Составление и решение задач с помощью линейных уравнений в 7-м классе
Разделы: Математика
Основная цель: учить составлять уравнения к задаче.
В ходе урока учащиеся смогут:
- находить связи между данными в задаче;
- использовать виды сравнения при составлении задач;
- решать линейные уравнения;
- составлять уравнения по тексту задачи;
- составлять задачу по схеме;
- составлять задачи к данному уравнению;
- оценить результат своей работы и результат работы групп;
- работать в группе.
Этапы урока:
- Обзор
- Мотивация
- Составление и решение задач
- Применение. Работа в группе
- Обмен информацией
- Рефлексия
- Итог урока
- Домашнее задание
Материалы к уроку:
- Таблички с формулами: S = v · t, А = N · t, Д = N · t, С = Ц · К.
- Листы бумаги с незаполненными таблицами.
- Карточки для работы в группах.
- Ватман, фломастеры.
Ход урока
I. Обзор
— Даны два числа: 30 и 12.
— Свяжите между собой два числа: 30 и 12. (Учащиеся, используя виды сравнений, связывают эти числа различными действиями).
1) (Сумма): 30 + 12 = 42
2) (Разностное сравнение): 30 – 12 = 18
3) (Кратное сравнение): 30: 12 = 2,5 (раз)
4) (Нахождение дроби от числа): |
5) (Нахождение процентов от числа): | • 100% = 40% |
— Сформулируйте вопрос к каждому действию.
(Ответы учащихся:
— Чему равна сумма чисел 30 и 12?
— На сколько одно число больше (меньше) другого?
— Во сколько раз одно число больше другого?
— Какую часть составляет одно число от другого?
— Сколько процентов составляет одно число от другого?)
В ходе обсуждения повторяются так же правила нахождения дроби от числа, процента от числа.
II. Мотивация
Учитель: Итак, используя эти два числа 30 и 12, мы составим задачи. Ещё Джанни Родари говорил, что чтобы научиться думать, надо научиться придумывать. Эти слова можно перефразировать так: «Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться их составлять».
— Как составлять задачи? Как авторы учебников составляют задачи?
Вот этому мы сегодня будем учиться.
— Представим себе: утро, вы собираетесь и идёте в школу (проходите какое – то расстояние S), далее, вы идете в школу, родители – на работу (выполняете какую – то работу Р). Для чего работать? Заработать деньги (Д – деньги). Для чего нужны деньги? Чтобы покупать в магазине товар (С – стоимость).
На доске появляется такая схема:
III. Составление задач и решение задач вместе с учителем
— Начнем с задач на стоимость.
— Cоставим задачу, извлекая данные из таблицы:
Величины | Цена, р. | Кол-во, кг | Стоимость, р. |
---|---|---|---|
I яблоки | 30 | 2 | 60 |
II груши | 120 | 3 | 360 |
На 1 | Всего: 420 |
(В таблице выделенные данные становятся неизвестными величинами, а невыделенные – известными).
Дети составляют задачу по схеме: 30; 120; на 1; 420.
Мама купила яблоки и груши на сумму 420 рублей. Сколько килограммов яблок купила мама, если яблоки стоят 30 рублей за килограмм, а груши – 120 рублей?
(можно задать еще 3 вопроса к этой задаче по числу выделенных чисел).
(учащиеся рассуждая, заполняют пустые клетки таблицы)
Величины | Цена, р. | Кол-во, кг | Стоимость, р. |
---|---|---|---|
I яблоки | 30 | х | 30х |
II груши | 120 | х + 1 | 120(х + 1) |
На 1 | Всего: 420 |
Пусть х(кг) купили яблок, тогда груш купили (х + 1)кг; 30х(р.) уплатили за яблоки и 120(х + 1)р. уплатили за груши.
Зная, что за всю покупку уплатили 420 рублей, составим и решим уравнение: 30х + 120(х + 1) = 420 .
30х + 120х + 120 = 420
150х + 120 = 420
150х = 420 — 120
150х = 300
х = 300 : 150
х = 2.
Итак, 2кг яблок купила мама.
(проверим ответ, сверяя с данными таблицы № 1).
Ответ: мама купила 2кг яблок.
— Составим еще 2 уравнения к этой задаче.
— Сформулируйте вопрос на нахождение количества купленных груш.
Сколько килограммов груш купила мама?
Величины | Цена, р. | Кол-во, кг | Стоимость, р. |
---|---|---|---|
I яблоки | 30 | у — 1 | 30(у — 1) |
II груши | 120 | у | 120у |
На 1 | Всего: 420 |
Пусть у (кг) груш купила мама, тогда (у — 1)кг купили яблок. 30(у — 1)р. — она уплатила за яблоки; 120у (р.) – мама уплатила за груши.
По условию задачи известно, что за всю покупку мама уплатила 420 рублей.
Составим и решим второе уравнение: 30(у — 1) + 120у = 420 .
30у — 30 + 120у = 420
150у = 420 + 30
150у = 450
у = 3.
Итак, 3кг яблок купила мама.
(Сверяем полученный результат с данными в таблице № 1).
Ответ: мама купила 3кг яблок.
— Сформулируйте вопрос на нахождение стоимости яблок.
Сколько денег мама уплатила за яблоки?
Величины | Цена, р. | Кол-во, кг | Стоимость, р. |
---|---|---|---|
I яблоки | 30 | z / 30 | z |
II груши | 120 | (z / 30) + 1 | 120 · ((z / 30) + 1) |
На 1 | Всего: 420 |
Составим и решим уравнение: z + 120((z / 30) + 1) = 420 .
z + 120(z / 30) + 120 = 420
z + 4z + 120 = 420
5z = 420 — 120
5z = 300
z = 60.
Итак, 60 рублей мама уплатила за яблоки.
(проверим ответ, сверяя с данными таблицы № 1). Получилось!
Ответ: 60 рублей мама уплатила за яблоки.
— Сформулируйте четвертый вопрос.
Сколько денег мама уплатила за груши?
Величины | Цена, р. | Кол-во, кг | Стоимость, р. |
---|---|---|---|
I яблоки | 30 | (a / 120) — 1 | 30((a / 120) — 1) |
II груши | 120 | a / 120 | а |
На 1 | Всего: 420 |
Составим и решим уравнение: 30((a / 120) — 1) + а = 420 .
30a / 120 — 30 + а = 420
a / 4 — 30 + а = 420
5a / 4 — 30 = 420
5a / 4 = 420 + 30
5a / 4 = 450
a = 360.
Итак, за груши мама уплатила 360 рублей.
(проверим ответ, сверяя с данными таблицы № 1). Получилось!
Ответ: 360 рублей мама уплатила за груши.
— К составленным четырем уравнениям придумайте задачи на движение, работу.
(Заслушиваются составленные задачи, в ходе обсуждения корректируется текст задач).
IV. Применение (Работа в группах)
(Формируется 6 групп по 4 человека в каждой группе. Задачи предлагаются на разные темы).
Задание группе №1
А) Решить задачу, заполняя таблицу:
У кассира набралось монет достоинством в 50, 20 и 10 р. всего на сумму 1600 рублей. Определить, сколько было монет каждого достоинства, если число 20-рублевых монет было на 10 меньше, чем 50-рублевых, а число 10-рублевых монет было в 2 раза больше, чем 50-рублевых.
Величины | N — достоинство | К — кол-во, шт. | Д — деньги, р. |
---|---|---|---|
I монеты по 50 р. | 50 | ||
II монеты по 20 р. | 20 | ||
III монеты по 10р. | 10 | ||
На 10; в 2 раза | Всего: 1600 |
Б) Составить задачу про монеты 20, 10, 5 р. Рассказать условие задачи по её уравнению
5х + 3·(х + 40) + 2·(х + 40)·3 = 4800.
В) Проверить тождество 50·3 + 20·(3 + 5) + 10(3·5) = 460.
Заменить в тождестве число 3 всюду буквой в. Составить задачу и решить её.
Задание группе № 2
А) Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Когда длину прямоугольника увеличили на 3м, а ширину оставили той же самой, то площадь прямоугольника увеличилась на 36м 2 . Найти первоначальные размеры прямоугольника. (Изобразить условие на рисунке).
Б) Составить и решить задачу про площади двух прямоугольников на основе уравнения
(х + 12)2х — х·2х = 48.
В) Составить и решить аналогичную задачу на основе тождества
(20 + 5)·4·20 — 20·(4·20) = 400.
Проверить тождество. Всюду в нем заменить число 20 буквой у.
Задание группе № 3
А) Решить задачу, заполняя таблицу:
Величины | v – скорость, км/ч | t – время, ч | S – расстояние, км |
---|---|---|---|
I | |||
II |
По круговой дорожке, длина которой 360м, движутся навстречу друг другу два конькобежца. Скорость первого конькобежца на 2м/с больше скорости второго. Определить скорости конькобежцев, если они встречаются через каждые 90с.
Б) Рассказать и решить задачу на основе следующего уравнения:
30х + 30(х — 2) = 240.
В) Составить и решить задачу на основе числового тождества
20·8 + 20(8 – 3) = 260. Всюду в тождестве заменить число 8 буквой а.
Задание группе № 4
А) Решите задачу:
Во дворе бегают куры и поросята, причем число голов равно 19, а число ног 54. Сколько кур и сколько поросят?
Б) Составить и решить похожую задачу к следующему уравнению:
4в + 2·(10 – в) = 38.
В) Составить задачу про число вершин 15 различных многоугольников (из них 8 квадратов, а остальные – треугольники) на основе тождества
4·8 + 3(15 – 8) = 53. Заменить в тождестве число 8 буквой у. Рассказать условие задачи. Решить задачу.
Задание группе № 5
А) Мастер изготовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6 часов, мастер – 8 часов, и вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовлял ученик?
Б) Рассказать и решить аналогичную задачу на основе следующего уравнения:
30х + 30(х — 2) = 240.
В) Составить и решить задачу на основе числового тождества
20·8 + 20(8 – 3) = 260. Всюду в тождестве заменить число 8 буквой а.
Задание группе № 6
А) Решить задачу, заполняя таблицу:
Величины | V – скорость, км/ч | t – время, ч | S – расстояние, км |
---|---|---|---|
I | |||
II. |
Фермер ехал от села до станции на велосипеде со скоростью 15км/ч, а от станции до города поездом со скоростью 50км/ч. Весь путь он проехал за 5ч. Сколько часов он ехал на велосипеде и сколько поездом, если поездом он проехал расстояние, на 55км большее, чем на велосипеде?
Б) Составить и решить задачу на основе следующего уравнения:
12к — 4·(6 – к) = 8.
В) Составить и решить задачу на основе тождества:
6·80 — 5·(100 – 80) = 380.
Проверить это равенство. Заменить в нем число 80 буквой х. Рассказать условие составленной задачи.
V. Обмен информацией
Группы представляют результаты своей работы: зачитывают задачи, показывают решение и схемы, определяют вид задачи, отвечают на вопросы, которые возникли у учащихся.
VI. Рефлексия
Учащиеся оценивают свою работу на уроке, оценивают ответы учащихся, что получилось, чему ещё надо научиться.
VII. Итог урока
VIII. Домашнее задание
1) Составить уравнение на основе тождества, заменив в нем число 30 буквой k:
2) Составить задачу к полученному уравнению.
Итак, в ходе урока учащиеся продемонстрируют умение:
- определять вид текстовой задачи;
- устанавливать связи между компонентами задачи;
- находить способ решения, соответствующий условию задачи;
- составлять символические схемы и таблицы;
- составлять уравнение к задаче;
- составлять задачи по заданному уравнению.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Решение задач с помощью линейных уравнений
Перечень рассматриваемых вопросов:
• Решение линейных уравнений.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Выражение – это совокупность чисел и букв, соединенных между собой различными знаками.
Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.
Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.
Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Выражение – это совокупность чисел и букв, соединенных между собой различными знаками.
Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Мы уже рассматривали примеры функциональных зависимостей между величинами как математические модели реальных процессов. Теперь рассмотрим текстовые задачи, математическими моделями которых являются линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.
Решить задачу можно с помощью системы уравнений, а можно с помощью одного уравнения. Рассмотрим на примере задачи.
Из города А в город В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 54 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
При решения текстовых задач эффективно построение схем и составление таблиц.
Используя сравнение скоростей, указанное в задаче, и обозначая скорость первого автомобиля икс, запишем скорость второго автомобиля на протяжении всего пути:
Скорость первого автомобиля: x, скорость второго автомобиля: x – 15x – 15/
Теперь заполним вспомогательную таблицу.
Условие, что автомобили прибыли в пункт назначения одновременно, используем для составления уравнения. Выражаем время первого автомобиля, которое он затратил на весь путь, через x.
Время первого автомобиля:
Время второго автомобиля:
Сократим на S ≠ 0 и умножим на 2.
Умножим обе части на 90x(x – 15), получим:
Решением уравнения будут корни:
Условию уравнения удовлетворяет только x = 60
Ответ: 60 км/ч – скорость первого автомобиля.
Составим алгоритм решения текстовых задач при помощи уравнений.
Решать задачу с помощью уравнения следует в такой последовательности:
1) обозначить переменной одну из неизвестных величин;
2) другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную;
3) по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;
4) решить полученное уравнение;
5) проанализировать решение уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значения остальных неизвестных величин;
6) записать ответ к задаче.
Решите задачу двумя способами.
В первый день со склада было отпущено 20% имевшихся груш. Во второй день 180% от того количества груш, которое было отпущено в первый день. В третий день ‑ оставшиеся 88 кг. Сколько кг груш было на складе первоначально?
Разберем 2 способа решения этой задачи.
Для первого способа составим вспомогательную таблицу:
Значит, первоначально было 200 кг груш.
Составим вспомогательную аблицу:
Ответ: 200 кг груш.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Задание 1. Запишите выражение для нахождения цены 1 кг сахара (в руб.), если n тонн сахара стоят m рублей.
Для решения задачи, вспомним, сколько килограммов содержится в одной тонне:
Так как стоимость n тонн сахара = m рублей, то, чтобы найти, сколько стоит 1 кг сахара, нужно стоимость разделить на количество:
Цена персиков на 30 р. выше, чем цена абрикосов. Для консервирования компота купили 5 кг персиков и 7 кг абрикосов. По какой цене покупали фрукты, если вся покупка обошлась 850 рублей?
Пусть цена абрикосов – x рублей. Тогда x + 20x + 20 – цена персиков.
Всего купили персиков: 5(x + 30) и абрикосов 7x.
Так как на всю покупку затратили 850 руб., имеем выражение:
5(x + 30) + 7x = 850
Раскроем скобки: 5x + 150 + 7x = 850
Перенесем слагаемые, не содержащие переменной, в правую часть, меняя знак на противоположный:
Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения
Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения:
- Проанализировать условие задачи, обозначить неизвестное буквой и составить уравнение.
- Решить полученное уравнение.
- Истолковать результат в соответствии с условием задачи.
Задачи с решениями
Задача 1. Одна сторона треугольника в два раза больше другой и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 43 см.
Пусть сторона AB=x.
Периметр треугольника: P = AB+AC+BC = x+2x+(2x+3) = 43
$$5x+3 = 43 \iff 5x = 40 \iff x = 40:5 = 8$$
AB = x = 8 см, AC = 2x = 16 см, BC = 2x+3 = 19 см
Ответ: 8 см, 16 см и 19 см
Задача 2. Расстояние между двумя станциями поезд может пройти со скоростью 70 км/ч на полчаса быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Найдите это расстояние.
Пусть x – расстояние между станциями.
По условию разность затраченного времени:
Решаем: $ \frac
Расстояние между станциями 210 км
Задача 3. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, но выполнила работу за 4 дня, т.к. изготавливала каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада?
Пусть x — количество изготовленных деталей.
Количество деталей в день, шт./дни
Количество дней, дни
По условию разность между количествами деталей в день:
Решаем: $ \frac
Бригада изготовила 240 деталей.
Ответ: 240 деталей
Задача 4. Сумма двух чисел равна 90. Если большее из них разделить на меньшее, то частное равно 3 и в остатке 6. Найдите эти числа.
Пусть x — меньшее число. Тогда большее равно 90-x. По условию: 90-x = 3x+6
$$ 90-6 = 3x+x \iff 4x = 84 \iff x = 21 $$
Меньшее число x = 21, большее число 90-x = 69.
Задача 5. Матери 37 лет, а дочери 13 лет. Когда дочь была или будет втрое младше матери? А вдвое?
Пусть x — число прошедших лет. Возраст матери станет 37+x, дочери 13+x.
$$ \frac<37+x> <13+x>= 3 \iff 37+x = 3(13+x) \iff 37+x = 39+3x \iff 37-39 = 3x-x \iff $$
$$ \iff 2x = -2 \iff x = -1 $$
Дочь была втрое младше матери 1 год тому назад.
$$ \frac<37+x> <13+x>= 2 \iff 37+x = 2(13+x) \iff 37+x = 26+2x \iff 37-26 = 2x-x \iff $$
Дочь будет вдвое младше матери через 11 лет.
Ответ: год назад; через 11 лет
Задача 6. Сколько лет отцу и сыну, еcли в позапрошлом году сын был младше в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза?
Пусть x — возраст сына в этом году.
Возраст сына, лет
Возраст отца, лет
И для отца, и для сына пройдёт три года:
$$ 4(x+1)-5(x-2) = 3 \iff 4x+4-5x+10 = 3 \iff 4x-5x = 3-14 \iff -x = -11 $$ $$ x = 11 $$
Сейчас сыну 11 лет.
В следующем году отцу будет 4(x+1)=4∙12=48 лет. Значит, сейчас отцу 47 лет.
Ответ: 11 лет и 47 лет.
Задача 7. Сумма цифр данного двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится двузначное число на 9 больше данного. Найдите данное число.
Пусть x — первая цифра данного числа, число десятков.
По условию разность чисел:
$$ (70-10x+x)-(10x+7-x) = 9 \iff 70-9x-9x-7 = 9 \iff $$ $$ \iff -18x = 9-63 \iff -18x = -54 \iff x = 3 $$
Первая цифра x = 3, вторая цифра 7-x = 4.
Данное число 34.
Задача 8. По расписанию автобус должен ехать от посёлка до станции со скоростью 32 км/ч и приезжать на станцию за полчаса до отхода поезда. Но из-за ненастной погоды автобус ехал со скоростью на 7 км/ч меньше и опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от посёлка до станции?
Пусть x – расстояние от посёлка до станции.
Разность по времени между расписанием и фактическим прибытием:
30 мин+12 мин = 42 мин = $\frac<42><60>$ ч = 0,7 ч
$ \frac
$ 32x-25x = \frac<7> <10>\cdot 32 \cdot 25 = 7 \cdot 16 \cdot 5 $
$ 7x = 7 \cdot 16 \cdot 5 \iff x = 16 \cdot 5 = 80 $
Расстояние 80 км.
Задача 9*. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то получится число в 54 раза больше исходного. Найдите исходное двузначное число.
Пусть x — исходное число.
Если приписать по 4 слева и справа, в полученном четырёхзначном числе первая 4 указывает на количество тысяч, число x — на количество десятков, последняя 4 – на количество единиц. Соотношение чисел:
Решаем: $ 4004+10x = 54x \iff 4004=44x \iff x = \frac<4004> <44>= \frac<1001> <11>= 91 $
Исходное число x = 91.
Задача 10. Для проведения экзамена закуплены тетради. Если их сложить в пачки по 45 штук, останется одна лишняя тетрадь, а если сложить в пачки по 50 штук, то в одной пачке не будет хватать 4 тетради. Сколько тетрадей было куплено, если пачек по 45 тетрадей получается на одну больше, чем пачек по 50 тетрадей?
http://resh.edu.ru/subject/lesson/7274/conspect/
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-linejnyh-uravnenij-s-odnoj-peremennoj/