Задачи на составление систем уравнений второй степени

Презентация по теме «Решение задач на составление систем уравнений второй степени»

презентация к уроку алгебры в 9 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

«Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» Работу выполнили Обучающиеся 9 класса: Забара Дмитрий, Левченко Ирина, Федоренко Ольга, Якушкин Иван. Руководитель: Музюкова Н.Н. Учитель математики. п.Волгодонской 2013 МКОУ « Кривомузгинская СОШ»

Актуальность темы и целесообразность содержания проекта : Решение задач позволяет воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности. Цель проекта : научиться решать задачи на составление систем уравнений второй степени и подготовиться к ГИА по математики.

Задача №1 « Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?» Пусть длина — X и Y — ширина участка прямоугольной формы равны и метрам. 1 км=1000 м и 1 га=10000 м²

Ответ: длина и ширина участка 300 м и 200 м.

Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м 2 . Найти длины сторон газона. Решение: Пусть х м — длина; у м — ширина . Р =( х+у )*2; S =ху у 2 -15у+56=0 У 1 =7м; у 2 =8м х 1 =8м; х 2 =7м y x Ответ: 7 м и 8 м Задача №2

х Гипотенуза прямоугольного треугольника 13см. Найти его катеты, если известно, что один из них на 7см больше другого. Решение: Пусть х см — I катет; у см — II катет 49+14у + у 2 + у 2 = 169 2у 2 +14у -120=0 У 2 +7у-60=0 У₁=5см; У₂=- 12 не удовл . усл . задачи 7+5=12 см Ответ: 5см и 12см у Задача №3

Прямоугольный участок площадью 2400 м 2 нужно оградить забором длиной 200 м. Найти длину и ширину участка. Ш ирина – х Длина – у 2(х+у) = 200 ху = 2400 y 1 =40 или y 2 = 60 x 1 = 60, x 2 = 40. х+у =100 ху = 2400, x = 100 – y y (100- y ) = 2400, x = 100 – y y ² — 100 y + 2400 = 0, y ² — 100 y + 2400 = 0 y 1 =40 y 2 = 60 Ответ: 60 м и 40 м Задача № 4

Задача № 5 Из пункта A в пункт B , расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им оставалось пройти до встречи 4 км. Е сли бы из пункта A пешеход вышел на 1ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход ? Ответ: с скоростью 4 км/ч двигался первый пешеход, с скоростью 5 км/ч двигался второй пешеход. Первый пешеход – x км/ч Второй пешеход – y км/ч За 4 часа первый пешеход пройдет 4 x км, а второй 4 y км. Не удовлетворяет условие задачи

Задача № 6 Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 часа быстрее, чем другая .За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада ,если известно ,что за 24 часа совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков? Ответ: 8 и 12 часов. Вся работа – 1 Первая бригада – x часов Вторая бригада – y часов за 1 час — за 1 час —

Двое рабочих могут выполнить работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает первую половину работы, а второй вторую половину, то вся работа будет сделана за 25 дней. Сколько дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы. Решение: Вся работа-1 I рабочий — х дн произ . труда I рабочего II рабочий — у дн произ . труда II рабочего Задача № 7

= 50У-У 2 -600=0 У 2 -50У+600=0 У 1= 20 У 2 = 30 Х 1 =30 Х 2 =20 ОТВЕТ : 20 и 30 ч

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3ч 36мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй. Решение: Вся работа – 1 36y+54 = 15y + 5y2 y 2 = 2-ая бригада 5y2 – 21y – 54 = 0 x = 3 + y = 9ч 1-ая бригада D=441+1080=1521 y 1 = не удовл . усл . задачи Ответ: 6 часов, 9 часов. Обозначения t N 1-ая бригада x 2-ая бригада y Задача № 8

Задача № 9 Смешали 30 %- ный раствор соляной кислоты с 10 %- ным и получили 600г 15 %- ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора. Первый раствор – x грамм Второй раствор – y грамм Третий раствор – ( x+y ) грамм

Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа. Ответ: 10 и 0 или 26 и 24 Пусть 1-ое число a тогда 2-ое число b Задача № 10

Задача: Найдите двузначное число, если оно в два раза Больше произведения его цифр. Если представить цифры этого числа в обратном порядке, то отношение полученного числа и данного Будет равно 7/4. (КИМ ЕГЭ 2013, B13)

Китайская мудрость Китайская мудрость Решение. Пусть x — число десятков данного числа, y — число единиц данного числа, Тогда ( 1 уравнение). Если цифры поменять местами , то получим новое число 10 y + x , которое относится к данному числу как 7/4. Получаем второе уравнение Решая данную систему, получим : Ответ: 36

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Задачи на составление систем уравнений второй степени

3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Задачи на составление систем уравнений

510. Произведение двух чисел равно 77, а их разность равна 4. Найти эти числа.

511. Разность двух чисел относится к их сумме, как 3 : 8, а к их произведению,
как 6 : 55. Найти эти числа.

512. Сумма катетов прямоугольного треугольника на 8 больше гипотенузы. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 48.

513. Определить стороны прямоугольного треугольника, периметр которого 24 см, а площадь 24 см 2 .

514. Разность двух сторон треугольника, образующих угол в 120°, равна 1 дм. Найти стороны треугольника, зная, что третья из них равна 13 дм.

515. Разность двух сторон параллелограмма равна 3 см, меньшая диагональ параллелограмма равна большей его стороне и на 2 см меньше большей диагонали. Найти стороны и диагонали параллелограмма.

516. Площадь ромба равна 120 см 2 , а его периметр равен 52 см. Определить диагонали ромба. ‘

517. Высота трапеции равна 8 см, средняя линия ее равна 9 см. Найти основания трапеции, если она равновелика прямоугольнику со сторонами, равными основаниям трапеции.

518. В круге, радиус которого равен 20 см, проведена хорда длиной 24 см. Определить расстояние от центра круга до точки пересечения касательных, точками прикосновения которых являются концы данной хорды.

519*. В двух концентрических окружностях, радиусы которых равны 25 см и 17 см, требуется провести хорду так, чтобы часть ее, лежащая во внутренней окружности, составляла 2 /₅ всей хорды. Определить длину хорды и расстояние ее от центра.

520. Площадь прямоугольного треугольника равна 6 дм 2 . Найти стороны этого треугольника, если известно, что прямоугольный параллелепипед, измерениями которого служат стороны данного треугольника, имеет объем, равный 60 дм 3 .

521. Равнодействующая двух сил, направленных под прямым углом, равна 10 кГ. Если большую из этих сил уменьшить на 4 кГ, а меньшую — на 3 кГ, то их равнодействующая уменьшится в 2 раза. Найти составляющие силы.

522. Равнодействующая двух сил, направленных друг к другу под углом 60°, равна 7 кГ. Если же эти силы будут действовать по одной прямой в одном и том же направлении, то их равнодействующая увеличится на 1 кГ. Найти эти силы.

523. Поезд выходит со станции равноускоренно и на пути в 1,2 км набирает скорость, равную 72 км/ч. Найти ускорение движения поездаи время разгона.

524. Бассейн наполняется через два крана. Наполнение бассейна только через первый кран длится на 22 мин дольше, чем наполнение этого бассейна только через второй кран. Оба крана, действуя одновременно, наполняют бассейн за один час. За сколько времени каждый из кранов может наполнить бассейн?

525. Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз в течение 6 ч. Но второй автомобиль задержался в гараже, и, когда он прибыл на место погрузки, первый перевез уже 0,6 всего груза; остальную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен таким образом за 12 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому автомобилю в отдельности для перевозки груза?

526. В первом забеге на 800 м спортсмен А пришел к финишу на 11 1 /₉ сек раньше спортсмена В. Во втором забеге на ту же дистанцию спортсмен А уменьшил свою скорость на 0,8 м/сек, а спортсмен В на столько же увеличил свою скорость, а потому пришел к финишу также на 11 1 /₉ сек раньше, чем спортсмен А. Найти первоначальные скорости спортсменов.

527. Расстояние между двумя городами, равное 240 км, пассажирский поезд проходит на 1 ч быстрее, чем товарный. Если увеличить скорости движения пассажирского поезда на 12 км/ч, а товарного на 8 км/ч, то и в этом случае пассажирский поезд прошел бы расстояние между городами на час быстрее товарного. Найти первоначальные скорости движения каждого поезда.

528. Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно отправились два туриста. После встречи турист, вышедший из А, приходит в В через 4,5 ч, а турист, вышедший из В, прибывает в А через 2 ч. Найти скорости движения каждого туриста.

529*. Из двух точек М и N, расстояние между которыми d м, одновременно начали двигаться навстречу друг другу два тела; встреча произошла в тот момент, когда первое тело, вышедшее из М, прошло а м. Определить скорость каждого тела, зная, что число метров, выражающее разность между скоростями первого и второго тел, равно числу секунд, прошедших от начала движения до встречи.