)100% + 25% = 125% — составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

2)100 ·1000:125 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 рублей.

Задача 7. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода?

Решение: Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, число месяцев n = 6 и первоначального вклада S ₀ = 500:

S = 500 ·(1 + ) = 500 ·1,12= 560 (руб.)

Ответ: через полгода на вкладе будет 560 рублей.

Чтобы накопить деньги на мотоцикл, Сергей вклад, размером 20000 тг, положил в банк под сложные проценты по ставке р% годовых. После того, как вклад пролежал 1 год, банк увеличил процентную ставку на 10%. В конце второго года на счете находилось 28750 тг. Какова годовая ставка сложных процентов была в первый и второй год?

Сколько лежал в банке вклад 20000 тг, если по ставке 20% годовых (простые проценты), он достиг величины 28000 тг?

Через 6 лет нам нужны деньги в размере 200000 тг при процентной ставке 20% (сложные проценты). Какую сумму нужно положить в банк?

В банк положили 500000 тг под 30% (при сложных процентах). Какова величина вклада через 4 года?

Вкладчик открыл счет в банке, вложив S ₀ = 100000 тг по ставке сложных процентов 20% годовых. Вкладчик желает накопить не менее 200000 тг. Через сколько лет это возможно? Какое наименьшее число лет, при которых вкладчик получит интересующую сумму?

Михаил получил в подарок к своему 25-летию 20000 рублей и положил их в банк, который начисляет в качестве базовой ставки 7% в год. Какова будет сумма этого вклада к тому времени, когда Михаил уйдет на пенсию (в 65 лет)?

Выплачиваемый банком базовый процент составляет 10% в год. Через сколько лет удвоится сумма помещенного в этот банк вклада?

Клиент взял в банке кредит 480000 тг на год под 9% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 20000 тг на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

10.Два банковских филиала обслуживали в прошлом году одинаковое количество клиентов. В этом году количество клиентов в первом филиале увеличилось на 150%, а во втором – в 2,5 раза. В каком филиале стало больше клиентов?

Ответы: 1) 15%, 25%; 2) 2 года; 3) 66970 тг;

4) 1428050 тг; 5) 4 года; 6) 76000 тг;

7) 8 лет; 8) 43600 тг;

9) 39476,5 тг; 10) одинаково

3). Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

Задача 1 . Сколько килограммов соли в 10

килограммах соленой воды, если процентное

содержание соли составляет 15%?

10 · 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Процентное содержание вещества в растворе

(например, 15%), иногда называют

процентным раствором, например, 15%-й

Задача 2 . Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) – сплав;

2) 10:25 · 100% = 40% – процентное содержание олова в сплаве;

3) 15:25 · 100% = 60% – процентное содержание цинка в сплаве;

Задача 3 . К 15 л 10%-ого раствора соли добавили 5%-ый раствор соли и получили 8%-ый раствор. Какое количество литров 5%-ого раствора добавили?

Решение . Пусть добавили х л 5%-ого раствора соли. Тогда нового раствора стало

(15 + х) л, в котором содержится 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ого раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ого раствора содержится 0,05х (л) соли.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х)

Ответ : добавили 10 л 5%-ого раствора.

Задача 4 . 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ых сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35·5+0,2·4=р·(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ: 25,5%

Задача 5. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение . Определим процентное содержание золота в обоих слитках.

1) 230+20=250(г) — масса 1 слитка,

2) 230:250=0,92 (92%) — процентное содержание золота в 1 слитке.

3) 240+60=300(г) — масса 2 слитка,

4) 240:300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке.

Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение:

Садовник для поливки роз смешивает удобрение «Росток» с 30%-ым содержанием калия и удобрение «Розочка» с 10%-ым содержанием калия и получает 600 граммов 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого удобрения было взято?

Смешали 4 литра 15%-ого водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25%-ого водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

Смешав 30%-ый и 60%-ый растворы кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36%-ый раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ого раствора той же кислоты, то получили бы 41%-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 30%-ого раствора использовали для получения смеси?

Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Из сосуда, доверху наполненного 93%-м раствором кислоты, отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 69%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 85%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Кусок сплава меди и цинка в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Хозяйке для засолки огурцов необходимо получить 6%-ый раствор уксусной кислоты, используя 70%-ый раствор уксусной кислоты и воду. Сколько необходимо взять 70%-ого раствора и воды, чтобы получить 700 г раствора необходимой концентрации?

В санатории «Солнечный» готовят ванну из морской и пресной воды. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Ответы: 1) 150 гр., 450 гр.; 2) 21%; 3) 60 кг;

4) 9 кг; 5) на 100 кг; 6) 18 кг;

7) 4,5 л; 8) 13,5 кг;

9) 60 г кислоты, 640 г воды; 10) 70 кг.

4). Задачи на процентное содержание компонентов в различных веществах .

Задача 1. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%.

1. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества» было 10%. В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества». Пусть из х кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда 10% от х равно 95% от 20

х=190
Ответ: 190 кг.

Задача 2. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение : 1) 22 · 0,1 = 2,2 (кг) — грибов по массе в свежих грибах;

2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) — сухих грибов, получаемых из свежих.

Задача 3 . Свежие груши содержали 72% воды, а сухие — 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих груш?

Решение: В свежих грушах сухой остаток составляет 100% — 72% = 28%. В 20 кг свежих груш сухой остаток составляет 20·0,28 = 5,6 (кг). В сухих грушах сухой остаток составляет 100% — 20% = 80%. 5,6 кг сухого остатка будет в 5,6:0,8 = 7 кг сухих фруктов.

Задача 4 . Хранили 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получилось в результате?

Решение: На первый взгляд, кажется, что вес ягод мало изменился, но это только на первый взгляд! Вес сухого «вещества» в ягодах составлял 100-99=1(%), или 20·0,01=0,2(кг). После сушки его вес составляет 100-98=2(%) от нового веса ягод. Найдём новый вес ягод: 0,2:0,02=10(кг).

Ответ: после сушки вес ягод уменьшился в два раза.

Задача 5 . Сколько килограммов белых грибов надо собрать для получения 1 килограмма сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение: 1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.

10 кг : 0,05 = 20 Ответ: 20 кг.

Из 25 килограммов свежих яблок получили 4 килограмма

сушёных. На сколько процентов уменьшилась масса яблок при сушке?

Фасоль содержит 23% белка, 55% крахмала и 1,8% жиров. Сколько килограммов белка, крахмала и жиров содержится в 15 килограммах фасоли?

Влажность свежих грибов 99%, сушеных – 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?

Из молока получается 10% творога. Сколько творога получают из 40 кг молока?

Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?

Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие – 12% воды. Сколько килограммов сухофруктов получится из 40 килограммов свежих фруктов?

В траве влага составляет 70 % от общей массы, а в сене – 10% от общей массы. Сколько нужно взять травы, чтобы заготовить 1000 кг сена?

Из молока получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла?

Из пшеницы получается 80% муки. Сколько муки получится из 200 кг пшеницы?

11.Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколько килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25% целлюлозы?

12.Свежая малина содержит 85% воды, а сухая – 20%. Найдите массу сухой малины, если свежая была 36 кг.

13. Сухие фрукты содержат 20% воды, а свежие – 72% воды. Найдите массу свежих фруктов, чтобы получить 7 кг сухих.

14. Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15%. При первоначальной влажности на складе было 51т. зерна. После просушивания масса зерна стала равна:

15. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Каков процент примесей в руде?(Ответ: 53%)

16. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

17. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах?

1) 84%; 2) 3,45 кг белка, 8,25 кг крахмала, 0,27 кг жира;

3) уменьшился в 2 раза; 4) 4 кг; 5) 10 кг; 6) 6,25 кг; 7) 10 кг;

8) 3000 кг; 9) 12500 кг; 10) 160 кг.11) 200кг ;12) 6,75 кг 13) 20кг 14) 48т 15) 53%) 16) 15 тонн 17) 90%)

Алешковский, И.А. Математика в экономике. Экономико-математические задачи на проценты и доли/ И.А. Алешковский 3-е изд., испр. и перераб. — М.: «МАКС Пресс», 2006. – 80 с.

Катасонов, В.Ю. О проценте: ссудном, подсудном, безрассудном. Хрестоматия современных проблем «денежной цивилизации» / В.Ю Катасонов. – М: «НИИ школьных технологий», 2011. – 304 с.

Морошкин, В.А. Практикум по процентами / В.А. Морошкин. — М.: 2005. – 78 с.

Прокопенко, Н. И. Задачи на смеси и сплавы / Н.И. Прокопенко.- М.: Чистые пруды, 2010. – 215 с.