Задачи на построение графика линейного уравнения

График линейной функции, его свойства и формулы

О чем эта статья:

Понятие функции

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

Понятие линейной функции

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Подбор заданий для самостоятельной работы в 7 классе по теме «Линейная функция и ее график»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Линейная функция и ее график Вариант 1

Функция задана формулой . Найдите:

а) значение у при х = -2 ; б) значение х , при котором у = 6 ; в) принадлежит ли точка М(-4; 7) графику этой функции?

Постройте график функции, заданной формулой .

Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой . Найдите по графику: а) значение у при . б) значение х , при котором .

Линейная функция и ее график Вариант 2

Функция задана формулой . Найдите: а) значение у при х = -3 ; б) значение х , при котором у = 8 ; в) принадлежит ли точка М(3; -1) графику этой функции?

Постройте график функции, заданной формулой .

Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой . Найдите по графику: а) значение у , при . б) значение х , при котором .

Линейная функция и ее график Вариант 1

1.Функция задана формулой . Найдите:

а) значение у при х = -2 ; б) значение х , при котором у = 6 ; в) принадлежит ли точка М(-4; 7) графику этой функции?

2. Постройте график функции, заданной формулой .

3. Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой . Найдите по графику: а) значение у при . б) значение х , при котором .

Линейная функция и ее график Вариант 2

1.Функция задана формулой . Найдите: а) значение у при х = -3 ; б) значение х , при котором у = 8 ; в) принадлежит ли точка М(3; -1) графику этой функции?

2. Постройте график функции, заданной формулой .

3. Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой . Найдите по графику: а) значение у , при . б) значение х , при котором .

График линейного уравнения с двумя переменными
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

План — конспект урока с презентацией. Урок формирования умений и навыков

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Саратовский институт повышения квалификации

и переподготовки работников образования

Кафедра математического образования

График линейного уравнения

с двумя переменными

слушателя курсов повышения квалификации

по ДПОП «Школьное математическое образование: организационные,

содержательные и методические аспекты развития»

учителя математики МОУ «СОШ с. Брыковка

Духовницкого района Саратовской области»

Шабановой Татьяны Александровны

Модель урока математики.

Учебный план 5 часов в неделю

Тема: График линейного уравнения с двумя переменными.

УМК: алгебра 7 класс, под редакцией С.А. Теляковского

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Характеристика класса: в классе 5 обучающихся, из них учебный настрой, мотивация на учебную деятельность, интерес к предмету прослеживается у всех обучающихся.

Успеваемость и качество знаний — 100%.

Цели урока : выработать у обучающихся умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные;

развивать познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление; воспитание познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе.

Этапы урока и их содержание

I. Организационный этап.

Проверка готовности обучающихся к уроку (наличие учебных принадлежностей)

Обучающиеся проверяют свою готовность к уроку.

Записывают число в тетрадях.

II. Постановка цели

Сообщает цель урока

III. Проверка домашнего задания

Проверка домашнего задания, используя слайды презентации.

Сообщают о выполнении домашнего задания. Проверяют правильность его выполнения.

IV. Выполнение упражнений

Демонстрирует слайды с заданиями, задает вопросы. Оказывает помощь при необходимости. Оценивает качество и правильность выполнения решения. Следит за речью обучающихся.

Выполняют решение на доске с подробным объяснением. Записывают в тетрадь, отвечают на вопросы учителя.

V. Контроль сформированности умений и навыков

Инструктаж по выполнению работы.

С помощью мультимедийного проектора осуществляет проверку.

Выполняют задания самостоятельной работы.

Выполняют проверку с экрана.

VI. Домашнее задание

Сообщает домашнее задание. Отвечает на вопросы обучающихся.

Изучают содержание домашнего задания, задают вопросы по его выполнению. Записывают его в дневники.

VII. Подведение итогов урока

Предлагает сделать анализ своей работы на уроке. Задает вопросы.

Обсуждают свою работу на уроке, высказывают свое мнение о своих достижениях на уроке.

Здравствуйте, ребята! Я предлагаю всем улыбнуться друг другу, чтобы наше настроение на уроке было отличным. Садитесь. Откройте тетради и запишите число и классную работу.

Сегодня на уроке мы будем строить графики линейного уравнения с двумя переменными,

решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные.

Постарайтесь быть настойчивыми и целеустремленными при выполнении заданий.

1. Проверка домашнего задания .

Разбор нерешенных заданий (если они имеются).

1045(б,в) точки В и С не принадлежат графику уравнения.

1048 (б,д,е) (слайд 2, 3,4)

1) Из предложенных уравнений выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

Дополнительный вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным?

Ответ: ах + ву + с = 0

2) Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 2х + 5у = 12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

Дополнительный вопрос: Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

3) Найдите абсциссу точки Р(х; -2), принадлежащей графику уравнения 12х – 9у = 30.

Дополнительный вопрос: Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Работа у доски и в тетрадях.

1) Постройте график функции 3х + у – 7 = 0.

(1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

Ответ обучающегося: выясним, что представляет собой график данного уравнения. Выразим переменную у через х: у = — 3х + 7. Формулой у = — 3х + 7 задается линейная функция, графиком которой является прямая. Так как уравнения 3х + у – 7 = 0 и

у = — 3х + 7 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х + у – 7 = 0. прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух точек прямой: если х = 0, то у = 7; если х = 2, то у = 1. Отметим точки (0;7) и (2;1) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая и есть график функции 3х + у – 7 = 0.

2) Постройте график функции 2х – 5у + 1 = 0.

Ответ обучающегося аналогичен предыдущему.

3) Найдите значение коэффициентов а и с в уравнении ах – 3у +с = 0, если известно, что

каждая из пар чисел (-3;0) и (0;2) является решением уравнения.

(1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

Ответ обучающегося: Если пары чисел являются решением уравнения, то они обращают

это уравнение в верное равенство. Следовательно а(-3) — 3·0 + с = 0 и а·0 — 3·2 + с = 0

решим данные уравнения

-3а + с =0 -6 + с = 0

а = 2 Ответ: а = 2, с = 6.

4) Решение задачи с помощью математической модели.

Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

(задачу решает у доски обучающийся с необходимыми комментариями учителя)
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х.

Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде:
5х-2у = 0. (1)
Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на своем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зx яблонь. Петров увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у= 16.

Перепишем это уравнение в виде
3x + 2у — 16 = 0. (2)
Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными х и у — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку:

Второй этап. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Для этого построим прямую (1), затем прямую (2) и найдем точку пересечения этих прямых.

1) строим график уравнения 5х — 2у = 0. Если х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 0) и (2; 5) прямую I.

2) строим график уравнения Зx + 2у — 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 8) и (2; 5) прямую II.
3) прямые 1 и 2 пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у?

Ответ: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.

(с последующей проверкой слайд 9, проверка 10-14 )

1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у — 1 =0?

2. Постройте график функции 2х + у = 4.

3. Найдите точку пересечения двух прямых х – у =1 и х + 3у = 9.

1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у — 1 =0?
2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.
3. Найдите точку пересечения двух прямых х – 2у = 6 и 3х + 2у = -6.

№1049 (а,б) построить графики уравнения аналогично заданиям на уроке.

№ 1051 (для решения задания нужно выразить переменную у через х и найти ее значение.)

Решить задачу, составив математическую модель, выделив три этапа.

Разность двух чисел равна 3, а уменьшаемое больше вычитаемого в 4 раза. Найдите эти числа.

Ребята, я предлагаю вам сделать анализ своей работы на уроке. Для этого ответьте на вопросы:

Какую цель мы ставили для себя в начале урока?