Задачи на проценты составление уравнения

Как решать задачи с процентами

О чем эта статья:

Основные определения

Когда мы сравниваем разные части целого, мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Это удобно: отрезать половину пирога, пройти треть пути, закончить первую четверть в школе.

Чтобы сравнивать сотые доли, придумали процент (1/100): с латинского языка — «за сто».

Процент — это одна сотая часть от любого числа. Обозначается вот так: %.

Как перевести проценты в десятичную дробь? Нужно убрать знак % и разделить число на 100. Например, 18% — это 18 : 100 = 0,18.

А если нужно перевести десятичную дробь в проценты — умножаем дробь на 100 и добавляем знак %. Например:

Выразить дробь в процентах просто. Для перевода сначала превратим ее в десятичную дробь, а потом используем предыдущее правило и переведем десятичную дробь в проценты:

Типы задач на проценты

В 5, 6, 7, 8, 9 классах в задачках по математике на проценты сравнивают части одного целого, определяют долю части от целого, ищут целое по части. Давайте рассмотрим все виды задач на проценты.

Тип 1. Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. За месяц на заводе изготовили 500 стульев. 20% изготовленных стульев не прошли контроль качества. Сколько стульев не прошло контроль качества?

Как решаем: нужно найти 20% от общего количества изготовленных стульев (500).

Ответ: из общего количества изготовленных стульев контроль не прошли 100 штук.

Тип 2. Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Задачи по поиску процента по числу и числа по его проценту очень похожи. Чтобы не перепутать — внимательно читаем условия, иначе зайдем в тупик или решим неправильно. Если в задании есть слова «который», «что составляет» и «который составляет» — перед нами задача по нахождению числа по его проценту.

Задача. Школьник решил 40 задач из учебника. Что составляет 16% числа всех задач в книге. Сколько всего задач собрано в этом учебнике?

Как решаем: мы не знаем, сколько всего задач в учебнике. Но нам известно, что 40 задач составляют 16% от общего количества. Запишем 16% в виде дроби: 0,16. Далее известную нам часть целого разделим на ту долю, которую она составляет от всего целого.

40 : 0,16 = 40 · 100 : 16 = 250

Ответ: 250 задач собрано в этом учебнике.

Тип 3. Нахождение процентного отношения двух чисел

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100%.

Задача. В классе учится 25 человек. 10 из них — девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Как решаем: поделим 10 на 25, полученную дробь переведем в проценты.

10/25 * 100% = 2/5 * 100% = 2 * 100/5 = 40%

Ответ: в классе 40% девочек.

Тип 4. Увеличение числа на процент

Чтобы увеличить число на некоторое количество процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов от данного числа, и сложить его с данным числом.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 + с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом месяце стикерпак стоил 110 рублей. А в этом месяце на 12% больше. Сколько стоит стикерпак?

Как решаем: можно найти 12% от 110:

Прибавить к исходному числу:

110 + 13,2 = 123,2 рубля.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

110 · (1 + 12 : 100) = 110 · 1,12 = 123,2.

Ответ: стоимость стикерпака в этом месяце — 123 рубля 20 копеек.

Тип 5. Уменьшение числа на процент

Чтобы уменьшить число на несколько процентов, можно найти число, которое выражает нужное количество процентов данного числа, и вычесть его от данного числа.

А можно воспользоваться формулой:

a = b · (1 − с : 100),

где a — число, которое нужно найти,

b — первоначальное значение,

c — проценты.

Задача. В прошлом году школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?

Как решаем: можно найти 25% от 100:

Вычесть из исходного числа 100 − 25 = 75 человек.

Или можно воспользоваться формулой, тогда:

100 · (1 − 25 : 100) = 75/p>

Ответ: 75 выпускников в этом году.

Тип 6. Задачи на простые проценты

Простые проценты — метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада или долга.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + у · х : 100),

где a — исходная сумма,

S — сумма, которая наращивается,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Марии срочно понадобились деньги и она взяла на один год в долг 70 000 рублей под 8% ежемесячно. Сколько денег она вернет через год?

Как решаем: подставим в формулу данные из условий задачи.

70 000 · (1 + 12 · 8 : 100) = 137 200

Ответ: 137 200 рублей вернет Мария через год.

Тип 7. Задачи на сложные проценты

Сложные проценты — это метод расчета процентов, когда проценты прибыли прибавляют к сумме на остатке каждый месяц. В следующий раз проценты начисляют на эту новую сумму.

Формула расчета выглядит так:

S = а · (1 + х : 100) y ,

где S — наращиваемая сумма,

a — исходная,

x — процентная ставка,

y — количество периодов начисления процента.

Задача. Антон хочет оформить вклад 10 000 рублей на 5 лет в банке, который дает 10% годовых. Какую сумму снимет Антон через 5 лет хранения денег в этом банке?

Как решаем: просто подставим в формулу данные из условий задачи:

10000 · (1 + 10 : 100)3 = 13 310

Ответ: 13 310 рублей снимет Антон через год.

Курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы. Вводный урок — бесплатно!

Есть случаи, когда найти процент от числа проще, если представить проценты в виде простых дробей. В таком случае будем искать часть числа.

• 10% — десятая часть целого. Чтобы найти десять %, понадобится известное разделить на 10.
• 20% — пятая часть целого. Чтобы вычислить двадцать % от известного, его нужно разделить на 5.
• 25% — четверть целого. Чтобы вычислить двадцать пять %, понадобится известное разделить на 4.
• 50% — половина целого. Чтобы вычислить половину, нужно известное разделить на 2.
• 75% — три четверти целого. Чтобы вычислить семьдесят пять %, нужно известное значение разделить на 4 и умножить на 3.

Задача для тренировки. В черную пятницу вы нашли отличный пиджак со скидкой 25%. В обычный день он стоит 8500 рублей, но сейчас с собой есть только 6400 рублей. Хватит ли средств для покупки?

Ответ: средств хватит, так как пиджак стоит 6375 рублей.

Задачи на проценты с решением

Как мы уже убедились, решать задачи на проценты совсем несложно. Для закрепления материала рассмотрим реальные примеры на проценты из учебников и несколько заданий для подготовки к ЕГЭ.

Задача 1. Организм взрослого человека на 70% состоит из воды. Какова масса воды в теле человека, который весит 76 кг?

Ответ: масса воды 53,2 кг

Задача 2. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной.

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения получим:

0,6х — 0,25 * 0,6x = 0,45x

После двух понижений изменение цены составит:

Так как величина 0,55x составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Задача 3. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. На сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто?

По условиям задачи стоимость четырех пар брюк — это 92% от стоимости пальто

Получается, что стоимость одной пары брюк — это 23% стоимости пальто.

Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто.

Ответ: пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 4. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

По условиям задачи общий доход семьи напрямую зависит от доходов мужа. Благодаря увеличению зарплаты общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз 67% от общего дохода.

Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 — это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход.

Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии — это 4% дохода, то вся стипендия — это 6%.

А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100 – 67 – 6 = 27.

Ответ: заработок жены составляет 27%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в сухофрукте кураге только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге в концентрированном виде — 95%.

Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества.

Значит, 19 килограммов питательного вещества в абрикосах — это 10% веса свежих абрикосов. Найдем число по проценту.

Ответ: 190 кг свежих абрикосов потребуется для изготовления 20 кг кураги.

Задачи на проценты с составлением уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на проценты.

Два рабочих могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если бы один первый выполнил 60% всей работы, а затем один второй _ оставшуюся часть работы, то они затратили 12 ч. Сколько времени нужно каждому, чтобы выполнить эту работу одному? 12 и 12 ч, 10 и 15 ч

Трактористы должны вспахать поле, площадь которого 240 га. За два дня работы они вспахали столько, что 80% вспаханной части в 2,5 раза меньше оставшейся. За сколько дней трактористы вспашут поле? 6 дн

На вступительных экзаменах по математике 15% поступающих не решили ни одной задачи, 144 человека решили задачи с ошибками, а число верно решивших все задачи относится к числу не решивших вовсе как 5/3. Сколько человек экзаменовалось в тот день? 240 ч

На заводе 35% всех рабочих – женщины, остальные – мужчины, которых на 252 человека больше, чем женщин. Определите число рабочих. 840 ч

Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15%, и, наконец, после перерасчета произвели снижение ещё на 10 %. На сколько процентов снизили первоначальную цену?

За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 2 руб. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15%, а второй подешевеет на 25%, то за такое количество этих продуктов будет заплачено 1 руб. 62 коп. Сколько стоит 1 кг каждого продукта? 8 коп, 1 руб 20 коп

Цена 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров второго тома составляет 405 руб. Однако, при 15% скидке на первый том и 10% скидке на второй том приходится платить всего 355 руб. 50коп. Определите цену каждого тома. 3 руб, 3 руб

В двух мешках находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5% муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках муки будет поровну. Сколько килограммов муки в каждом мешке? 80 и 60 кг

На некотором участке пути средняя скорость поезда была ниже на 20% той, чем предусмотрена расписанием. На сколько процентов увеличилось время прохождения этого участка? на 25%

Производительность труда в январе оказалась выше плановой на 5%, а в феврале снизилась на 5% по сравнению с январской. Сравните её с плановой. 99,75%

На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно увеличить на 40%, а другое уменьшить на 20%. 12%

Себестоимость продукции сначала повышалась на 10%, а затем понизилась на 20%. Насколько процентов понизилась себестоимость? 12%

При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплата суммой в 100 руб. обратилась в 125 руб. 44 коп. Определить на сколько процентов повышалась зарплата? 12%

Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%, за следующий год она увеличилась на 8%. Найдите средний ежегодный прирост продукции за этот период. (12(78)⅛+100) %

Цена товара была повышена на 25%. На сколько процентов её нужно снизить, чтобы получилась первоначальная цена? 20%

Из четырех данных чисел первые три относятся между собой как 1/5:1/3:1/20, а четвертое составляет 15% второго числа. Найти эти числа, если известно, что второе больше суммы остальных на 8 единиц. 48,80,12,12

В библиотеке имеются иностранные книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех иностранных книг, французские — 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько иностранных книг было в библиотеке? 500 кн

Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках зарплата выросла на 5%? на 20%

В январе завод выпустил 105% месячного плана, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план? на 7,1%

Найти три числа, если первое составляет 80% второго, второе относится к третьему как 0,5:9/20, а сумма первого и третьего на 70 больше второго. 80,100,90

Найти сумму трех чисел, зная, что третье относится к первому как 4,5:15/4 и составляет 40% второго, а сумма первого и второго равна 400. 520

Первое из неизвестных чисел составляет 140% второго, а отношение первого к третьему равно 14/11. Найти эти числа, если разность между третьим и вторым на 40 единиц меньше числа. составляющего 12,5% суммы первого и второго чисел. 280,200,220

Цену товара сначала снизили на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена? 55%

Предприятие во втором квартале увеличило выпуск товара на 20%, по сравнению с первым кварталом, а в третьем на 20% по сравнению со вторым. На сколько % увеличился выпуск товара в третьем квартале, по сравнению с первым? 44%

Товар А до уценки стоил в 1,4 раза дороже, чем товар В. Товар А уценён на 15%, а товары В на 30%. Во сколько раз А стал дороже В после уценки? в 1,5 раза

Зарплата рабочего была 200 руб. Её сначала повысили на 20%, затем понизили на 20%. Сколько стал получать рабочий? 192 руб

Сумма двух чисел равна 24. Найти меньшее из них, если 35% одного из них равны 85% другого? 7

Цена товара понижена на 20%. На сколько % её нужно повысить, чтобы получить исходную цену? на 25%

Завод увеличивал выпуск ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года выпуск продукции увеличился на 21%. 10%

Две шкурки ценного меха общей стоимистью в 225 руб были проданы на международном аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%? 90 и 135 руб

Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р%, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10% больше, ем за первый год. Определить на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 4859%. 17%

В течении года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и тоже число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий. 10%

Метод решения задач с процентами

Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами выводятся из пропорции

Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:

все — 100% часть — часть в %

которые можно записать в виде пропорции

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.

Примеры решения задач на проценты

30 соответствует 100% x соответствует 15%

решим полученное уравнение

Ответ: 15% от 30 равно 4.5.

20 соответствует 100% 35 соответствует x

решим полученное уравнение

Ответ: 35 составляет 175% от 20.

x соответствует 100% 20 соответствует 5%

решим полученное уравнение

Ответ: 400.

При изучении процентов вам также будут полезны:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.