Задачи на систему двух уравнений 6 класс

Урок «: Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

Цель: развитие познавательного интереса при решении задач.

Задачи:

• образовательная: способствовать совершенствованию полученных знаний по применению и развитию при работе с задачами, обобщить и систематизировать навыки и умения учащихся применять системы уравнений при решении задач; формирование умения переносить знания в новую ситуацию;
• развивающая: проверить уровень самостоятельной деятельности обучающихся по применению знаний в различных ситуациях, развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
• воспитательная: способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся, формированию умения работать в группе.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Саяпина С.В. учитель математики

ГУ «Затобольская средняя школа №1»,

Костанайский р-н, Костанайская обл.

Тема: Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными.

Урок математики в 6 классе.

Цель: развитие познавательного интереса при решении задач.

1. образовательная : способствовать совершенствованию полученных знаний по применению и развитию при работе с задачами, обобщить и систематизировать навыки и умения учащихся применять системы уравнений при решении задач; формирование умения переносить знания в новую ситуацию;
2. развивающая : проверить уровень самостоятельной деятельности обучающихся по применению знаний в различных ситуациях, развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
3. воспитательная : способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся, формированию умения работать в группе.

Тип урока: урок укрепления, совершенствования ЗУН.

Вид урока : урок-практикум по решению задач.

Оборудование, оформление: флипчарт, тетради, листочки для самостоятельной работы, карточки для выполнения групповой и индивидуальной работы, оценочные листы.

1. способы решения систем линейных уравнений,
2. алгоритм решения задач,

1. применять удобный способ решения систем линейных уравнений,
2. применять алгоритм решения задач на практике,
3. использовать различные источники знаний,
4. работать с карточками различного содержания,
5. работать в группах, индивидуально.

Используемые технологии: уровневой дифференциации, индивидуального обучения, проблемно поисковой, групповые.

а) методы организации учебно-познавательной деятельности: словесный, наглядный, практический, самостоятельная работа, работа под куроводством.
б) методы контроля и самоконтроля: устный опрос, фронтальный опрос, письменный контроль, тест.

2.Мотивация урока. Начну с эпиграфа (страница флипчарта) : «Всякая хорошо решённая задача доставляет умственное наслаждение. » (Герман Гессе). Как, по–вашему, будет звучать тема сегодняшнего урока? ( Говорят )

— ( страница флипчарта) « Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными» ( Записывают тему )

-Давайте определим цели нашего урока. ( Говорят )

-Хочу напомнить наш девиз: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед» (А.Нивен) ( читают табличку на доске )

Сегодня мы поработаем детективами в области математики, проведём «расследование», постараемся «сдать в архив» как можно больше «раскрытых дел» А нашим помощником будет очень полезная наука. ( страница флипчарта -шторка) ( постепенно открывается текст)

*Она нужна, чтобы не говорить глупостей…*Когда одно вытекает из другого…* Бывает математическая, а бывает женская ….(Логика) .

— Результаты своего «расследования» каждый из вас будет заносить в оценочный лист.

II. Актуализация опорных знаний ( устная работа)

1.( страница флипчарта -контейнер ) 1.«Оперативное совещание». На доске разбросаны этапы решения задачи на составление системы уравнений. Задание — на доске показать соответствие порядкового номера с этапом.

1. Ввести переменную. 2. Составить систему уравнений по тексту задачи . 3. Решить систему уравнений. 4 .Ответить на все вопросы задачи. 5. Записать ответ задачи.

(Ученик у доски получает оценку.)

2( страница 1-5 флипчарта) « Меткий стрелок » — устный тест. Ключ писать в тетрадь.

1. Выразить х через у х + 3у = 6

а) х = 6 – 3у,
b) х = – 6 – 3у,
c) х = 6 + 3у

2. Выразить у через х 2х – у = 3

a) у = 3 – 2х,
b) у = – 3 + 2х,
c) у = 3 + 2х.

3.Потеряли решение системы уравнений x+y=20,

4. Результат сложения уравнений х + 5у = 7, 3х – 2у = 4 равен

a) 4х – 3у = 11,
b) 4х + 7у = 11,
c) 4х + 3у = 11

5.Нет такого способа решения системы уравнений:

a) сложения
b) умножения
c) графический

Ключ: 1-a, 2-b, 3- c, 4-с, 5-b.

( Взаимопроверка по ключу на доске ( страница флипчарта). Оценки- в оценочный лист) Показать поднятием руки свои успехи.

III. Решение задач.

1 «Следственный эксперимент» — коллективное решение задачи с комментированием у доски.

( страница флипчарта ) Задача. Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
из последней уже выбиваяся сил.
«Тяжело мне идти» – лошадь громко стонала.
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало)
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Моя ноша значительно больше твоей.
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
Одинаковый груз наши спины б согнул»
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
Сколько нес на спине умный маленький мул?

Физминутка Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг головой повертели,

Открыли глаза, сели на место, и снова за дело!

Заполнить таблицу ( заготовлена на доске )

Две неизвестные величины

Когда мул забрал мешок, стало

Когда мул отдал мешок,стало

Поклажа, которую несла лошадь

Поклажа, которую нес мул

2(х – 1) = у + 1, (самостоятельное решение на закрытой доске) 2x — 2- y=1, 2x-y =3

х + 1 = у – 1; x — y =-2; x-y=-2

y=7 Ответ: лошадь несла 5 мешков, мул-7 мешков.

Вопросы ученику у доски:

— Какой способ ты применил при решении системы уравнений?

— Какие есть ещё способы? ( Отвечавшему у доски, и тем, кто первый решил задачу самостоятельно- оценки).

2.( страница флипчарта) «Следствие ведут знатоки»- самостоятельная работа в группах. Решение разноуровневых задач.

Учитель: — Задачи сегодня взяты из различных старинных сборников, литературных произведений.

( страница флипчарта с задачами) Группы получают листы с напечатанными задачами. Каждой задаче соответствует определённое количество баллов — по степени сложности.

1балл: Из книги «Старинные задачи по элементарной математике» В.Д. Чистякова – задача из китайского трактата «Девять отделов искусства счета», составленного в глубокой древности: «5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?» ( вол стоит 2таэля, баран стоит 0,5 таэля).

1балл: Из рассказа А.П.Чехова «Репетитор»: репетитор Зиберов диктует Пете задачу: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее сукно стоило 5 рублей за аршин, а черное- 3 рубля?»

( синего сукна-63 аршина, 75 аршин черного ).

2 балла Из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей». ( старшему-12 лет, младшему – 4года ) .

По тропинке вдоль кустов

Шло одиннадцать хвостов.

Насчитать я также смог,

Что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда-то

Индюки и жеребята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было индюков?

Спросим также у ребят:

Сколько было жеребят?

Ты сумел найти ответ?

Желаю удачи , всем привет. ( 7 индюков, 4 жеребёнка ).

3балла: «Сын моложе отца на 24 года. Через 5 лет отец будет старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу? Сколько лет сыну?» ( Отцу 27 лет, сыну 3 года )

3 балла : «Учитель приготовил тетрадные листы для проведения контрольной работы. Если учитель даст каждому ученику по 2 листа, то 12 листов будут лишними, а если даст каждому по 3 листа, то 16 листов не хватает. Сколько учеников в классе? Сколько листов подготовил учитель?» ( 28 учеников. 68 листов ).

4 балла : «Расстояние между двумя пристанями равно 84 км. Это расстояние катер по течению проплыл за 3 часа, а против течения за 3,5 часа. Найти собственную скорость катера и скорость течения»( Собственная скорость катера 26 км/ч, скорость течения 2 км/ч)

4 балла : «За 3 ч автобус преодолевает такое же расстояние, какое проедет поезд за 2 ч.Туристы ехали 4 ч на автобусе и 3 ч на поезде, а всего они проехали 408 км.Найти скорость автобуса и скорость поезда» ( скорость автобуса 48 км/ч, поезда-72 км/ч ).

5 баллов : «Когда Незнайка первый раз подсчитал в классе носы девочек и уши мальчиков, то их оказалось 41. Когда он во второй раз подсчитал уши девочек и носы мальчиков, то их оказалось 43. Сколько в классе мальчиков? Сколько девочек ?» ( Мальчиков- 13, девочек -15 ).

5 баллов : « девочек и мальчиков, участвовавших в хоре, пели громко, а остальные делали вид, что поют. Мальчиков и девочек, которые пели громко, было всего 8, причём девочек на 2 больше, чем мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в хоре? ( Девочек -15, мальчиков – 13 )

3 . (страница флипчарта) «Сдача дел в архив»- подведение итогов работы в группах. «Старшие следователи» групп на доске пишут системы уравнений и ответы решённых задач, проверяют правильность. (Результаты заносит каждый ученик в оценочный лист, заполняется таблица на доске. Выявляются лучшие «следственные» группы.

Решение задач на составление систем уравнений

Множество задач можно решить путем составления систем двух линейных уравнений. Такое решение состоит из трех этапов:

1. построение математической модели (обозначить через x и y неизвестные величины);

2. составление системы двух уравнений;

3. решение системы и нахождение ответа к задаче.

Пример 1. Расстояние между городами – 564 км. Навстречу друг другу из городов одновременно вышли поезда и встретились через 6 часов. Скорость одного поезда на 10 км больше скорости другого. Чему равна скорость каждого поезда?

Решение: Пусть х км/ч – скорость первого поезда, а у км/ч – скорость второго поезда. По условию задачи, поезда встретились через 6 часов. Тогда, 6х км пройдет до встречи первый поезд, 6у км пройдет до встречи второй поезд. Их встреча означает, что суммарно они прошли до встречи путь в 564 км, то есть 6х + 6у = 564 – первое уравнение.

Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго, то есть, разность между скоростями равняется 10. Получим второе уравнение: х – у = 10.

В итоге получим систему уравнений:

\(\left\< \begin 6x+6y=564 \\ x-y=10 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x+y=94 \\ x-y=10\\ \end \right. \) \(\Rightarrow \left\< \begin x=52 \\ y=52-10 \\ \end \right. \Rightarrow \left\< \begin x=52 \\ y=42 \\ \end \right.\)

Ответ: 52 км/ч, 42 км/ч.

Пример 2. На двух полках лежат 84 книги. Если с одной полки снять 12 книг, то на обоих полках книг станет поровну. Сколько книг станет на каждой полке? А сколько было сначала?

Решение: Пусть х книг – на первой полке, а у книг – на второй полке. По условию задачи, количество книг на двух полках суммарно составляет 84 книги, то есть х + у = 84 – первое уравнение.

Если с первой полки снять 12 книг, то количество книг на обоих полках будет поровну. Получим второе уравнение: х – 12 = у.

В итоге получим систему уравнений:

\(\begin x+y=84 \\ x-12=y \\ \end \Rightarrow \left\< \begin x+y=84 \\ x-y=12\\ \end \right. \Rightarrow2x=96; \ x=48\)

48 (книг) – было на первой полке.

84 – 48 = 36 (к.) – было на второй полке.

48 – 12 = 36 (к.) – станет на каждой полке.

Ответ: по 36 книг, 48 книг и 36 книг.

Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей. Однако токарь перевыполнил план на 20%, а ученик не справился с заданием и сделал на 20% меньше нормы. Сколько деталей изготовили токарь и его ученик, если фактически изготовлено 70 деталей?

Арифметическое среднее двух чисел равно \(19\) , а их разность равна \(4\) . Найдите эти числа.

Длина прямоугольника больше ширины на \(3\) см, а его периметр равен \(22\) cм. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$