Задачи на составление дробно рациональных уравнений 8 класс

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 8

— отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

— знакомство с геометрическим способом решения уравнений;

— развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;

— развитие алгоритмического мышления;

— повышение интереса к решению математических задач

— показать связь с другими предметами, с жизнью.

Пусть математика сложна,
Ее до края не познать
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.

Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?

Ребус этот разреши,
А ответ нам напиши
Сей ответ встречаешь часто,
Не решаешь их напрасно.

— Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик — … Как его звали? — Франсуа Виет “вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:

(На экране и на партах уравнения)

— Как называются такие уравнения?

— С помощью какой теоремы решим данные уравнения?

— Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?

В-1

1. Х 2 + 7Х +10 = 0
2. Х 2 — 19 Х+18=0
3. Х 2 +9Х+20=0
4. Х 2 -17Х+30=0
5. 13Х 2 -29Х+16=0
6. 17Х 2 -19Х-36=0

В-2

1. Х 2 + 7Х-8 = 0
2. Х 2 + 17Х-18=0
3. Х 2 -15Х+50=0
4. Х 2 +13Х+30=0
5. 12Х 2 -35Х+23=0
6. 100Х 2 +150Х+50=0

А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.

2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:

— нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);

— а мы поработаем устно.

1) Верно ли решены уравнения?

А) х₁ =1, х₂=4

Ответ: нет, корень х=1 — посторонний.

Б) х=1

Ответ: нет, есть еще один корен Х=2.

Какой вывод нужно сделать?

2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:

Ответ: 5х-2 или 2-5х

II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

— Мы научились решать дробные уравнения.

А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?

— Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

Например: время =; ;

Cторона прямоугольника=;

;

и другие.

Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.

И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!

III. Решение задач + рисунок.

Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

ХНа самом деле720Х+1072О

720х+7200-720х-х2-10х=0

Х₁=80 х₂= -90 (не удовлетворяет условию задачи).

80 км/час- скорость поезда по расписанию.

Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод

2. Геометрический метод.

Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:

1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,

2) решение получившейся геометрической задачи,

3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).

АД – время движения поезда по расписанию (ч).

SАВСД = АВ х АД =720

Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час. C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.

S AEFK=SАВСД =720

S1+S3=S2+S3 —> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.

Получили, что используя что S 1=S2 получим уравнение:

Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час

Уравнения могут быть такими:

Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями.

IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).

V. Задача ( ЕГЭ) В9.

Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?

— О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)

— Значит имеем: 1 и 2 мастерские

— Чем занимались эти мастерские ?

— Что спрашивается в задаче?

Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней работала каждая мастерская?

— Какая из них быстрее справилась с работой?

— На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)

Детали	Количество деталей в день	Сколько дней работала	Справились раньше
1 мастерская	420	(х-5)		на 4 дня
П мастерская	500	Х		На 7 дней

Получим уравнение х(х-5)

420х-500х +2500-3х?+15х =0

Х ₁ =

Х₂= (не удовлетворяет условию задачи)

— Значит 2 мастерская изготавливала в день 20 деталей.

Ответ: 20 деталей.

VI. Домашнее задание: (заранее написать на доске) № 609.

(Придумать задачу по уравнению и решить ее )

VII. Самостоятельно решить задачу № 615.

12(Х+10)+12Х-(х 2 +10Х)=0

12Х+120+12Х-х 2 -10Х=0

Х 2 -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х₁=

Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.

Итог урока: Общеизвестно высказывание: “Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”.

После данного урока решение большинства задач, я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?

То интересна, то сложна.
Получается задача —
Радуется душа.

Пусть вам будут по плечу любые задачи. Успехов!

Спасибо за урок!

Урок алгебры в 8 классе «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по алгебре

Тема: «Решение задач с помощью рациональных уравнений»

-закрепление понятия дробно-рационального уравнения;

-составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический;

-проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

-развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

-развитие интеллектуальных умений;

-развитие умения принимать решения.

-воспитание познавательного интереса к предмету;

-воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

-воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

1) актуализировать знание решения дробных рациональных уравнений, умение решать задачи при помощи рациональных уравнений; добиться усвоения алгоритма решения задач;

2) Познавательные: овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные: развитие навыков сотрудничества со сверстниками,

3) — воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: презентация, конспект урока, компьютер, проектор.

1. Организационный момент.

Прозвенел звонок — начинается новый урок, на котором будем учиться математике, а значит жизни.

Ведь жизнь перед нами ставит постоянно много вопросов, задач, на которые надо найти ответ непременно и именно только нам. И от правильности найденного решения зависит порою очень многое в жизни. Бывает так, что жизнь ошибок не прощает…

Математика считается царицей всех наук, потому что……?… «ум, который решает все наши жизненные вопросы, в порядок приводит», ……. через умения мыслить, анализировать, сопоставлять, делать выводы, считать. Все эти мыслительные процессы и помогают нам найти правильное решение жизненных проблем.

На доске ребусы, которые необходимо разгадать и тем самым определить

ключевое слово урока.

Правильно, это слово «задача». Ведь именно при решении различного рода задач развиваются эти мыслительные процессы.

Задачам отводится много места, как в школьном курсе математики, так и на экзамене по математике в 9 классе и на ЕГЭ в 11классе.

Ещё начиная с начальной школы, вы учились решать разные, теперь уже не сложные для вас, задачи. С каждым годом вы узнавали всё новые и новые методы и способы их решения. А сегодня мы будем ……(ответы обучающихся на определение темы урока):

-решать задачи, решение которых сводится к дробно-рациональным уравнениям, а также составлять задачи.

Итак, тема урока «Решение задач с помощью рациональных уравнений»

-Какой урок мы уже решаем задачи? (третий).

Предлагаю самостоятельно сформулировать цели урока.

1. Увеличить объем своих знаний на уроке.

2. Смело высказывать свое мнение, приводить свои способы решения задач, сомневаться, и даже ошибаться в чем-то.

3. Сделать себе установку: « Я все могу, все решу».

Эпиграфами к нашему уроку я взяла такие слова:

высказывание великого английского ученого Альберта Энштейна, открывшего «теорию относительности»: «Мне приходится делить время между политикой и уравнением. Однако уравнение, по – моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно»;

«Если хотите научиться плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Джордж Пойя

Проверим ваше внимание

На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?

Двое играли в шашки четыре часа. Сколько часов играл каждый из них?

Экипаж, запряженный тройкой лошадей, проехал за один час 15 км. С какой скоростью бежала каждая лошадь?

Любая работа будет результативной, если она будет спланирована. Есть план и нашей работы на уроке. Перед вами маршрутные листы (приложение 1) , в которых определены этапы нашего урока. Я попрошу вас объективно оценить себя на каждом этапе.

Фронтальный опрос, устная работа с классом .

-Исходя из темы урока, чтобы решать сами задачи первоначально надо уметь решать рациональные уравнения, которые включают в себя…..целые уравнения и дробно-рациональные, и квадратные уравнения.

-Скажите, что вы видите на этом слайде? ( Уравнения)

— Правильно. Какие это уравнения? ( Дробно-рациональные)

— а могу я сказать, что это рациональные уравнения? ( Да. Т.к. рациональные включают в себя и дробно-рациональные вместе с целыми)

— Какие уравнения называют рациональными?

-Назовите алгоритм решения дробно-рациональных уравнений?

Решите устно данные уравнения.

Какие еще уравнения надо уметь решать? – Квадратные.

Повторение теории квадратных уравнений.

Проверка домашнего задания

Какие виды задач мы научились решать?

На какую тему были задачи из домашнего задания?

В предложенную таблицу вставить ключевые слова.

№ 628. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?

Ответ: 2,5 км/ч (Слайд 9) .

2. Решение задач.

-Прежде чем приступать к решению задачи необходимо несколько раз внимательно прочитать условие задачи, и ответить для себя на ряд вопросов. Каких?

( Тип задачи — объекты, участвующие в ней, — величины, характеризующие эти объекты — связи между этими величинами – какую величину обозначим за х.)

Получив ответы на эти вопросы, далее или составляем краткую запись в том виде, как нам удобно, а затем математическую модель, или, логически рассуждая, составляем математическую модель задачи, предварительно все величины выразив через введенную переменную х.

Всегда говорят, сколько людей, столько и мнений. У каждого из вас после прочтения задачи есть право выбора как ее решить. Я предлагаю вам решить задачу № 620.( Работа в группах)

I гр. – за X принимает скорость I автомобиля

II гр. – за X принимает скорость II автомобиля

III гр. – за X принимает время движения I автомобиля

IV гр. – за X принимает время движения II автомобиля

Таблицы ко всем четырем задачам приготовлены на доске.

Выясняют, что было удобнее всего обозначить через X после представления каждой группой решения своего уравнения.

Следующий наш этап – это составление задачи по готовому уравнению. Предлагается придумать задачу, ответом которой является решение предложенного уравнения (работа в парах).

4. Выполнение контролирующего задания

Индивидуальная работа выполняется на листочках.

На «3» за правильно выполненное 1 задание;

На «5»- за 1-3( в 3-ем задании достаточно только составить уравнение).

Д.З. повторить теорию по квадратным уравнениям;

Подведение итогов урока . Рефлексия.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановил их и задал каждому один и тот же вопрос «Что ты делал целый день?» Первый ответил, что целый день возил эти проклятые камни. Второй ответил: «Добросовестно выполнял свою работу», а третий: «Строил храм».

Ребята, вот и я задаю каждому из вас тот же вопрос: «Что ты делал целый урок?» Кто из вас считает, что он таскал тяжелые камни – поднимите желтые треугольники, добросовестно работал – зеленые, строил храм знаний – красные.

— Какую тему рассмотрели на уроке?

— Оценить свой уровень умения решать задач с помощью дробных рациональных уравнений.

— Что вызывает затруднения?

(Заполнить последнюю строчку листов. Заслушать высказывания обучающихся по желанию).

учени___ 8 класса _______________________________________

Составление задачи по готовому уравнению

1. Решите уравнение. Выберите верный вариант ответа:

1) 0; 2) 0; 3; 3) 3; -3.

2.Прочитав условие задачи, составьте уравнение, которое ему соответствует:

Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8ч. Найдите собственную скорость теплохода, обозначив её х км/, если скорость течения реки 3 км/ч

1) 2)

3) ; 4)

3. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

учени___ 8 класса _______________________________________

Составление задачи по готовому уравнению

1. Решите уравнение. Выберите верный вариант ответа:

2.Прочитав условие задачи, составьте уравнение, которое ему соответствует:

Моторная лодка прошла 56 км против течения реки и 32 км по течению, затратив на весь путь 3ч. Найдите собственную скорость лодки, обозначив её через х км/ч, при условии, что скорость течения реки равна 1км/ч.

1) ; 2) ;

3) ; 4)

3. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?/ч.