Задачи на решение нелинейных уравнений

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt — \cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt=\frac<1>.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$

Численные методы: решение нелинейных уравнений

Задачи решения уравнений постоянно возникают на практике, например, в экономике, развивая бизнес, вы хотите узнать, когда прибыль достигнет определенного значения, в медицине при исследовании действия лекарственных препаратов, важно знать, когда концентрация вещества достигнет заданного уровня и т.д.

В задачах оптимизации часто необходимо определять точки, в которых производная функции обращается в 0, что является необходимым условием локального экстремума.

В статистике при построении оценок методом наименьших квадратов или методом максимального правдоподобия также приходится решать нелинейные уравнения и системы уравнений.

Итак, возникает целый класс задач, связанных с нахождением решений нелинейных уравнений, например, уравнения или уравнения и т.д.

В простейшем случае у нас имеется функция , заданная на отрезке ( a , b ) и принимающая определенные значения.

Каждому значению x из этого отрезка мы можем сопоставить число , это и есть функциональная зависимость, ключевое понятие математики.

Нам нужно найти такое значение при котором такие называются корнями функции

Визуально нам нужно определить точку пересечения графика функции с осью абсцисс.

Метод деления пополам

Простейшим методом нахождения корней уравнения является метод деления пополам или дихотомия.

Этот метод является интуитивно ясным и каждый действовал бы при решении задачи подобным образом.

Алгоритм состоит в следующем.

Предположим, мы нашли две точки и , такие что и имеют разные знаки, тогда между этими точками находится хотя бы один корень функции .

Поделим отрезок пополам и введем среднюю точку .

Тогда либо , либо .

Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок снова делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, достижения требуемой точности.

Очевидно, постепенно мы сузим область, где находится корень функции, а, следовательно, с определенной степенью точности определим его.

Заметьте, описанный алгоритм применим для любой непрерывной функции.

К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высокую надежность и простоту.

Недостатком метода является тот факт, что прежде чем начать его применение, необходимо найти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки. Очевидно, что метод неприменим для корней четной кратности и также не может быть обобщен на случай комплексных корней и на системы уравнений.

Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое, чем больше сделано итераций, тем точнее определен корень.

Метод Ньютона: теоретические основы

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если — некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке .

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

В уравнении касательной положим и .

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.

Запомните этот замечательный факт!

Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай.

Если корень является корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.

Упражнение 1. Найти с помощью метода касательных решение уравнения на отрезке (0, 2).

Упражнение 2. Найти с помощью метода касательных решение уравнения на отрезке (1, 3).

К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие , в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.

Недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления производных на каждом шаге.

Визуализация метода Ньютона

Метод Ньютона (метод касательных) применяется в том случае, если уравнение f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:

1) функция y= f(x) определена и непрерывна при ;

2) f(a)·f(b) 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим метод Ньютона на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2 -2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f ‘(x) = 2x > 0 и f »(x) = 2 > 0.

Уравнение касательной в общем виде имеет представление:

В нашем случае: y-y₀=2x₀·(x-x₀). В качестве точки x₀ выбираем точку B₁(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6.

Точка пересечения касательной и оси Ox: x₁ =

Рисунок 2. Результат первой итерации

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₁, получаем точку В₂ =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В₂, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₂.

Точка пересечения касательной и оси Ox: x₂ = .

Рисунок 3. Вторая итерация метода Ньютона

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку В₃ и так далее.

В3 = ()

Рисунок 4. Третий шаг метода касательных

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

=

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства |xi—xi-1|

using namespace std;

float f(double x) //возвращает значение функции f(x) = x^2-2

float df(float x) //возвращает значение производной

float d2f(float x) // значение второй производной

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

int exit = 0, i=0;//переменные для выхода и цикла

double x0,xn;// вычисляемые приближения для корня

double a, b, eps;// границы отрезка и необходимая точность

cin>>a>>b; // вводим границы отрезка, на котором будем искать корень

cin>>eps; // вводим нужную точность вычислений

if (a > b) // если пользователь перепутал границы отрезка, меняем их местами

if (f(a)*f(b)>0) // если знаки функции на краях отрезка одинаковые, то здесь нет корня

cout 0) x0 = a; // для выбора начальной точки проверяем f(x0)*d2f(x0)>0 ?

xn = x0-f(x0)/df(x0); // считаем первое приближение

cout eps) // пока не достигнем необходимой точности, будет продолжать вычислять

xn = x0-f(x0)/df(x0); // непосредственно формула Ньютона

> while (exit!=1); // пока пользователь не ввел exit = 1

Посмотрим, как это работает. Нажмем на зеленый треугольник в верхнем левом углу экрана, или же клавишу F5.

Если происходит ошибка компиляции «Ошибка error LNK1123: сбой при преобразовании в COFF: файл недопустим или поврежден», то это лечится либо установкой первого Service pack 1, либо в настройках проекта Свойства -> Компоновщик отключаем инкрементную компоновку.

Рис. 4. Решение ошибки компиляции проекта

Мы будем искать корни у функции f(x) = x2-2.

Сначала проверим работу приложения на «неправильных» входных данных. На отрезке [3; 5] нет корней, наша программа должна выдать сообщение об ошибке.

У нас появилось окно приложения:

Рис. 5. Ввод входных данных

Введем границы отрезка 3 и 5, и точность 0.05. Программа, как и надо, выдала сообщение об ошибке, что на данном отрезке корней нет.

Рис. 6. Ошибка «На этом отрезке корней нет!»

Выходить мы пока не собираемся, так что на сообщение «Exit?» вводим «0».

Теперь проверим работу приложения на корректных входных данных. Введем отрезок [0; 2] и точность 0.0001.

Рис. 7. Вычисление корня с необходимой точностью

Как мы видим, необходимая точность была достигнута уже на 4-ой итерации.

Чтобы выйти из приложения, введем «Exit?» => 1.

Метод секущих

Чтобы избежать вычисления производной, метод Ньютона можно упростить, заменив производную на приближенное значение, вычисленное по двум предыдущим точкам:

/

Итерационный процесс имеет вид:

где .

Это двухшаговый итерационный процесс, поскольку использует для нахождения последующего приближения два предыдущих.

Порядок сходимости метода секущих ниже, чем у метода касательных и равен в случае однократного корня .

Эта замечательная величина называется золотым сечением:

Убедимся в этом, считая для удобства, что .

Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

Отбрасывая остаточный член, получаем рекуррентное соотношение, решение которого естественно искать в виде .

После подстановки имеем: и

Для сходимости необходимо, чтобы было положительным, поэтому .

Поскольку знание производной не требуется, то при том же объёме вычислений в методе секущих (несмотря на меньший порядок сходимости) можно добиться большей точности, чем в методе касательных.

Отметим, что вблизи корня приходится делить на малое число, и это приводит к потере точности (особенно в случае кратных корней), поэтому, выбрав относительно малое , выполняют вычисления до выполнения и продолжают их пока модуль разности соседних приближений убывает.

Как только начнется рост, вычисления прекращают и последнюю итерацию не используют.

Такая процедура определения момента окончания итераций называется приемом Гарвика.

Метод парабол

Рассмотрим трехшаговый метод, в котором приближение определяется по трем предыдущим точкам , и .

Для этого заменим, аналогично методу секущих, функцию интерполяционной параболой проходящей через точки , и .

В форме Ньютона она имеет вид:

Точка определяется как тот из корней этого полинома, который ближе по модулю к точке .

Порядок сходимости метода парабол выше, чем у метода секущих, но ниже, чем у метода Ньютона.

Важным отличием от ранее рассмотренных методов, является то обстоятельство, что даже если вещественна при вещественных и стартовые приближения выбраны вещественными, метод парабол может привести к комплексному корню исходной задачи.

Этот метод очень удобен для поиска корней многочленов высокой степени.

Метод простых итераций

Задачу нахождения решений уравнений можно формулировать как задачу нахождения корней: , или как задачу нахождения неподвижной точки.

Пусть и — сжатие: (в частности, тот факт, что — сжатие, как легко видеть, означает, что).

По теореме Банаха существует и единственна неподвижная точка

Она может быть найдена как предел простой итерационной процедуры

где начальное приближение — произвольная точка промежутка .

Если функция дифференцируема, то удобным критерием сжатия является число . Действительно, по теореме Лагранжа

Таким образом, если производная меньше единицы, то является сжатием.

Условие существенно, ибо если, например, на [0,1] , то неподвижная точка отсутствует, хотя производная равна нулю. Скорость сходимости зависит от величины . Чем меньше , тем быстрее сходимость.

Рассмотрим уравнение: .

Если в качестве взять функцию , то соответствующая итерационная процедура будет иметь вид: . Как нетрудно убедиться, метод итераций в данном случае расходится при любой начальной точке , не совпадающей с собственно неподвижной точкой .

Однако можно в качестве можно взять, например, функцию . Соответствующая итерационная процедура имеет вид: .

Эти итерации сходятся к неподвижной точке для любого начального приближения :

Действительно, в первом случае , т.е. для выполнения условия необходимо чтобы , но тогда . Таким образом, отображение сжатием не является.

Рассмотрим , неподвижная точка та же самая, ситуация другая. Здесь, хотя формально производная может быть довольно большой (при малых ж), однако уже на следующем шаге она будет меньше 1.

т.е. такой итерационный процесс всегда сходится.

Метод Ньютона представляет собой частный случай метода простых итераций.

Здесь нетрудно убедиться, что при существует окрестность корня, в которой .

то если корень кратности , то в его окрестности и, следовательно,.

Если — простой корень, то сходимость метода касательных квадратичная (то есть порядок сходимости равен 2).

Поскольку , то

Таким образом, сходимость метода Ньютона очень быстрая.

Нахождение всех корней уравнения

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно.

Чтобы найти другие корни, можно было бы брать новые стартовые точки и применять метод вновь, но нет гарантии, что при этом итерации сойдутся к новому корню, а не к уже найденному, если вообще сойдутся.

Для поиска других корней используется метод удаления корней.

Пусть — корень функции , рассмотрим функцию. Точка будет являться корнем функции на единицу меньшей кратности, чем, при этом все остальные корни у функций и совпадают с учетом кратности.

Применяя тот или иной метод нахождения корней к функции , мы найдем новый корень (который может в случае кратных корней и совпадать с ). Далее можно рассмотреть функцию и искать корни у неё.

Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни с учетом кратности.

Заметим, что когда мы производим деление на тот или иной корень , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз.

Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Мы рассмотрели решение уравнений только в одномерном случае, нахождение решений многомерных уравнений существенно более трудная задача.

Моделирование динамических систем: решение нелинейных уравнений

Конечной целью математического моделирования в любой области знаний является получение количественных характеристик исследуемого объекта. Некоторые параметры пушки, стрельбу из которой мы моделировали в прошлый раз, были заданы в условии задачи: начальная скорость снаряда, его калибр и материал, из которого он изготовлен. Угол наклона ствола можно отнести к варьируемым параметрам: любое серьезное орудие допускает наводку, в том числе и в вертикальной плоскости.

На выходе мы получили траекторию полета снаряда, что дает нам ориентировочные представления о характеристиках орудия: при заданных параметрах мы получили дальность стрельбы чуть более 2,5 км и высоту подъема снаряда чуть выше 800 метров. Точнее мы сказать не можем, вернее можем, если с карандашиком по сетке определим координаты нужных точек на графике. Но это, как известно, не наш метод. Хорошо бы получить эти данные с точностью, обеспечиваемой используемыми нами инструментами и без ручного труда. Вот об этом мы сегодня и поговорим.

1. Постановка задачи

Итак, построенная в прошлый раз математическая модель позволяет нам, для любого момента времени, определить координаты и скорость снаряда. По сути мы получили функции, которые позволяют вычислить следующие параметры траектории:

как функции времени. Высота полета снаряда это y(t). Если мы определим в какой момент времени высота становится равна нулю, то есть решим уравнение

относительно времени, то мы найдем момент времени в который снаряд упал на землю. Координата и будет дальность полета снаряда.

Как найти максимальную высоту подъема снаряда? Из графика траектории видно, что по мере подъема снаряда его траектория становится всё более и более пологой, пока в экстремальной точке скорость на мгновение становится горизонтальной и дальше снаряд движется вниз.

Говоря языком математики, необходимо найти точку экстремума функции . А что надо для этого сделать? Приравнять к нулю её производную! В данном случае производную по времени, то есть решить уравнение

ведь производная от вертикальной координаты по времени есть вертикальная проекция скорости. Корень этого уравнения, есть момент времени, когда снаряд достигнет максимальной высоты. Соответственно, интересующая нас высота

Просто? Более чем.

2. Уравнение, которого нет

И вот тут котенка Гава, как известно, ждут неприятности. Начнем с того, что даже если уравнение задано в виде формулы (аналитически) не всегда удается найти его решение. Вот например

Как вам? Простенько, но попробуйте найти икс, используя всё то, чему вас учили в школе. То-то же…

Введем замену , тогда
\begin
&u \, e^ <2 — u>= 1 \\
&u \, e^ <-u>= e^ <-2>\\
&-u \, e^ <-u>= -e^ <-2>
\end
Пусть теперь , тогда

Теперь делаем финт ушами. Математики прошлого хорошо поработали за нас. Если задана функция вида

то обратная ей функция, называется W-функцией Ламберта.

Не в даваясь в теорию ФКП, в которой я мало смыслю, скажу, что число попадает в интервал в котором функция Ламберта многозначна, значит корня будет два

откуда, раскручивая назад все замены получаем ответ

Приближенно этот ужас равен

Решение такого уравнения придется искать численно, тем более что очевидно его графическое решение

В случае с моделью пушки всё несколько коварнее — наше уравнение задано даже не формулой. Оно задано, грубо говоря, таблицей значений фазовых координат, полученных для вполне конкретных параметров выстрела. У нас нет уравнения!

Ну так нам никто не мешает, чёрт возьми, это уравнение построить. Но, прежде чем начать писать скрипты, хочу извинится перед читателем, что ввёл его в заблуждение. В одном файле скрипта Octave можно размещать несколько функций, и имя файле на обязательно должно совпадать с именем функции. Достаточно, чтобы скрипт не начинался с определения функции.

Создадим новый скрипт в том же каталоге, где расположены файлы ballistics.m, f.m и f_air.m. Назовем его, например cannon.m. Для начала зададимся параметрами снаряда, начальной скоростью и направлением выстрела

А теперь напишем функцию, которая будет вычислять значения фазовых координат для произвольного момента времени

Обратите внимание, теперь в качестве моментов времени, передаваемых функции решения уравнения мы берем всего два значения: начальный момент времени (t = 0) и интересующий нас момент времени. Соответственно, переменная solv будет содержать два вектора фазовых координат: начальный и тот который нам нужен. Собираем все компоненты конечной точки фазовой траектории в вектор Y и возвращаем его значение из функции.

Теперь нам ничего не стоит определить зависимость высоты полета снаряда от времени

протестируем полученную функцию

При запуске скрипта на исполнение мы увидим в командном окне следующий вывод

Отлично, функция работает! Аналогично определим и функцию вычисления горизонтальной дальности

Видно, что для вычисления высоты и дальности мы каждый раз интегрируем уравнения движения, от начального до интересующего нас момента времени. Таким образом мы получили зависимость, не выражаемую конкретной формулой. Это довольно круто.

3. Принципы численного решения нелинейных уравнений

Методы численного решения нелинейных и трансцендентных уравнений заточены под решение уравнений вида

К такой форме легко привести любое уравнение. Например

где . Корни этого, эквивалентного уравнения, равны корням исходного. Если мы построим график функции f(x), то увидим такую картинку

корни уравнения это значения аргумента в тех точках, где график пересекает ось x.

Все методы численного решения таких уравнений включают в себя два этапа:

1. Поиск начального приближения корня
2. Уточнение корня с заданной погрешностью

Под начальным приближением понимают значение аргумента f(x), максимально близкое к корню, либо достаточно близкое, чтобы обеспечить сходимость метода за разумное количество итераций.

Простейшим методом является метод простых итераций. Для применения этого метода уравнение преобразуют к виду

и выполняю расчеты по рекуррентной формуле

В нашем примере

Посмотрим на график. У уравнения два корня. Найдем крайний левый корень, выбрав в качестве начального приближения

Ага, видно, что начиная с шестой итерации четвертый знак получающегося числа остается неизменным. Значит мы нашли корень уравнения с погрешностью менее 10 -4 на шестой итерации.

Все бы хорошо, но метод простых итераций не всегда сходится. Попробуйте найти второй корень этого уравнения, задавшись любым, сколь угодно близким начальным приближением — у вас ничего не выйдет: каждое новое значение будет уходить от корня всё дальше и дальше. Сходимости метода можно добиться, существуют способы, но на практике это существенно осложняет нам жизнь. Поэтому для нахождения второго корня применим другой метод. Разложим исследуемую функцию в ряд Тейлора, в окрестности начального приближения

Ограничимся членами первого порядка малости, заменив саму функцию f(x) касательной к её графику в точке x₀

и приравняв полученное выражение к нулю, решим его относительно x

Получаем итерационную формулу

В нашем примере

В качестве начального приближения берем и пытаемся выполнять итерации

Как видно, этот метод сошелся за четыре итерации с точностью до четырех знаков. Этот метод называют методом Ньютона. Его достоинством является быстрая сходимость. Среди недостатков: высокая чувствительность к точности начального приближения и необходимость вычислять производную левой части уравнения. В случае, когда для уравнения нет аналитического выражения, приходится прибегать к мерзкой операции численного дифференцирования, что не всегда удобно и возможно.

Эти примеры я привел, чтобы объяснить общий принцип. Кроме этих двух методов существует ещё масса методов, например:

• Метод бисекции — отличается гарантированной сходимостью, однако с довольно низкой скоростью
• Метод хорд — не требует вычисления производной функции, обладает неплохой скоростью сходимости

Все перечисленные методы требуют предварительной подготовки, в виде поиска начального приближения или интервала изоляции корня — интервала изменения аргумента f(x), на границах которого функция меняет знак. В этом случае можно с уверенность сказать (при условии непрерывности функции!) что внутри интервала изоляции есть хотя бы один корень.

4. Определяем параметры траектории пушечного ядра

Итак, найдем момент времени, когда снаряд упадет на землю. Прежде всего, определим интервал изоляции корня

Делаем это исходя из физического смысла задачи — после сразу выстрела высота полета снаряда неотрицательна. Перебираем все моменты времени, начиная от нуля, до тех пор, пока высота не станет отрицательна. Перебираем с достаточно крупным шагом (1 секунда) чтобы процедура не была слишком длительной, ведь на каждом шаге мы заново интегрируем дифференциальные уравнения движения, что весьма накладно сточки зрения вычислительных затрат. Как только высота станет отрицательной, заканчиваем перебор. Корень уравнения h(t) = 0 находится где-то внутри интервала [a, b]. Начальное приближение берем в середине этого интервала

Теперь отдаем уравнение на съедение процедуре решения нелинейных уравнений Octave

Функция fsolve() на вход принимает функцию, описывающую левую часть уравнения f(x) = 0 и значение начального приближения. Возвращает значение корня, вычисленное с заданной точностью. С какой точностью? Пока не будем задаваться этим вопросом и воспользуемся настройками по-умолчанию, на данном этапе они нас устраивают.

Получив значение момента времени падения, вычисляем дистанцию от позиции стрельбы

Аналогичным образом находим момент времени когда обнуляется вертикальная проекция скорости и вычисляем высоту полета снаряда в этот момент

В командном окне можно увидеть результаты работы программы

а также посмотреть, с какой точностью были решены уравнения

Для наших учебных целей точность вполне приемлема.